L’assiette de Claudio contient 60 spaghetti longs et fins de calibre n°5. Avant d’y ajouter « ajo, ojo e peperoncino », comme les spaghetti sont brûlants, Claudio décide de prendre au hasard les extrémités de deux spaghetti et de les nouer. Il continue le processus en prenant au hasard deux extrémités libres et en les nouant jusqu’à ce que son assiette ne contienne plus que des spaghetti en forme de cerceaux. Quelle est l’espérance mathématique arrondie à l’entier le plus proche du nombre de cerceaux dans son assiette ?
Le petit-fils de Claudio demande à sa grand’mère de lui remplir son assiette avec le même type de spaghetti afin d'avoir deux fois plus de cerceaux que son grand'père. Ne risque-t-il pas d’être déçu par la réponse de sa grand’mère ?
S’il y a n spaghetti, donc 2n extrémités, en choisissant une extrémité, il y a une chance sur 2n-1 d’ obtenir un cerceau et n-1 spaghetti ; sinon, il y a (2n-2)/
(2n-1) chances d’obtenir n-1 spaghetti (dont un de longueur double)
Si C(n) est l’espérance du nombre de cerceaux obtenus en partant de n spaghetti, nous avons donc (2n-1)C(n)=C(n-1)+1+(2n-2)C(n-1), soit C(n)-C(n-1)=1/(2n-1), et comme C(1)=1, C(n)=1+1/3+...+1/(2n-1).
C(n) passe au dessus de 2 pour n=8, et au dessus de 3 pour n=57. La valeur arrondie de l’espérance pour n=60 est donc 3.
La croissance de C est logarithmique, et la valeur 4 n’est atteinte que pour
n=419, et il faudrait environ 400 fois plus de spaghetti pour que le petit-fils ait le deux fois plus de cerceaux que Claudio.
