C218 - L'énigme du Nouveau Monde [*** à la main]
Cryptarithme proposé par Raymond Bloch
Reconstituer la multiplication MEXIQUE x k = AMERIQUE où k est un nombre entier et les lettres représentent des chiffres distincts choisis dans l'ensemble
{0,1,2,...,9}. Aucun nombre ne commence par zéro.
Solution proposée par l'auteur
De MEXIQUE x N = AMERIQUE (1) on déduit, par examen des derniers chiffres à droite : N est IMPAIR ( si N pair, E=U=Q=I=0 ) et donc E=5
( E=0, seule autre possibilité, ne donne aucune valeur acceptable pour U ).
(1) s'écrit (105 ME + XIQUE) N = 107 A + 105 ME + RIQUE , d'où 105 ME (N-1) = 107 A- (N x XIQUE - RIQUE) (2) .
Le terme entre parenthèses est donc divisible par 105: RIQUE ≡ N x XIQUE ( mod. 105 ), ou
(N-1) IQUE ≡ 104 (R - N x X ) (mod. 105 ) (3).
Comme (N - 1) est pair, et que E=5, (3) implique (N - 1) = 24 k = 16 k, k entier ≤ 6, d'où N = 17,33,49,65,80,ou,97 (4) , et (3) devient
IQUE x k ≡ 625 x R (mod. 105 ), d'où IQUE est soit un multiple de 125 avec N - 1
= 80, ( impossible car il conduit à M=E= 0 ou ME ≤ 11), soit un multiple de 54 = 625, donc IQUE a l'une des valeurs 1875, 3125, 4375, 6875, 8125 ou 9375 ( on a éliminé 0625 à cause de (5), et 5625 qui contient deux chiffres 5 ).
Si X ≠ zéro, alors N x X ≤ R ≤ 9. Mais si N = 3, 5 ou 7, IQUE se termine par au moins deux zéros ( car l'exposant du facteur 2 dans le terme de gauche de (3) est 2 au plus ), contradiction puisque E=5. Et N = 9 est impossible car alors ( R - N x X ) devient ≤ 0. Donc X = zéro (5).
Il en résulte que (2) devient ME (N-1) = 100 A (2') et (3) devient (N-1) IQUE = 104 R (3').
Comme IQUE ≥ 1875 , par (3') on a
N-1 ≤ 104 R / 1875 ≤ 105 / 1875 = 53,33…, d'où N ≤ 54, et par (4) N = 17, 33 ou 49, avec k = 1, 2 ou 3.
Par (2') ME = 100 A / N-1 = 100A / 16 k = 25 A / 4 k, 1≤ N ≤ 9, k=1,2 ou 3.
Donc ou bien A = 8 , k = 1 : ME = 50, impossible car E ≠ 0.
ou bien A = 8 , k = 2 : ME = 25, N = 33, mais en donnant à IQUE les valeurs (5), le produit AMERIQUE n'a jamais la forme voulue.
ou bien A = 4 , k = 1 : ME = 25, N = 17, et seule
la valeur IQUE = 1875 conduit à une solution, qui est donc unique:
2501875 x 17 = 42531875
![A368 ‒ Une histoire de facteurs [** à la main] Problème proposé par Raymond Bloch A tout entier n > 2, on associe la suite Sn](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)