Enoncé D273 (Diophante) Les spaghetti de Claudio
L’assiette de Claudio contient 60 spaghetti longs et fins de ca- libre n°5. Avant d’y ajouter « ajo, ojo e peperoncino », comme les spaghetti sont brûlants, Claudio décide de prendre au hasard les extrémités de deux spaghetti et de les nouer. Il continue le proces- sus en prenant au hasard deux extrémités libres et en les nouant jusqu’à ce que son assiette ne contienne plus que des spaghetti en forme de cerceaux. Quelle est l’espérance mathématique arrondie à l’entier le plus proche du nombre de cerceaux dans son assiette ? Le petit-fils de Claudio demande à sa grand’mère de lui remplir son assiette avec le même type de spaghetti afin d’avoir deux fois plus de cerceaux que son grand’père. Ne risque-t-il pas d’être déçu par la réponse de sa grand’mère ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
A un moment où il reste 2n bouts libres de spaghetti (enchaînés ou non), Claudio prend un de ces bouts, puis un autre ; la proba- bilité que cet autre appartienne à la même chaîne de spaghetti est 1/(2n−1).
Après nouage, il reste 2n−2 bouts libres, et le nombre de cerceaux a augmenté en moyenne de 1/(2n−1).
En fin de processus, l’espérance mathématique du nombre de cer- ceaux est, s’il y asspaghetti au départ,
s
X
n=1
1
2n−1 = C+ ln(4s)
2 +O(s−2) C constante d’Euler = 0,5772156649. . .
carPm1 1/k=C+ ln(m+ 1/2) +O(m−2)
Pour s= 60, l’espérance est 3,0289 environ, arrondi à 3.
Pour une espérance de 6 cerceaux, il faudrait environ
S= exp(12−C)/4 = 22845 spaghetti, 380 fois l’assiettée de Clau- dio.
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