Exercices 11 : La méthode des arbres de la logique des prédicats
cours d’introduction à la logique, UniL, Philipp Blum à rendre le mercredi 15 mai 2019, avant 8h30
Nom(s) :
Points obtenus (dans 4 questions avec un total de 20 points) :
1. (5 points) Déterminez si les phrases suivantes sont valides à l’aide de la méthode des arbres : (a) «∀x(F x)→ ∀y(F y)»
(b) «∃x∀y (Rxy)→ ∀y∃x(Rxy)» (c) «Ga→(∀x(F x)→ ∃x(F x))» (d) «¬∃y(P y) → ∀y (F y→ ∃x(F x))»
(e) «∀x(F x→(Gx∧Hx))→ ∀x((F x∧Gx)→Hx)»
2. (3 points) À l’aide de la méthode des arbres, trouvez des modèles pour les phrases suivantes : (a) «∃x∀y (Rxy)∧ ∃x∃y(¬Rxy)»
(b) «∀x(¬Sxx)∧ ∃x∃y∃z(Sxy∧Syx∧ ¬Sxz)» (c) «∀x∃y (Rxy)∧ ∀x(¬Rxx)∧ ¬∀x∀y(Rxy→Ryx)»
3. (6 points) À l’aide de la méthode des arbres, vérifiez la validité des phrases suivantes. Décri- vez des structures dans lesquelles les converses de (b) et de (d) sont fausses, premièrement en langue naturelle et deuxièment aussi formellement que possible.
(a) «∀x(F x∧Gx)↔(∀x(F x)∧ ∀x(Gx))» (b) «(∀xF x∨ ∀xGx)→ ∀x(F x∨Gx)» (c) «∃x(F x∨Gx)↔(∃x(F x)∨ ∃x(Gx))» (d) «∃x(F x∧Gx)→(∃x(F x)∧ ∃x(Gx))»
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4. (6 points) Soient les abréviations suivantes :
« p» pour « ∀x∀y (Rxy→Ryx)» (« la relationRest symétrique »)
« q» pour « ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz)» (« la relationRest transitive »)
« r» pour « ∀x∀y (Rxy→Rxx)» (« la relationRest réflexive »)
« s» pour « ∀x∃y(Rxy)» (« la relationRest ‹ ouverte ›»)
« t» pour « ∀x∀y (Rxy→ ¬Ryx)» (« la relationRest anti-symétrique ») (a) Prouvez, par la méthode des arbres, la phrase suivante :
(1) (p∧q)→r
(b) Montrez qu’il n’est pas possible de trouver un modèle pour l’affirmation suivante par la méthode des arbres :
(2) ¬((q∧s∧t)→ ∃x∀y(¬Ryx))
(c) Donnez un exemple d’une structure dans laquelle (2) est vrai.
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