Lyc´ee Louise Michel
Cours de Math´ematiques pour
les 2nde6
Sp´ecialit´e :Sciences M´edico-Sociales
Olivier LE CADET Ann´ee 2007/2008
Notes de cours
Premi` ere partie
Nombres, calcul, arithm´ etique.
Intro : des naturels aux r´ eels
• Premiers probl`emes math´ematiques des hommes : compter (jours, moutons...) → solutions : entailles, cailloux, ...
• Probl`eme quand les nombres deviennent grand→ solution : grouper les unit´es en paquet.
• Principe positionnel.
• On peut r´esoudre certaines ´equations alg´ebriques, mais beaucoup restent sans so- lutions dans les entiers naturels → on introduit les entiers relatifs (pertes. cf axe gradu´e).
• Certaines ´equations restent sans solution. Proportions, partage d’un segment... → rationnels.
• Tous les r´eels peuvent-ils s’´ecrire sous forme d’une fraction ? Ecole de Pythagore→ irrationnalit´e de√
2. Cas de π.
1 Les ensembles de nombres
1.1 Definitions – N,Z,D,Q,R.
– Exo :A quels ensembles appartiennent 32, 3.0, 13,π,−57, −92 ,√ 2,−√
16,−82. – Notations ⊂,∈.
– Proposition
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R – Dessin explicatif.
1.2 Ecriture d’un d´ecimal
Un ´el´ementd∈Dpeut ˆetre repr´esent´e de plusieurs fa¸cons : – Sous forme d´ecimale : d= 541.233
– Sous forme fractionnaire : d= 541233103 . – En ´ecriture scientifique : d= 5.41233×102. D´efinition 1.1
• Un d´ecimal est sous ´ecriture scientifique si d = a×10p ou d = −a×10p o`u 1≤a <10 et p∈Z.
• Donner l’ordre de grandeur d’un d´ecimal d, c’est arrondir le d´ecimal de son
´ecriture scientifique `a l’entier le plus proche.
Exemple : l’ordre de grandeur de −2.633333×105 est −3×105.
Exercice 1.1 Mettre les nombres suivants sous ´ecriture scientifique : −55332.23,103.5× 103, 25, 1+3+716
3
, 0.0001105 , 5×108×10−32×1.2×10×3×10513
Int´erˆet de l’´ecriture scientifique : Repr´esenter des grands nombres et avoir une id´ee de leur ordre de grandeur (ce qui permet de les comparer facilement).
Exercice 1.2 Dans 1mm3 de sang on trouve 4.8×106 globules rouges et8×103 globules blancs. Quel est le nombre de globule rouge et de globule blanc dans le sang sachant que le corps humain contient `a peu pr`es 5L de sang ?
1.3 Ecriture d´ecimale : valeur approch´ee d’un nombre.
Certains nombres comportent un grand nombre de chiffres apr`es la virgule, voire une infinit´e. On ne peut pas tous les ´ecrire, les m´emoriser. Comment faire pour travailler avec eux ? Comment fait la calculatrice, qui ne dispose que d’une m´emoire tr`es limit´ee pour m´emoriser et afficher les chiffres composant un nombre ?
1.3.1 Cas d’un rationnel.
– Un rationnel peut avoir un nombre infini de d´ecimales, mais celles-ci sont toujours organis´ees de mani`ere p´eriodique. Ex : 5211 = 4.72727272727272.... On peut alors utiliser la notation ... pour figurer ce qui suit. Id´ee de la d´emonstration voir TD n˚2.
– Un rationnel peut, par d´efinition, se mettre sous forme de fraction→ pour faire des calculsexacts, on le laissera sous forme fractionnaire.
1.3.2 Valeurs approch´ees.
activit´e d’introduction : – Calculez 13 `a la calculatrice.
– Multipliez le r´esultat par 1000, retranchez 333.
– R´ep´etez l’op´eration plusieurs fois.
– Faire le calcul `a la main. Que devrait-on obtenir ? Comment expliquer ce ph´enom`ene ? La calculatrice ne travaille pas avec la vraie valeurde 13 mais avec une valeur approch´ee ! D´efinition 1.2 • On dit que a est une valeur approch´ee par exc`es (resp. par d´efaut) de x (et on note a ≈ x) `a 10−p pr`es (p ∈ N) si a est le nombre avec p chiffres apr`es la virgule le plus proche de x tel que a≥x (resp. tel que a≤x).
• Lavaleur arrondie de x `a 10−p pr`es est le d´ecimal `a p chiffres apr`es la virgule le plus proche de x.
• Latroncatured’ordrepd’un r´eel est sa valeur approch´ee obtenue en ne conservant quep d´ecimale.
Exemple :
val.arrondie a 10−3 a 10−3par exces 10−3par defaut
1347 19.143 19.143 19.142
√2 1.414 1.415 1.414
cos 80˚ 0.174 0.174 0.173
1.3.3 Partie enti`ere.
D´efinition 1.3 La partie enti`ere d’un r´eel x est l’entier n < x le plus proche de x.
Formellement : C’est l’uniquen∈Z tel que n≤x < n+ 1.
Exemple :
La partie enti`ere de 137 est 1. La partie enti`ere de−√
2 est−2.
Exercice 1.3
– Donnez la valeur approch´ee par d´efaut `a 10−4 pr`es de √ 3−√
2, la valeur arrondie
`a 10−2 pr`es de cos 75˚.
– tapez π `a la calculatrice. Peut-on ´ecrire queπ= 3.141592654? Tapez3.141592654− π. Comment expliquer qu’on obtienne pas 0 ? La calculatrice travaille-t-elle avec une valeur approch´ee par d´efaut, ou par exc`es de π? Comment obtenir les chiffres cach´es ?
– Exo 66 p. 32.
Ne jamais ´ecrire ”13 = 0.33333” ou encore ”π= 3.1415” ! Il faut donc savoir distinguer : – La valeur exacte d’un nombre.
– La valeur arrondieaffich´ee `a l’´ecran.
– La valeur approch´ee stock´ee en m´emoire de la calculatrice.
2 Arithm´ etique. Travail sur N.
→ Poser la division de 266 par 7. La division est exacte (reste nul). On dit que 7 est undiviseur 266, et que 266 est unmultiplede 7.
2.1 Diviseurs, multiples
D´efinition 2.1 Lorsque le reste de la division euclidienne d’un entier m par un entier non nulk vaut 0, on dit que m est un multiple dek : il existe n∈Z tel que m=k×n.
k etn sont des diviseursde m.
Exemple : trouvez tous les diviseurs de 72, et de 60. Quel est leur pgcd ?
M´ethode : Pour trouver les diviseurs d’un entier, il faut utiliser lescrit`eres de divisibilit´e que vous connaissez :
– Par 2 :tous les entiers finissants par 0, 2, 4, 6, 8 (entiers pairs).
– Par 3 :tous les entiers dont la somme des chiffres est multiple de 3.
– Par 5 :tous les entiers finissant par 0 ou 5.
– Par 9 :tous les entiers dont la somme des chiffres est multiple de 9.
– Par 10 :tous les entiers finissant par 0.
Exemple : par quoi est divisible 342 ? 111 ? 810 ? 135 ?
2.2 Nombres premiers
D´efinition 2.2 On dit qu’un nombre n≥ 2 est premier s’il n’est divisible que par 1 et par lui-mˆeme.
Rq : 1 n’est pas consid´er´e comme premier.
Exo : trouvez tous les nombres premiers<36.
Crit`ere : pour d´eterminer si un nombre p ∈ N∗ est premier, il suffit de tester tous les entiers>1 plus petits que √
p. Si aucun ne divisep,p est premier !.
2.3 D´ecomposition en facteurs premiers Introduction sur un exemple→ 54.
Th´eor`eme 2.1 Toutn∈Ntel que n >1 peut s’´ecrire de fa¸con unique comme produit de nombres premiers.
Exemples : 48, 30, 126.
Int´erˆet :
– Simplification de fraction :
– Simplification de l’´ecriture d’un radical : exo 75, 91, 99, 101.
