Logique des prédicats

Damien Nouvel

Plan

1. Histoire et définitions 2. Manipulation de formules

Propositions vs prédicats

§ Avantages et inconvénients la logique des propositions + Formalisationlogique solide

+ Possibilité de démonstrations + Monde clos

- Pas d’individusni de catégories - Pas de formulesgénériques - Pas de fonctions

§ Exemple

‚ Jean est père de Jacques et Alain, Alain est père de Tom.

‚ On sait que le père d’un père s’appelle un grand-père.

‚ Qui est le grand-père de Tom ?

ñ Raisonnement logique, évident pour un humain ñ Impossible à formuler en logique des propositions ! ñ Logique desprédicats, extension des propositions

Quantité et qualité des formules

Carré logique (Aristote)

§ On peut caractériser les propositions selon

‚ Leurquantité :universellevs particulière ñ En corrolaire sur la quantité : définir unensemble

‚ extension(ou dénotation), liste d’individus

ñ Par ex. :hommeÑdamien_pierre_paul_jacques. . .

‚ Intension ou compréhension, selon ce qui les définit ñ Par ex. :homme(x)Ñhumain(x)^male(x)

‚ Leurqualité:affirmative ou négative

Éléments

§ Élements pour la logique des prédicats :

‚ Variables et constantes

‚ V=tX,Y,Z. . .uet C=ta,b,c,pierre,paul,jacques. . .u

‚ Négation et connecteurs logiques

‚ ␣,^,_,Ñ,Ø

‚ Prédicats

‚ p(X),q(X,Z), maries(paul,anne),parent(X,Y)

‚ Application vers les valeurs de vérités

‚ Fonctions

‚ f(X),g(X,Y),mari(X),cousin(X,Y)

‚ Application vers le domaine

‚ Quantificateurs

‚ @(universel) etD (existentiel)

‚ Opérateurs unaires sur les variables, ayant uneportée

ñ Exemple de formule :@X,DY,(femme(Y)^mere(X,Y))

Mécanisme de prédication

§ Appliqués à un ou plusieurs individus

§ Résultat toujoursvrai ou faux

§ Interprétation générale

‚ Unaire :catégorie(attribut, propriété) d’un individu

‚ Binaire :relationentre individus

‚ Ternaire, quaternaire …n-aire

§ Souvent associée auxverbes (vs constantes pour lesnoms)

§ Modélisation

‚ Félix est un chat:chat(felix)

‚ Paul est grand:grand(paul)

‚ Paul parle à Jeanne :parler(paul,jeanne)

‚ Paul emprunte un livre à Marie:emprunt(paul,livre,marie)

Définitions

§ Termes

‚ Toute variable ou constante

‚ Toute fonctionf(x,y,z) avec x,y etzdes termes (récursivité)

§ Formule atomique (par récursivité)

‚ Sip est un prédicat àn arguments etX₁,X₂, . . .X_n sont des termes, alorsP(X₁,X₂, . . .X_n) est une formule atomique

§ Formule bien formée

‚ SiFune formule est atomique elle est bien formée

‚ Récursivité :␣F,(F),F^G,F_G,FÑG,FØG

‚ SiQest un quantificateur,X une variable etFune formule bien formée, alorsQXF est bien formée

§ Portéedes quantificateurs

‚ SiQest un quantificateur,X une variable, Fune formule bien formée, dansQXF,la portée deQXestF

ñ Exemple :p(X)^ DX(P(X,Y)^ @Y␣Q(X,Y)_ ␣R(X,Y))

Liaison de variables

§ Dans une formule, selon laportée des quantificateurs

‚ Variableliée: si elle est dans la portée d’un quantificateur ñ Exemple :@Xp(X),@Xp(X)^(DYq(X,Y))

‚ Variablelibre : si elle n’est pas liée ñ Exemple :p(X),@X(p(X)^q(X,Y))

§ Une formule peut être

‚ Close: toutes les variables sont liées

‚ Ouverte : il existe au moins une variable libre ñ Nous travaillons sur les formules closes

Sémantique, domaine, interprétation

§ Uneinterprétation Iest constituée des éléments suivants

‚ DomaineD : valeurs pour les constantes ou variables

‚ Constantes : élément deD

‚ Prédicats : application deDⁿ danstV,Fu

‚ Fonctions : application deDⁿ dansD

ñ Une interprétation estmodèle d’une formule si elle est valide pour le domaine, les constantes, prédicats et fonctions

§ Exemple

‚ Formule :@X(p(X,Y)^p(Y,Z)Ñp(X,Z))

‚ Domaine : D=tpaul,jean,jacques,leon,claudeu

‚ Prédicats :p(X,Y) est vrai siX etYsont cousins

‚ Fonctions : pas de fonction

ñ Cette interprétation est un modèle pour la formule

Exercices

§ Modélisez selon la logique des prédicats

‚ Jacques est le fils de Marie

‚ Tout le monde a un père

‚ Jean aime tout le monde

‚ Jacques n’aime pas tout le monde

‚ Personne n’aime Jacques

‚ Jean aime Marie mais Marie aime quelqu’un d’autre

‚ Jean aime une personne qui ne l’aime pas

‚ L’ami de mon ami est mon ami

Plan

1. Histoire et définitions 2. Manipulation de formules

Substitution

§ Substitution de variables

‚ Remplacement d’une variable par un terme

‚ Pour une formule FremplacerX parλse noteF[X/λ]

ñ Exemple :@XDYp(X,Y)[X/Z] =@ZDYp(Z,Y)

ñ Utile pour la mise sous forme prénexe et la skolémisation, lorsque deux sous-formules ont les mêmes variables

§ L’ordre des quantificateurs peut être modifié

‚ @X@Y” @Y@X

‚ DXDY” DYDX

‚ Attention :@WDYı DY@X

‚ @XDYaime(X,Y): tout le monde aime quelqu’un

‚ DY@Xaime(X,Y): quelqu’un est aimé de tout le monde

Mise sous forme normale prénexe

§ Une formule sous forme prénexe s’écrit Q₁X₁Q₂X₂. . .Q_nX_nF

‚ Q₁. . .Q_n sont des quantificateurs

‚ X₁. . .X_n sont des variables

‚ Fest une formule qui ne contient pas de quantificateur ñ Amener tous les quantificateurs en début de formule

§ Étapes

‚ Supprimer les implications et les équivalences

‚ Former des littéraux par transférer des négations

‚ ␣DXF” @X␣F

‚ ␣@XF” DX␣F

‚ Substituer les variables pour éviter les conflits

‚ Mettre les quantificateurs en tête de formule (G libre deX)

‚ QXF^G”QX(F^G)et F^QXG”QX(F^G)

‚ QXF_G”QX(F_G)et F_QXG”QX(F_G)

Exercices

§ Mettre sous forme prénexe

‚ @Xp(X)_ ␣@Yq(Y)

‚ DXp(X)_ ␣DXq(X)

‚ @Xp(X)Ñ @Xq(X)

‚ @X␣(p(X)^ DYq(X,Y))

‚ DX(p(X)^ DYq(X,Y)Ñ DYr(X,Y))

§ Modéliser et mettre sous forme prénexe

‚ si tout le monde est riche il n’y aura pas de vols

‚ qui sait conduire une voiture sait conduire toutes les voitures

Forme normale de Skolem

§ Formule universelle : que des quantificateurs universels ñ Skolémisation : supprimer les quantificateurs D

§ En début de formule, une constantesatisfait la formule

‚ Il existe un homme qui a marché sur la lune

” DXhomme(X)^marche(X,lune) ñ Substitution :[X/armstrong]

” homme(armstrong)^marche(armstrong,lune)

§ Après une quantification universelle, l’individu est une fonction des variables

‚ Tout avion doit être piloté

” @X(avion(X)Ñ DYpersonne(Y)^pilotage(Y,X))

” @XDY(avion(X)Ñpersonne(Y)^pilotage(Y,X)) ñ Substitution :[Y/pilote(X)]

” @X(avion(X)Ñpersonne(pilote(X))^pilotage(pilote(X),X))

Exercices

§ Modélisez, mettez sous forme prénexe de skolem conjonctive

‚ Il existe une capitale où est construite la Tour Eiffel

‚ Tout monument a été conçu par une personne

‚ La plus grande ville (d’un pays) est une capitale

Résolution

§ Clause : disjonction de littéraux

ñ Conjonction de clauses : forme normal conjonctive

§ Forme standard

‚ Forme prénexe

‚ Forme normale de Skolem

‚ Forme normale conjonctive (clausale)

§ Résolvant de Robinson (1965)

‚ Si deux clausesFetGsont sous la forme

‚ F=F1_F2. . .Fi. . .Fn

‚ G=G1_G2. . .Gj. . .Gn

‚ Et siF_i” ␣G_j alors la clauseH résultant de la disjonction deF etGaprès suppression deF_i etG_j est diteclause résolvantede FetG

ñ F₁_F₂. . .F_i´1_F_i+1. . .F_n_G₁_G₂. . .G_j´1_G_j+1. . .F_n