Notesdecours OlivierLECADETAnn´ee2007/2008

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Lyc´ee Louise Michel

Cours de Math´ ematiques pour

les T STG D

Sp´ecialit´e : Sciences et Techniques de la Gestion (STG) Option : Communication et Gestion des Ressources Humaines

(CGRH).

Olivier LE CADET Ann´ee 2007/2008

Notes de cours

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Premi` ere partie

Taux d’´ evolution, indices.

Intro : exercices de r´ evision

• ”Regardez vous le foot à la télé”.

oui non total

garcons 20 4 24

f illes 10 6 16

T otal 30 10 40

• Sur 206 élèves de TSTG au lycée Corot, on compte 36.4% de filles dont 24%

ont déjà leur permis. Combien de filles de TSTG ont déjà leur permis au lycée Corot ?

• Variation absolue et relative pour : – Un ipod qui passe de 150 `a 120 euros.

– Un piano qui passe de 10030 `a 10000 euros.

– Un produit augmente successivement de 8% puis de 12%. Quel est le coefficient multiplicateur correspondant à chaque évolution ? Quel est celui de l’évolution globale ?

– Soit un carré de côtéxcm. On augmente ce bord d’un centimètre. De combien, en fonction dex, a augmenté la surface ? De quel pourcentage a-t-elle grandi ?

1 Taux d’´ evolution

Rappelssur le taux d’´evolution, coefficient multiplicateur. Exo 22 et 23.

2 Evolutions successives. Taux d’´ evolution moyen.

2.1 Taux d’´ evolution global

v₀ −→^1+t⁰ v₁ −→^1+t¹ v₂· · ·^1+t−→ⁿv_n

Définition 2.1 Le taux d’évolution globalest le taux d’évolution entrev₀ etv_n. Le coefficient multiplicateur global est 1 +T = (1 +t₁)(1 +t₂)· · ·(1 +t_n).

Exemple : ”Le chiffre d’affaire de notre entreprise a augmenté de 10% la première année et de 13% l’année suivante”. Calculez le taux d’évolution global. Quel taux d’évolution,identique pour les deux années, arriverait au même taux d’évolution

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global ? Exo 25.

2.2 Taux d’´ evolution moyen

Définition 2.2 Le taux d’évolution tM moyen correspondant à n évolutions successives de taux t₁, t₂, · · · t_n est le taux qui, répété n fois, fournirait le même taux global T.

v₀ −→^1+t⁰ v₁ −→^1+t¹ v₂· · ·^1+t−→ⁿv_n v₀ ^1+t−→^M v₁ ^1+t−→^M v₂· · ·^1+t−→^M v_n

2.3 Calcul du taux moyen

Pour trouver le taux moyen, il nous faut trouver une équation qui relie ce qu’on connaˆıt (les taux d’évolution de chaque évolution, ou bien le taux global) à ce qu’on cherche (t_M). Or on sait que

v_n = (1 +t₁)(1 +t₂)· · ·(1 +t_n)v₀ v_n = (1 +T)v₀

vn = (1 +tM)(1 +tM)· · ·(1 +tM)v0 = (1 +tM)ⁿv0

Donc (1 +t_M)ⁿ= (1 +t₁)(1 +t₂)· · ·(1 +t_n) = (1 +T)

Exo : Le baril de pétrole a augmenté de 17.5% en un an. Quelle équation vérifie le taux moyen mensuel d’augmentation du pétrole ?

2.3.1 Obtenir le taux moyen connaissant le taux global Il faut r´esoudre

(1 +t_M)ⁿ = (1 +T)

o`u T et n sont connus (ce sont les donn´ees) et t_M est inconnu.

Cas n= 2 : on doit résoudre (1 +t_M)² = (1 +T), ce qu’on sait faire : (1 +t_M) étant nécessairement positif, il n’y a qu’une solution :

(1 +t_M) = √ 1 +T , et donc

t_M =√

1 +T −1.

Cas g´en´eral :

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Proposition 2.1 L’´equation xⁿ = a d’inconnue x > 0 poss`ede une et une seule solution (dans ]0,+∞[) : on la note aⁿ¹.

Remarque 2.1

• les fonctionsx7→a^xoùa >0sont bien définies ! On les étudiera ultérieurement.

les puissances réels peuvent être faites sur la calculatrice, comme pour les ex- posants entiers, à l’aide de la toucheˆ.

• Les propriétés des exposants entiers s’étendent aux exposants réels...

Exercices :

– Tapez 2¹² à la calculette et mettez le au carré pour retrouver 2. Faites de même avec 2¹³ (à mettre à la puissance 3), 4¹⁵ (à mettre à la puissance 5), etc...

– Exo 29+retour sur le p´etrole.

2.3.2 Obtenir le taux moyen connaissant les taux t₁, t₂, · · ·, t_n On se sert cette fois de :

(1 +t_M)ⁿ = (1 +t₁)(1 +t₂)· · ·(1 +t_n)

(On peut aussi d’abord calculer le taux global et appliquer ce que l’on a vu dans le paragraphe pr´ec´edent).

Définition 2.3 La moyenne géométrique de n réels x1, · · ·, xn positifs est le nombre (x1x2· · ·xn)ⁿ¹

Exemple :

• 10 et 13 (sol : 11.402 et 11.5).

• Calculez les moyennes géométriques et arithmétiques des nombres 1.5, 0.3, 2.2.

(sol : 0.997 et 1.333).

• Recommencez avec 1020, 3050, 2, 250.1 (sol : 198.614 et 1080.525)

Notez que la moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique.

Proposition 2.2 Le coefficient multiplicateur moyen 1 +t_M est donc la moyenne g´eom´etrique des n coefficients multiplicateurs 1 +t1, 1 +t2, · · ·, 1 +tM successifs.

Attention, ce n’est pas la moyenne arithm´etique ! exo : exo 34. (sol : t_M ≈0.0022).

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3 Indice simple en base 100

Dans tout ce paragraphe y1 et y2 Sont des quantit´es strictement positives.

Lorsque l’on observe des évolutions successives, il est souvent préférable de les présenter en rapport avec une quantité de référence (cf les indices boursiers par exemple), ce qui permet de comparer plus facilement plusieurs évolutions (par exemple comparer l’évolution de certaines actions en bourse).

3.1 Definition

D´efinition 3.1 On appelle indice simple de y₂ par rapport `a y₁ le nombre I2/1 = 100× y2

y₁

On écrira souvent ”indice” au lieu de ”indice simple”. La quantité y₁ est la quantité de référence (la base), et correspond à la valeur 100. L’indice I_2/1 permet de comparer y₂ à y₁.

Exemple : Un produit vauty₁ = 103 euros en 2002,y₂ = 106 euros en 2003, y₃ = 107 euros en 2004, et y₄ = 102 euros en 2005. Calculez les indices I_1/1, I_1/2, I_1/3, I_1/4. (sol : 100, 102.91, 103.88, 99.03).

3.2 Lien avec le taux d’´ evolution de y

1

` a y

2

½ I_2/1 = 100× ^y_y²₁ t = ^y²_y^−y¹

1 = ^y_y²

1 −1 Donc 100×t= 100^y_y²₁ −100 =I_2/1−100

Proposition 3.1 L’indice I_2/1 de y₂ par rapport `a y₁ et le taux d’´evolution t de y₁

`a y₂ sont reli´es par : ½

I_2/1 = 100(1 +t) t = ^I₁₀₀^2/1 −1

Exo : exo 43. (sol : t=−0.047). Distribuer feuille internet sur les indices.

4 Petits taux : approximations

Activit´e : Remplissez le tableau suivant :

taux d⁰evolution t1 taux d⁰evolution t2 evolution globale evolution reciproque taux moy

0.001 0.003 0.00400 −0.00399

0.001 0.001 0.00200 −0.00200

0.02 0.02 0.0404 −0.0388

−0.3 −0.3 −0.51 1.041

0.8 0.8 2.24 −0.69

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Que constate-t-on ? Quand les taux sont petits, le taux d’évolution globale de deux évolutions successives de même taux est à peu près la somme des deux taux d’évolution. De même, le taux d’évolution réciproque est quasiment l’opposé du taux global.

4.1 Approximation du taux d’´ evolution global de deux ´ evolutions successives de mˆ eme taux t

Proposition 4.1 Lorsque t est proche de 0, le taux d’´evolution globalT de deux

évolutions successives de même taux t est à peu près égal à 2t.

D´emonstration :

T = (1 +t)²−1 = (1 + 2t+t²)−1 = (2t+t²) = t(2 +t).

Or t´etant proche de 0, 2 +t est proche de 2, donc T ≈2t.

4.2 Approximation du taux d’´ evolution r´ eciproque

Proposition 4.2 Lorsque T est proche de 0, le taux t⁰ de l’évolution réciproque d’une évolution de taux T est à peu près égal à −T.

D´emonstration :

1 +t⁰ = 1

1 +T −1 = 1

1 +T − 1 +T

1 +T = −T 1 +T. Or T ´etant proche de 0, 1 +T est proche de 1, donc t⁰ ≈ −T.

Exos : 57 et 60+revenir sur le tableau du haut pour calculer les erreurs commises.