Duporcq 6` eme exercice
Soient ABC etA0B0C0 2 triangles dans le plan. Les droites BC et B0C0 se coupent enA1, et les parall`eles `a ces droites men´ees parAetA0 se coupent en A2. A1A2 et les 2 autres droites analogues se coupent en un pointD.
a,b,csont les points `a l’infini des droitesBC,CA,AB, et de mˆeme a0, b0,c0 sont les points `a l’infini des droitesB0C0,C0A0,A0B0.
Dans l’homographie[A, B, a, b]⇒[A0, B0, a0, b0],C0etc0sont les images de C et c, et l’intersection deA1A2 et deB1B2 est point double.
Dans l’homographie[A, C, a, c]⇒[A0, C0, a0, c0],B0 etb0 sont les images de B etb, et l’intersection deA1A2et deC1C2 est point double.
Ces 2 homographies sont identiques: leurs points doubles sont confondus etD est le seul point double `a distance finie (les 2 autres sont `a l’infini puisque la droite de l’infini est droite double).
⇒A1A2, B1B2et C1C2se croisent enD.
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Compl´ ement
Sans modifier la position des 2 triangles, on effectue les 6 permutations de nom des sommets de A0B0C0. On obtient donc 6 configurations diff´erentes et 6 points de convergence D1 `aD6. Ces 6 points sont sur une conique.
On red´efinit le nom des droites telles que A1A2 par les points `a l’infini des 2 couples de parall`eles qui les cr´eent: A1A2devient aa0. On a donc 9 droites de ce type qui se coupent 3 par 3 en 6 pointsD1 `aD6.
Il y a 6 fa¸cons de d´ecrire un hexagone dont les sommets sont les pointsD1,D2
... D6. Pour chacun de ces parcours, les intersections des cot´es oppos´es sont align´ees sur l’une des m´edianes de l’un des triangles. Par exemple (ligne verte):
le parcours1−4−2−5−3−6correspond `a la m´ediane deABCpassant parC. Les 3 couples de droites qui forment les cot´es oppos´es sont:
aa0 avecba0,bc0 avecac0, etab0avecbb0.
Hypoth`ese `a valider: Ces droites sont images l’une de l’autre dans l’homographie qui admetCet son sym´etrique par rapport au milieu deBCcomme points dou- bles, et qui ´echange les points `a l’infiniaet b.
Sous cette r´eserve, le th´eor`eme de Pascal compl`ete la preuve.
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