D184. La balançoire
Une balançoire est faite d'une planche AB qui repose sur l'arête d'un socle prismatique dont la coupe par un plan vertical donne un triangle équilatéral OCD (voir figure supra).Deux ballons sphériques en mousse de centres O1 et O2 sont de rayons variables de telle sorte qu'à tout moment ils restent tangents au sol, à la balançoire et à l'une des faces du socle. Lorsque le point A est à son plus bas niveau, le volume du ballon n°2 est huit fois plus grand que celui du ballon n°1.Quel est l'angle de bascule de la balançoire par rapport à sa position horizontale ?
Si les volumes des ballons sont dans un rapport 8, leurs rayons sont dans un rapport 2, puisque le volume est proportionnel au cube du rayon.
On appelle a la longueur du coté du triangle OCD et r le rayon du cercle de centre O1 ; les points de tangence du petit cercle sont P, Q et R ; S, T et U ceux du grand cercle ; H est le pied de la hauteur du triangle équilatéral OCD abaissée de O ; x, y et z désignent respectivement les longueurs des segments WP, PO et OS.
Par construction des points de tangence PQR du cercle centré en O1, on obtient WQ=WP=x, OR=OP=y ; CR=a- y=CQ.
La même démarche pour les points de tangence STU de l'autre cercle donne OT=OS=z et donc TD=a-z=DU.
Les triangles WPO1 et WSO2 sont semblables, on peut donc écrire x/r =(x+y+z)/2r, d'où x=y+z.
De même, WWO1 et WUO2 sont semblables, ce qui permer d'écrire x/r=(x+3a-y-z)/2r.
En additionnant numérateurs et dénominateurs, on conserve la succession d'égalité, d'où : x/r=((x+y+z)+(x+3a-y-z))/(2r+2r)=(2x+3a)/4r;
On en tire 4x=2x+3a, soit x=3a/2=y+z.
Le quadrilatère O1QCR comporte deux angles droits en Q et R, ce qui fait que les angles en O1 et C sont supplémentaires, et comme l'angle en C vaut 120°, car supplémentaire d'un angle du triangle équilatéral OCD, c'est donc que l'angle en O1 est égal à 60°, et donc que le triangle O1QR est lui-même équilatéral de coté r. Le triangle QCR est isocèle, avec un angle au sommet égal à 120° et une base de longueur r. Ses deux autres angles valent donc 30°, et on peut calculer cos(30°)=rac(3)/2=(r/2)/(a-y), d'où on tire y=a-r/rac(3).
Le même type de raisonnement sur le quadrilatère TDUO2 conduit à dire que TUO2 est équilatéral de coté 2r, que TDU est semblable à QCR et donc que cos (30°)=rac(3)/2=r/(a-z).
D'où z=a-2r/rac(3).
En se servant de 3a/2=y+z, on en déduit que 3a/2=2a-3r/rac(3), soit a=6r/rac(3).
Il ne reste plus qu'à calculer la tangente de l'angle u, qu'on retrouve au point W en se servant de tg(u)=OH/WH=(a rac(3)/2)/(x+a-y+a/2)=3r/(3a/2+r/rac(3)+a/2)=3r/(2a+r/rac(3))
tg(u)=3r/(12r/rac(3)+r/rac(3))=3r/(13r/rac(3))=3rac(3)/13≈0,3997, ce qui renvoie à u≈21,79°
W
P
Q H
T S
R
x U
x
y
y
z z
a-y
a-y a-z a-z
On a
r
2r
