Logique des prédicats

(1)

Logique des prédicats

Damien Nouvel

Damien Nouvel (INaLCO) Logique des prédicats 1

(2)

Histoire et définitions

Plan

1. Histoire et définitions

2. Manipulation de formules

(3)

Propositions vs prédicats

§

Avantages et inconvénients la logique des propositions

+ Formalisationlogique solide + Possibilité dedémonstrations + Monde clos

- Pas defonctions - Pas decatégories

- Pas de formulesgénériques

§

Exemple

• Jean est le père de Jacques et Alain, et Roger et le père de Tom.

• On sait que le père d’un père s’appelle un grand-père.

• Qui est le grand-père de Tom ?

ñ Raisonnement logique, évident pour un humain

ñ Impossible à formuler correctement en logique des propositions

ñ Logique des

prédicats

étend la logique des propositions

(4)

Propositions vs prédicats

§

Avantages et inconvénients la logique des propositions

+ Formalisationlogique solide

+ Possibilité dedémonstrations + Monde clos

§

Exemple

ñ Logique des

prédicats

étend la logique des propositions

(5)

Propositions vs prédicats

§

Avantages et inconvénients la logique des propositions

§

Exemple

ñ Logique des

prédicats

étend la logique des propositions

(6)

Propositions vs prédicats

§

Avantages et inconvénients la logique des propositions

§

Exemple

ñ Logique des

prédicats

étend la logique des propositions

(7)

Propositions vs prédicats

§

Avantages et inconvénients la logique des propositions

§

Exemple

ñ Logique des

prédicats

étend la logique des propositions

(8)

Propositions vs prédicats

§

Avantages et inconvénients la logique des propositions

§

Exemple

ñ Logique des

prédicats

étend la logique des propositions

(9)

Quantité et qualité des formules

§

On peut qualifier les propositions selon

• Leurquantité:universellevsparticulière

• Extension(ou dénotation)

ñ Ensemble d’individusdans le dans ledomainedu discours ñ Par ex. : HommeÑDamien_Pierre_Paul_Jacques. . .

• Compréhension(ou intention) ñ Ensemble de caractères

ñ Par ex. : Hommepxq ÑHumainpxq ^Malepxq

• Leurqualité:affirmativeounégative

Carré logique(Aristote)

(10)

Quantité et qualité des formules

§

On peut qualifier les propositions selon

(11)

Quantité et qualité des formules

§

On peut qualifier les propositions selon

(12)

Quantité et qualité des formules

§

On peut qualifier les propositions selon

(13)

Quantité et qualité des formules

§

On peut qualifier les propositions selon

(14)

Alphabet

§

Élements pour la logique des prédicats :

• Variables et constantes

• V“x,y,zetC“a,b,c,Pierre,Paul,Jacques. . .

• Négation et connecteurs logiques

• ,^,_,Ñ,Ø

• Prédicats

• Ppxq,Qpx,zq,mariespx,yq,perepx,yq,cousinpx,yq

• Application dans les valeurs de vérités

• Fonctions

• fpxq,gpx,yq,maripxq,perepxq

• Application dans le domaine

• Quantificateurs

• @(universel) etD(existentiel)

• Opérateurs unaires sur les variables, ayant uneportée

ñ Exemple de formule : @ x , D y , y ă x

(15)

Alphabet

§

Élements pour la logique des prédicats :

• V “x,y,zetC“a,b,c,Pierre,Paul,Jacques. . .

• ,^,_,Ñ,Ø

• Prédicats

• Fonctions

ñ Exemple de formule : @ x , D y , y ă x

(16)

Alphabet

§

Élements pour la logique des prédicats :

• ,^,_,Ñ,Ø

• Prédicats

• Fonctions

ñ Exemple de formule : @ x , D y , y ă x

(17)

Alphabet

§

Élements pour la logique des prédicats :

• ,^,_,Ñ,Ø

• Prédicats

• Fonctions

ñ Exemple de formule : @ x , D y , y ă x

(18)

Alphabet

§

Élements pour la logique des prédicats :

• ,^,_,Ñ,Ø

• Prédicats

• Fonctions

ñ Exemple de formule : @ x , D y , y ă x

(19)

Alphabet

§

Élements pour la logique des prédicats :

• ,^,_,Ñ,Ø

• Prédicats

• Fonctions

ñ Exemple de formule : @ x , D y , y ă x

(20)

Alphabet

§

Élements pour la logique des prédicats :

• ,^,_,Ñ,Ø

• Prédicats

• Fonctions

ñ Exemple de formule : @ x , D y , y ă x

(21)

Définitions

§

Termes

• Toute variable

• Toute fonctionf

p

x,y,z

q

six,y etz sont des termes

§

Formule atomique

• SiPest un prédicat ànarguments etx₁,x₂, . . .x_nsont des termes, alorsP

p

x1,x2, . . .xn

q

est une formule atomatique

§

Formule bien formée

• Comme pour les propositions pour ,

^

,

_

,

Ñ

,

Ø, pq

• Si une formule est atomique elle est bien formée

• SiQest un quantificateur,x une variable etF une formule bien formée, alorsQxF est également bien formée

§

Portée des quantificateurs

• SiQest un quantificateur,x une variable etF une formule bien formée, alors la portée deQxestF

ñ Exemple : P

p

x

q ^ D

x

p

P

p

x,y

q ^ @

y Q

p

x,y

q _

R

p

x,y

qq

(22)

Définitions

§

Termes

• Toute variable

• Toute fonctionf

p

x,y,z

q

§

Formule atomique

p

x1,x2, . . .xn

q

§

Formule bien formée

^

,

_

,

Ñ

,

Ø, pq

§

Portée des quantificateurs

ñ Exemple : P

p

x

q ^ D

x

p

P

p

x,y

q ^ @

y Q

p

x,y

q _

R

p

x,y

qq

(23)

Définitions

§

Termes

• Toute variable

• Toute fonctionf

p

x,y,z

q

§

Formule atomique

p

x1,x2, . . .xn

q

§

Formule bien formée

^

,

_

,

Ñ

,

Ø, pq

§

Portée des quantificateurs

ñ Exemple : P

p

x

q ^ D

x

p

P

p

x,y

q ^ @

y Q

p

x,y

q _

R

p

x,y

qq

(24)

Définitions

§

Termes

• Toute variable

• Toute fonctionf

p

x,y,z

q

§

Formule atomique

p

x1,x2, . . .xn

q

§

Formule bien formée

^

,

_

,

Ñ

,

Ø, pq

§

Portée des quantificateurs

ñ Exemple : P

p

x

q ^ D

x

p

P

p

x,y

q ^ @

y Q

p

x,y

q _

R

p

x,y

qq

(25)

Liaison de variables

§

Dans une formule, selon la portée des quantificateurs

• Variableliée: si elle est dans la portée d’un quantificateur ñ Exemple :

@

xP

p

x

q

,

@

xP

p

x

q ^ pD

yQ

p

x,y

qq

• Variablelibre: si elle n’est pas liée ñ Exemple : P

p

x

q

,

@

x

p

P

p

x

q ^

Q

p

x,y

qq

§

Une formule peut être

• Close: toutes les variables sont liées

• Ouverte: il existe au moins une variable libre ñ Nous travaillons sur les formules closes

(26)

Liaison de variables

§

Dans une formule, selon la portée des quantificateurs

@

xP

p

x

q

,

@

xP

p

x

q ^ pD

yQ

p

x,y

qq

p

x

q

,

@

x

p

P

p

x

q ^

Q

p

x,y

qq

§

Une formule peut être

(27)

Liaison de variables

§

Dans une formule, selon la portée des quantificateurs

@

xP

p

x

q

,

@

xP

p

x

q ^ pD

yQ

p

x,y

qq

p

x

q

,

@

x

p

P

p

x

q ^

Q

p

x,y

qq

§

Une formule peut être

(28)

Liaison de variables

§

Dans une formule, selon la portée des quantificateurs

@

xP

p

x

q

,

@

xP

p

x

q ^ pD

yQ

p

x,y

qq

p

x

q

,

@

x

p

P

p

x

q ^

Q

p

x,y

qq

§

Une formule peut être

(29)

Sémantique, domaine et interprétation

§

Une interprétation

I

est constituée des éléments suivants

• DomaineD: valeurs que peuvent prendre les constantes

• Constantes : élément deD

• Prédicats : application deDⁿdans

t

V,F

u

• Fonctions : application deDⁿdansD

ñ Une interprétation est un

modèle

pour une formule si elle la rend toujours vraie dans le domaine

§

Exemple

• Formule :

@

x

p

x

q Ñ

q

p

x,f

p

x

qq

• Domaine :D

“ r

0,`8s

• Prédicats :p

p

x

q

est vrai six

ă

1,q

p

x,y

q

est vrai six

ą

y

• Fonctions :f

p

x

q “

x²

ñ Cette interprétation est un modèle pour la formule ñ Si l’on change le domaine, ça n’est plus un modèle

(30)

Sémantique, domaine et interprétation

§

Une interprétation

I

est constituée des éléments suivants

t

V,F

u

ñ Une interprétation est un

modèle

pour une formule si elle la rend toujours vraie dans le domaine

§

Exemple

• Formule :

@

x

p

x

q Ñ

q

p

x,f

p

x

qq

• Domaine :D

“ r

0,`8s

• Prédicats :p

p

x

q

est vrai six

ă

1,q

p

x,y

q

est vrai six

ą

y

• Fonctions :f

p

x

q “

x²

(31)

Sémantique, domaine et interprétation

§

Une interprétation

I

est constituée des éléments suivants

t

V,F

u

ñ Une interprétation est un

modèle

pour une formule si elle la rend toujours vraie dans le domaine

§

Exemple

• Formule :

@

x

p

x

q Ñ

q

p

x,f

p

x

qq

• Domaine :D

“ r

0,`8s

• Prédicats :p

p

x

q

est vrai six

ă

1,q

p

x,y

q

est vrai six

ą

y

• Fonctions :f

p

x

q “

x²

(32)

Sémantique, domaine et interprétation

§

Une interprétation

I

est constituée des éléments suivants

t

V,F

u

ñ Une interprétation est un

modèle

pour une formule si elle la rend toujours vraie dans le domaine

§

Exemple

• Formule :

@

x

p

x

q Ñ

q

p

x,f

p

x

qq

• Domaine :D

“ r

0,`8s

• Prédicats :p

p

x

q

est vrai six

ă

1,q

p

x,y

q

est vrai six

ą

y

• Fonctions :f

p

x

q “

x²

ñ Cette interprétation est un modèle pour la formule

ñ Si l’on change le domaine, ça n’est plus un modèle

(33)

Sémantique, domaine et interprétation

§

Une interprétation

I

est constituée des éléments suivants

t

V,F

u

ñ Une interprétation est un

modèle

pour une formule si elle la rend toujours vraie dans le domaine

§

Exemple

• Formule :

@

x

p

x

q Ñ

q

p

x,f

p

x

qq

• Domaine :D

“ r

0,`8s

• Prédicats :p

p

x

q

est vrai six

ă

1,q

p

x,y

q

est vrai six

ą

y

• Fonctions :f

p

x

q “

x²

(34)

Exercices

§

Modélisez selon la logique des prédicats

• Jacques est le fils de Marie

• Tout le monde a un père

• Jean aime tout le monde

• Jacques n’aime pas tout le monde

• Personne n’aime Jacques

• Jean aime Marie mais Marie aime quelqu’un d’autre

• Jean aime une personne qui ne l’aime pas

• L’ami de mon ami est mon ami

(35)

Manipulation de formules

Plan

1. Histoire et définitions

2. Manipulation de formules

(36)

Substitution

§

Substitution de variables

• Remplacement d’une variable par une expression

• Notation : pour une propositionAremplacerx parBse noteA

r

x

{

B

s

ñ Exemple :

@

x

D

yP

p

x,y

qr

x

{

z

s@

z

D

yP

p

z,y

q

ñ Utile pour la mise sous forme prénexe et skolémisation, lorsque deux sous fomules ont les mêmes variables

§

Ordre des quantificateurs peut être modifié

•

@

x

@

y

” @

y

@

x

•

D

x

D

y

” D

y

D

x

• Attention :

@

x

D

y

ı D

y

@

x

(37)

Mise sous forme normale prénexe

§

Une formule est sous forme prénexe si elle s’écrit

Q1Q2

. . .

QnF

• Q₁. . .Q_nsont des quantificateurs

• F est sans quantificateurs

ñ On amène tous les quantificateurs en début de formule

§

Si

F

et

G

sont des formules

• Suppression des négations

• DxF” @x F

• @xF” Dx F

• SiGest libre dex

• @xF_G” @xpF_Gq

• @xF^G” @xpF^Gq

• DxF_G” DxpF_Gq

• DxF^G” DxpF^Gq

§

Exercice

• AvecGest libre dex, mettre sous forme prénexe

p@

xF

q Ñ

G

(38)

Forme normale de Skolem

§

Quantificateur existentiel : une constante satisfait la formule

• Il existe un homme qui a été président des États-Unis

”

D

xHomme

p

x

q ^

President

p

x,USA

q

” Homme

p

BillClinton

q ^

President

p

BillClinton,USA

q

§

Sous quantification universelle l’individu dépend d’une fonction

• Chaque président des États-Unis est assisté par un vice président

”

@

xPresident

p

x,USA

q Ñ D

yVicePresident

p

x,y

q

”

@

x

D

yPresident

p

x,USA

q Ñ

VicePresident

p

x,y

q

”

@

xPresident

p

x,USA

q Ñ

VicePresident

p

x,NominationVP

p

x

qq

§

La skolémisation consiste à remplacer tous les D par

• Des constantes s’il n’y a pas de quantification existentielle avant

• Sinon des fonctions des variables quantifiées existentiellement

(39)

Forme normale clausale

§

Forme normale clausale

• Forme normale de Skolem

• Forme normale conjonctive

§

Résolvant de Robinson

• Si deux clauses sont sous la forme

• F “F₁_F₂. . .F_i. . .F_n

• G“G₁_G₂. . .G_j. . .G_n

• Et siF_i

”

G_j alors la clauseHrésultant de la disjonction deF et Gaprès suppression deFi etGj est appelée clause résolvante de F etG

• H

“

F₁

_

F₂. . .F_i_´₁

_

F_i_`₁. . .F_n

_

G₁

_

G₂. . .G_j_´₁

_

G_j_`₁. . .F_n

(40)

Exercices

§

Modélisez, mettez sous forme clausale

• Il existe une capitale où se trouve la Tour Eiffel

• Chaque capitale a un monument

• Si tous les hommes sont mortels, alors le père Noël n’existe pas

• S’il existe un homme naïf alors le père Noël existe