Exercices 13 : La logique des prédicats
cours d’introduction à la logique, UniL, Philipp Blum à rendre le mercredi 29 mai 2019, avant 8h30
Nom(s) :
Points obtenus (dans 3 questions avec un total de 20 points) :
1. (6 points) À l’aide de la méthode des arbres, démontrez la validité des raisonnements sui- vants :
(a) «∀x(F x→ ¬Gx),∀x(F x∧Hx)|=∃x¬(Gx)» (b) «∃x(F xb)→ ∀x(Gx),∀x(F ax)|=∀x(Hxc→Gx)» (c) «∃x(F x),∃x(Gx)|=∃x(∃y(F y)∧Gx)»
(d) «∀x∃y(F xy→Gbx),∀x∀y(F yx)|=∃x(Gxx)» (e) «Ga→ ∀x(F x),∃x(F x)→Ga|=∀x(Ga↔F x)»
(f) «∀x(F x↔Gx),∀x(Hx↔Ix),∃x(Ix∧ ∀y(F y→J y))|=∃x(Hx∧ ∀y(J y∨ ¬Gy))»
2. (2 points) Déterminez lesquelles des formules suivantes sont logiquement équivalentes à «¬∀x(F x∨ Gx)» :
(a) «∃x(¬F x∧ ¬Gx)» (b) «∃x¬(F x∧Gx)» (c) «¬∀xF x∨ ¬∀xGx» (d) «∃x(¬F x∨ ¬Gx)» (e) «∀x(¬F x∨Gx)»
(f) «¬∀x(F x→ ¬Gx)» (g) «¬∀x(¬F x→Gx)» (h) «∃x¬(F x∨Gx)»
(i) «∃x¬F x∧ ∃x¬Gx» (j) «∃x¬(¬Gx→F x)»
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3. (12 points) Prouvez les relations suivantes entre des propriétés de relations par la méthode de la déduction naturelle. Vous avez le doit d’utiliser les équivalences entre «¬∀. . . » et
«∃¬. . . » (démontrées comme réponse à la cinquième question de la dernière série) : (a) les relations vides sont symétriques et asymétriques : ¬∃x∃y(Rxy) ⊢ ∀x∀y((Rxy →
Ryx)∧(Rxy→ ¬Ryx));
(b) toute relation asymétrique est anti-symétrique : ∀x∀y(Rxy → ¬Ryx) ⊢ ∀x∀y((x ̸≖
y∧Rxy)→ ¬Ryx);
(c) toute relation asymétrique est irréflexive :∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx)⊢ ∀x¬Rxx;
(d) toute relation irréflexive et transitive est asymétrique :∀x¬Rxx,∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→ Rxz)⊢ ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx);
(e) toute relation intransitive est irréflexive : ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→ ¬Rxz)⊢ ∀x¬Rxx; (f) toute relation sérielle, transitive et symétrique est réflexive :∀x∃yRxy,∀x∀y∀z((Rxy∧
Ryz)→Rxz),∀x∀y(Rxy→Ryx)⊢ ∀xRxx;
(g) si une relation est transitive, elle est irréflexive ssi elle est asymétrique ; (h) aucune relation intransitive est réflexive ;
(i) aucune relation asymétrique est non-réflexive (= ni réflexive ni irréflexive) ; (j) aucune relation est transitive, réflexive et asymétrique ;
(k) aucune relation est transitive, non-symétrique et irréflexive ;
(l) si une relation est transitive et intransitive, alors elle est asymétrique.
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