G166. Les spaghettis de Claudio
L’assiette de Claudio contient 60 spaghettis longs et fins de calibre n°5. Avant d’y ajouter « ajo, ojo e peperoncino », comme les spaghettis sont brûlants, Claudio décide de prendre au hasard les extrémités de deux spaghettis et de les nouer. Il continue le processus en prenant au hasard deux extrémités libres et en les nouant jusqu’à ce que son assiette ne contienne plus que des spaghettis en forme de cerceaux. Quelle est l’espérance mathématique arrondie à l’entier le plus proche du nombre de cerceaux dans son assiette ?
Le petit-fils de Claudio demande à sa grand-mère de lui remplir son assiette avec le même type de spaghetti afin d'avoir deux fois plus de cerceaux que son grand-père. Ne risque-t-il pas d’être déçu par la réponse de sa grand’mère ?
Solution proposée par David Amar
Remarquons tout d’abord que nouer deux spaghettis distincts ne revient en fin de compte qu’à faire un seul spaghetti, plus long. Par conséquent, ayant dans mon assiette spaghettis, et prenant une extrémité au hasard, j’ai extrémités restantes et :
- Une probabilité de de tomber sur l’autre extrémité du même spaghetti, dans ce cas, on a un cerceau et spaghettis restants
- Une probabilité de
de tomber sur un autre spaghetti, dans ce cas on n’a pas plus de cerceau et spaghettis restants.
Soit la variable aléatoire décrivant le nombre de cerceaux obtenus en fin de parcours en ayant spaghettis au départ, on a alors :
Partant de là, on peut remplir un tableur pour trouver la solution, mais tentons de faire mieux. On a pour l’espérance qui se calcule de la manière suivante :
L’espérance de la variable pour tout peut donc être définie par récurrence de la manière suivante :
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-
On peut même le définir de manière plus directe : On trouve donc
très exactement, ou encore , et 3 en valeur arrondie à l’entier le plus proche.
Cette série est similaire à la série harmonique, elle diverge, et on peut donc atteindre une valeur quelle qu’elle soit, mais sa croissance est logarithmique, il faudra donc aller chercher loin.
On sait que , avec et la constante d’Euler, et que converge vers . On remarque que , il vient alors l’équivalence suivante :
Pour obtenir , il faudrait donc prendre . En pratique, la bonne valeur est 25649. Si on considère la valeur arrondie , il faut alors prendre ; et 22846 en pratique.
Le petit-fils de Claudio devra donc manger l’équivalent de ce qu’on prépare pour un régiment complet.
