Logique des prédicats
Damien Nouvel
Histoire et définitions
Plan
1. Histoire et définitions 2. Manipulation de formules
Histoire et définitions
Propositions vs prédicats
§ Avantages et inconvénients la logique des propositions
+ Formalisationlogique solide + Possibilité de démonstrations + Monde clos
- Pas d’individusni de catégories - Pas de formulesgénériques - Pas de fonctions
§ Exemple
‚ Jean est père de Jacques et Alain, Alain est père de Tom.
‚ On sait que le père d’un père s’appelle un grand-père.
‚ Qui est le grand-père de Tom ?
ñ Raisonnement logique, évident pour un humain ñ Impossible à formuler en logique des propositions ! ñ Logique desprédicats, extension des propositions
Histoire et définitions
Propositions vs prédicats
§ Avantages et inconvénients la logique des propositions + Formalisationlogique solide
+ Possibilité de démonstrations + Monde clos
- Pas d’individusni de catégories - Pas de formulesgénériques - Pas de fonctions
§ Exemple
‚ Jean est père de Jacques et Alain, Alain est père de Tom.
‚ On sait que le père d’un père s’appelle un grand-père.
‚ Qui est le grand-père de Tom ?
ñ Raisonnement logique, évident pour un humain ñ Impossible à formuler en logique des propositions ! ñ Logique desprédicats, extension des propositions
Histoire et définitions
Propositions vs prédicats
§ Avantages et inconvénients la logique des propositions + Formalisationlogique solide
+ Possibilité de démonstrations + Monde clos
- Pas d’individusni de catégories - Pas de formulesgénériques - Pas de fonctions
§ Exemple
‚ Jean est père de Jacques et Alain, Alain est père de Tom.
‚ On sait que le père d’un père s’appelle un grand-père.
‚ Qui est le grand-père de Tom ?
ñ Raisonnement logique, évident pour un humain ñ Impossible à formuler en logique des propositions ! ñ Logique desprédicats, extension des propositions
Histoire et définitions
Propositions vs prédicats
§ Avantages et inconvénients la logique des propositions + Formalisationlogique solide
+ Possibilité de démonstrations + Monde clos
- Pas d’individusni de catégories - Pas de formulesgénériques - Pas de fonctions
§ Exemple
‚ Jean est père de Jacques et Alain, Alain est père de Tom.
‚ On sait que le père d’un père s’appelle un grand-père.
‚ Qui est le grand-père de Tom ?
ñ Raisonnement logique, évident pour un humain ñ Impossible à formuler en logique des propositions ! ñ Logique desprédicats, extension des propositions
Histoire et définitions
Propositions vs prédicats
§ Avantages et inconvénients la logique des propositions + Formalisationlogique solide
+ Possibilité de démonstrations + Monde clos
- Pas d’individusni de catégories - Pas de formulesgénériques - Pas de fonctions
§ Exemple
‚ Jean est père de Jacques et Alain, Alain est père de Tom.
‚ On sait que le père d’un père s’appelle un grand-père.
‚ Qui est le grand-père de Tom ?
ñ Raisonnement logique, évident pour un humain ñ Impossible à formuler en logique des propositions !
ñ Logique desprédicats, extension des propositions
Histoire et définitions
Propositions vs prédicats
§ Avantages et inconvénients la logique des propositions + Formalisationlogique solide
+ Possibilité de démonstrations + Monde clos
- Pas d’individusni de catégories - Pas de formulesgénériques - Pas de fonctions
§ Exemple
‚ Jean est père de Jacques et Alain, Alain est père de Tom.
‚ On sait que le père d’un père s’appelle un grand-père.
‚ Qui est le grand-père de Tom ?
ñ Raisonnement logique, évident pour un humain ñ Impossible à formuler en logique des propositions ! ñ Logique desprédicats, extension des propositions
Histoire et définitions
Quantité et qualité des formules
Carré logique (Aristote)
§ On peut caractériser les propositions selon
‚ Leurquantité :universellevs particulière ñ En corrolaire sur la quantité : définir unensemble
‚ extension(ou dénotation), liste d’individus
ñ Par ex. :hommeÑdamien_pierre_paul_jacques. . .
‚ Intension ou compréhension, selon ce qui les définit ñ Par ex. :homme(x)Ñhumain(x)^male(x)
‚ Leurqualité :affirmativeou négative
Histoire et définitions
Quantité et qualité des formules
Carré logique (Aristote)
§ On peut caractériser les propositions selon
‚ Leurquantité :universellevs particulière ñ En corrolaire sur la quantité : définir unensemble
‚ extension(ou dénotation), liste d’individus
ñ Par ex. :hommeÑdamien_pierre_paul_jacques. . .
‚ Intension ou compréhension, selon ce qui les définit ñ Par ex. :homme(x)Ñhumain(x)^male(x)
Histoire et définitions
Éléments
§ Élements pour la logique des prédicats :
‚ Variables et constantes
‚ V=tX,Y,Z. . .uet C=ta,b,c,pierre,paul,jacques. . .u
‚ Négation et connecteurs logiques
‚ ␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Prédicats
‚ p(X),q(X,Z), maries(paul,anne),parent(X,Y)
‚ Application vers les valeurs de vérités
‚ Fonctions
‚ f(X),g(X,Y),mari(X),cousin(X,Y)
‚ Application vers le domaine
‚ Quantificateurs
‚ @(universel) etD (existentiel)
‚ Opérateurs unaires sur les variables, ayant uneportée
ñ Exemple de formule :@X,DY,(femme(Y)^mere(X,Y))
Histoire et définitions
Éléments
§ Élements pour la logique des prédicats :
‚ Variables et constantes
‚ V=tX,Y,Z. . .uet C=ta,b,c,pierre,paul,jacques. . .u
‚ Négation et connecteurs logiques
‚ ␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Prédicats
‚ p(X),q(X,Z), maries(paul,anne),parent(X,Y)
‚ Application vers les valeurs de vérités
‚ Fonctions
‚ f(X),g(X,Y),mari(X),cousin(X,Y)
‚ Application vers le domaine
‚ Quantificateurs
‚ @(universel) etD (existentiel)
‚ Opérateurs unaires sur les variables, ayant uneportée
ñ Exemple de formule :@X,DY,(femme(Y)^mere(X,Y))
Histoire et définitions
Éléments
§ Élements pour la logique des prédicats :
‚ Variables et constantes
‚ V=tX,Y,Z. . .uet C=ta,b,c,pierre,paul,jacques. . .u
‚ Négation et connecteurs logiques
‚ ␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Prédicats
‚ p(X),q(X,Z), maries(paul,anne),parent(X,Y)
‚ Application vers les valeurs de vérités
‚ Fonctions
‚ f(X),g(X,Y),mari(X),cousin(X,Y)
‚ Application vers le domaine
‚ Quantificateurs
‚ @(universel) etD (existentiel)
‚ Opérateurs unaires sur les variables, ayant uneportée
ñ Exemple de formule :@X,DY,(femme(Y)^mere(X,Y))
Histoire et définitions
Éléments
§ Élements pour la logique des prédicats :
‚ Variables et constantes
‚ V=tX,Y,Z. . .uet C=ta,b,c,pierre,paul,jacques. . .u
‚ Négation et connecteurs logiques
‚ ␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Prédicats
‚ p(X),q(X,Z), maries(paul,anne),parent(X,Y)
‚ Application vers les valeurs de vérités
‚ Fonctions
‚ f(X),g(X,Y),mari(X),cousin(X,Y)
‚ Application vers le domaine
‚ Quantificateurs
‚ @(universel) etD (existentiel)
‚ Opérateurs unaires sur les variables, ayant uneportée
ñ Exemple de formule :@X,DY,(femme(Y)^mere(X,Y))
Histoire et définitions
Éléments
§ Élements pour la logique des prédicats :
‚ Variables et constantes
‚ V=tX,Y,Z. . .uet C=ta,b,c,pierre,paul,jacques. . .u
‚ Négation et connecteurs logiques
‚ ␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Prédicats
‚ p(X),q(X,Z), maries(paul,anne),parent(X,Y)
‚ Application vers les valeurs de vérités
‚ Fonctions
‚ f(X),g(X,Y),mari(X),cousin(X,Y)
‚ Application vers le domaine
‚ Quantificateurs
‚ @(universel) etD (existentiel)
‚ Opérateurs unaires sur les variables, ayant uneportée
ñ Exemple de formule :@X,DY,(femme(Y)^mere(X,Y))
Histoire et définitions
Éléments
§ Élements pour la logique des prédicats :
‚ Variables et constantes
‚ V=tX,Y,Z. . .uet C=ta,b,c,pierre,paul,jacques. . .u
‚ Négation et connecteurs logiques
‚ ␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Prédicats
‚ p(X),q(X,Z), maries(paul,anne),parent(X,Y)
‚ Application vers les valeurs de vérités
‚ Fonctions
‚ f(X),g(X,Y),mari(X),cousin(X,Y)
‚ Application vers le domaine
‚ Quantificateurs
‚ @(universel) etD (existentiel)
‚ Opérateurs unaires sur les variables, ayant uneportée
ñ Exemple de formule :@X,DY,(femme(Y)^mere(X,Y))
Histoire et définitions
Éléments
§ Élements pour la logique des prédicats :
‚ Variables et constantes
‚ V=tX,Y,Z. . .uet C=ta,b,c,pierre,paul,jacques. . .u
‚ Négation et connecteurs logiques
‚ ␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Prédicats
‚ p(X),q(X,Z), maries(paul,anne),parent(X,Y)
‚ Application vers les valeurs de vérités
‚ Fonctions
‚ f(X),g(X,Y),mari(X),cousin(X,Y)
‚ Application vers le domaine
‚ Quantificateurs
‚ @(universel) etD (existentiel)
‚ Opérateurs unaires sur les variables, ayant uneportée
ñ Exemple de formule :@X,DY,(femme(Y)^mere(X,Y))
Histoire et définitions
Mécanisme de prédication
§ Appliqués à un ou plusieurs individus
§ Résultat toujoursvrai ou faux
§ Interprétation générale
‚ Unaire :catégorie(attribut, propriété) d’un individu
‚ Binaire :relationentre individus
‚ Ternaire, quaternaire …n-aire
§ Souvent associée auxverbes (vs constantes pour lesnoms)
§ Modélisation
‚ Félix est un chat:chat(felix)
‚ Paul est grand:grand(paul)
‚ Paul parle à Jeanne :parler(paul,jeanne)
‚ Paul emprunte un livre à Marie:emprunt(paul,livre,marie)
Histoire et définitions
Mécanisme de prédication
§ Appliqués à un ou plusieurs individus
§ Résultat toujoursvrai ou faux
§ Interprétation générale
‚ Unaire :catégorie(attribut, propriété) d’un individu
‚ Binaire :relationentre individus
‚ Ternaire, quaternaire …n-aire
§ Souvent associée auxverbes (vs constantes pour lesnoms)
§ Modélisation
‚ Félix est un chat:chat(felix)
‚ Paul est grand:grand(paul)
‚ Paul parle à Jeanne :parler(paul,jeanne)
‚ Paul emprunte un livre à Marie:emprunt(paul,livre,marie)
Histoire et définitions
Mécanisme de prédication
§ Appliqués à un ou plusieurs individus
§ Résultat toujoursvrai ou faux
§ Interprétation générale
‚ Unaire :catégorie(attribut, propriété) d’un individu
‚ Binaire :relationentre individus
‚ Ternaire, quaternaire …n-aire
§ Souvent associée auxverbes (vs constantes pour lesnoms)
§ Modélisation
‚ Félix est un chat:chat(felix)
‚ Paul est grand:grand(paul)
‚ Paul parle à Jeanne :parler(paul,jeanne)
‚ Paul emprunte un livre à Marie:emprunt(paul,livre,marie)
Histoire et définitions
Mécanisme de prédication
§ Appliqués à un ou plusieurs individus
§ Résultat toujoursvrai ou faux
§ Interprétation générale
‚ Unaire :catégorie(attribut, propriété) d’un individu
‚ Binaire :relationentre individus
‚ Ternaire, quaternaire …n-aire
§ Souvent associée auxverbes (vs constantes pour lesnoms)
§ Modélisation
‚ Félix est un chat:chat(felix)
‚ Paul est grand:grand(paul)
‚ Paul parle à Jeanne :parler(paul,jeanne)
‚ Paul emprunte un livre à Marie:emprunt(paul,livre,marie)
Histoire et définitions
Définitions
§ Termes
‚ Toute variable ou constante
‚ Toute fonctionf(x,y,z) avec x,y etzdes termes (récursivité)
§ Formule atomique (par récursivité)
‚ Sip est un prédicat àn arguments et X1,X2, . . .Xn sont des termes, alorsP(X1,X2, . . .Xn) est une formule atomique
§ Formule bien formée
‚ SiFune formule est atomique elle est bien formée
‚ Récursivité :␣F,(F),F^G,F_G,FÑG,FØG
‚ SiQest un quantificateur,X une variable etFune formule bien formée, alorsQXF est bien formée
§ Portée des quantificateurs
‚ SiQest un quantificateur,X une variable, Fune formule bien formée, dansQXF,la portée deQXestF
ñ Exemple :p(X)^ DX(P(X,Y)^ @Y␣Q(X,Y)_ ␣R(X,Y))
Histoire et définitions
Définitions
§ Termes
‚ Toute variable ou constante
‚ Toute fonctionf(x,y,z) avec x,y etzdes termes (récursivité)
§ Formule atomique (par récursivité)
‚ Sip est un prédicat àn arguments etX1,X2, . . .Xn sont des termes, alorsP(X1,X2, . . .Xn) est une formule atomique
§ Formule bien formée
‚ SiFune formule est atomique elle est bien formée
‚ Récursivité :␣F,(F),F^G,F_G,FÑG,FØG
‚ SiQest un quantificateur,X une variable etFune formule bien formée, alorsQXF est bien formée
§ Portée des quantificateurs
‚ SiQest un quantificateur,X une variable, Fune formule bien formée, dansQXF,la portée deQXestF
ñ Exemple :p(X)^ DX(P(X,Y)^ @Y␣Q(X,Y)_ ␣R(X,Y))
Histoire et définitions
Définitions
§ Termes
‚ Toute variable ou constante
‚ Toute fonctionf(x,y,z) avec x,y etzdes termes (récursivité)
§ Formule atomique (par récursivité)
‚ Sip est un prédicat àn arguments etX1,X2, . . .Xn sont des termes, alorsP(X1,X2, . . .Xn) est une formule atomique
§ Formule bien formée
‚ SiFune formule est atomique elle est bien formée
‚ Récursivité :␣F,(F),F^G,F_G,FÑG,FØG
‚ SiQest un quantificateur,X une variable etFune formule bien formée, alorsQXF est bien formée
§ Portée des quantificateurs
‚ SiQest un quantificateur,X une variable, Fune formule bien formée, dansQXF,la portée deQXestF
ñ Exemple :p(X)^ DX(P(X,Y)^ @Y␣Q(X,Y)_ ␣R(X,Y))
Histoire et définitions
Définitions
§ Termes
‚ Toute variable ou constante
‚ Toute fonctionf(x,y,z) avec x,y etzdes termes (récursivité)
§ Formule atomique (par récursivité)
‚ Sip est un prédicat àn arguments etX1,X2, . . .Xn sont des termes, alorsP(X1,X2, . . .Xn) est une formule atomique
§ Formule bien formée
‚ SiFune formule est atomique elle est bien formée
‚ Récursivité :␣F,(F),F^G,F_G,FÑG,FØG
‚ SiQest un quantificateur,X une variable etFune formule bien formée, alorsQXF est bien formée
§ Portéedes quantificateurs
‚ SiQest un quantificateur,X une variable, Fune formule bien formée, dansQXF,la portée deQXestF
ñ Exemple :p(X)^ DX(P(X,Y)^ @Y␣Q(X,Y)_ ␣R(X,Y))
Histoire et définitions
Liaison de variables
§ Dans une formule, selon laportée des quantificateurs
‚ Variableliée: si elle est dans la portée d’un quantificateur ñ Exemple :@Xp(X),@Xp(X)^(DYq(X,Y))
‚ Variablelibre : si elle n’est pas liée ñ Exemple :p(X),@X(p(X)^q(X,Y))
§ Une formule peut être
‚ Close: toutes les variables sont liées
‚ Ouverte : il existe au moins une variable libre ñ Nous travaillons sur les formules closes
Histoire et définitions
Liaison de variables
§ Dans une formule, selon laportée des quantificateurs
‚ Variableliée: si elle est dans la portée d’un quantificateur ñ Exemple :@Xp(X),@Xp(X)^(DYq(X,Y))
‚ Variablelibre : si elle n’est pas liée ñ Exemple :p(X),@X(p(X)^q(X,Y))
§ Une formule peut être
‚ Close: toutes les variables sont liées
‚ Ouverte : il existe au moins une variable libre ñ Nous travaillons sur les formules closes
Histoire et définitions
Liaison de variables
§ Dans une formule, selon laportée des quantificateurs
‚ Variableliée: si elle est dans la portée d’un quantificateur ñ Exemple :@Xp(X),@Xp(X)^(DYq(X,Y))
‚ Variablelibre : si elle n’est pas liée ñ Exemple :p(X),@X(p(X)^q(X,Y))
§ Une formule peut être
‚ Close: toutes les variables sont liées
‚ Ouverte : il existe au moins une variable libre ñ Nous travaillons sur les formules closes
Histoire et définitions
Liaison de variables
§ Dans une formule, selon laportée des quantificateurs
‚ Variableliée: si elle est dans la portée d’un quantificateur ñ Exemple :@Xp(X),@Xp(X)^(DYq(X,Y))
‚ Variablelibre : si elle n’est pas liée ñ Exemple :p(X),@X(p(X)^q(X,Y))
§ Une formule peut être
‚ Close: toutes les variables sont liées
‚ Ouverte : il existe au moins une variable libre ñ Nous travaillons sur les formules closes
Histoire et définitions
Sémantique, domaine, interprétation
§ Uneinterprétation Iest constituée des éléments suivants
‚ DomaineD : valeurs pour les constantes ou variables
‚ Constantes : élément deD
‚ Prédicats : application deDn danstV,Fu
‚ Fonctions : application deDn dansD
ñ Une interprétation est modèled’une formule si elle est valide pour le domaine, les constantes, prédicats et fonctions
§ Exemple
‚ Formule :@X(p(X,Y)^p(Y,Z)Ñp(X,Z))
‚ Domaine : D=tpaul,jean,jacques,leon,claudeu
‚ Prédicats :p(X,Y) est vrai siX etY sont cousins
‚ Fonctions : pas de fonction
ñ Cette interprétation est un modèle pour la formule
Histoire et définitions
Sémantique, domaine, interprétation
§ Uneinterprétation Iest constituée des éléments suivants
‚ DomaineD : valeurs pour les constantes ou variables
‚ Constantes : élément deD
‚ Prédicats : application deDn danstV,Fu
‚ Fonctions : application deDn dansD
ñ Une interprétation estmodèle d’une formule si elle est valide pour le domaine, les constantes, prédicats et fonctions
§ Exemple
‚ Formule :@X(p(X,Y)^p(Y,Z)Ñp(X,Z))
‚ Domaine : D=tpaul,jean,jacques,leon,claudeu
‚ Prédicats :p(X,Y) est vrai siX etY sont cousins
‚ Fonctions : pas de fonction
ñ Cette interprétation est un modèle pour la formule
Histoire et définitions
Sémantique, domaine, interprétation
§ Uneinterprétation Iest constituée des éléments suivants
‚ DomaineD : valeurs pour les constantes ou variables
‚ Constantes : élément deD
‚ Prédicats : application deDn danstV,Fu
‚ Fonctions : application deDn dansD
ñ Une interprétation estmodèle d’une formule si elle est valide pour le domaine, les constantes, prédicats et fonctions
§ Exemple
‚ Formule :@X(p(X,Y)^p(Y,Z)Ñp(X,Z))
‚ Domaine : D=tpaul,jean,jacques,leon,claudeu
‚ Prédicats :p(X,Y) est vrai siX etYsont cousins
‚ Fonctions : pas de fonction
ñ Cette interprétation est un modèle pour la formule
Histoire et définitions
Exercices
§ Modélisez selon la logique des prédicats
‚ Jacques est le fils de Marie
‚ Tout le monde a un père
‚ Jean aime tout le monde
‚ Jacques n’aime pas tout le monde
‚ Personne n’aime Jacques
‚ Jean aime Marie mais Marie aime quelqu’un d’autre
‚ Jean aime une personne qui ne l’aime pas
‚ L’ami de mon ami est mon ami
Manipulation de formules
Plan
1. Histoire et définitions 2. Manipulation de formules
Manipulation de formules
Substitution
§ Substitution de variables
‚ Remplacement d’une variable par un terme
‚ Pour une formule FremplacerX parλse noteF[X/λ]
ñ Exemple :@XDYp(X,Y)[X/Z] =@ZDYp(Z,Y)
ñ Utile pour la mise sous forme prénexe et la skolémisation, lorsque deux sous-formules ont les mêmes variables
§ L’ordre des quantificateurs peut être modifié
‚ @X@Y” @Y@X
‚ DXDY” DYDX
‚ Attention :@WDYı DY@X
‚ @XDYaime(X,Y): tout le monde aime quelqu’un
‚ DY@Xaime(X,Y): quelqu’un est aimé de tout le monde
Manipulation de formules
Substitution
§ Substitution de variables
‚ Remplacement d’une variable par un terme
‚ Pour une formule FremplacerX parλse noteF[X/λ]
ñ Exemple :@XDYp(X,Y)[X/Z] =@ZDYp(Z,Y)
ñ Utile pour la mise sous forme prénexe et la skolémisation, lorsque deux sous-formules ont les mêmes variables
§ L’ordre des quantificateurs peut être modifié
‚ @X@Y” @Y@X
‚ DXDY” DYDX
‚ Attention :@WDYı DY@X
‚ @XDYaime(X,Y): tout le monde aime quelqu’un
‚ DY@Xaime(X,Y): quelqu’un est aimé de tout le monde
Manipulation de formules
Substitution
§ Substitution de variables
‚ Remplacement d’une variable par un terme
‚ Pour une formule FremplacerX parλse noteF[X/λ]
ñ Exemple :@XDYp(X,Y)[X/Z] =@ZDYp(Z,Y)
ñ Utile pour la mise sous forme prénexe et la skolémisation, lorsque deux sous-formules ont les mêmes variables
§ L’ordre des quantificateurs peut être modifié
‚ @X@Y” @Y@X
‚ DXDY” DYDX
‚ Attention :@WDYı DY@X
‚ @XDYaime(X,Y): tout le monde aime quelqu’un
‚ DY@Xaime(X,Y): quelqu’un est aimé de tout le monde
Manipulation de formules
Substitution
§ Substitution de variables
‚ Remplacement d’une variable par un terme
‚ Pour une formule FremplacerX parλse noteF[X/λ]
ñ Exemple :@XDYp(X,Y)[X/Z] =@ZDYp(Z,Y)
ñ Utile pour la mise sous forme prénexe et la skolémisation, lorsque deux sous-formules ont les mêmes variables
§ L’ordre des quantificateurs peut être modifié
‚ @X@Y” @Y@X
‚ DXDY” DYDX
‚ Attention :@WDYı DY@X
‚ @XDYaime(X,Y): tout le monde aime quelqu’un
‚ DY@Xaime(X,Y): quelqu’un est aimé de tout le monde
Manipulation de formules
Substitution
§ Substitution de variables
‚ Remplacement d’une variable par un terme
‚ Pour une formule FremplacerX parλse noteF[X/λ]
ñ Exemple :@XDYp(X,Y)[X/Z] =@ZDYp(Z,Y)
ñ Utile pour la mise sous forme prénexe et la skolémisation, lorsque deux sous-formules ont les mêmes variables
§ L’ordre des quantificateurs peut être modifié
‚ @X@Y” @Y@X
‚ DXDY” DYDX
‚ Attention :@WDYı DY@X
‚ @XDYaime(X,Y): tout le monde aime quelqu’un
‚ DY@Xaime(X,Y): quelqu’un est aimé de tout le monde
Manipulation de formules
Mise sous forme normale prénexe
§ Une formule sous forme prénexe s’écrit Q1X1Q2X2. . .QnXnF
‚ Q1. . .Qn sont des quantificateurs
‚ X1. . .Xn sont des variables
‚ Fest une formule qui ne contient pas de quantificateur ñ Amener tous les quantificateurs en début de formule
§ Étapes
‚ Supprimer les implications et les équivalences
‚ Former des littéraux par transférer des négations
‚ ␣DXF” @X␣F
‚ ␣@XF” DX␣F
‚ Substituer les variables pour éviter les conflits
‚ Mettre les quantificateurs en tête de formule (G libre deX)
‚ QXF^G”QX(F^G)et F^QXG”QX(F^G)
‚ QXF_G”QX(F_G)et F_QXG”QX(F_G)
Manipulation de formules
Mise sous forme normale prénexe
§ Une formule sous forme prénexe s’écrit Q1X1Q2X2. . .QnXnF
‚ Q1. . .Qn sont des quantificateurs
‚ X1. . .Xn sont des variables
‚ Fest une formule qui ne contient pas de quantificateur ñ Amener tous les quantificateurs en début de formule
§ Étapes
‚ Supprimer les implications et les équivalences
‚ Former des littéraux par transférer des négations
‚ ␣DXF” @X␣F
‚ ␣@XF” DX␣F
‚ Substituer les variables pour éviter les conflits
‚ Mettre les quantificateurs en tête de formule (G libre deX)
‚ QXF^G”QX(F^G)et F^QXG”QX(F^G)
‚ QXF_G”QX(F_G)et F_QXG”QX(F_G)
Manipulation de formules
Mise sous forme normale prénexe
§ Une formule sous forme prénexe s’écrit Q1X1Q2X2. . .QnXnF
‚ Q1. . .Qn sont des quantificateurs
‚ X1. . .Xn sont des variables
‚ Fest une formule qui ne contient pas de quantificateur ñ Amener tous les quantificateurs en début de formule
§ Étapes
‚ Supprimer les implications et les équivalences
‚ Former des littéraux par transférer des négations
‚ ␣DXF” @X␣F
‚ ␣@XF” DX␣F
‚ Substituer les variables pour éviter les conflits
‚ Mettre les quantificateurs en tête de formule (G libre deX)
‚ QXF^G”QX(F^G)et F^QXG”QX(F^G)
‚ QXF G QX(F G)et F QXG QX(F G)
Manipulation de formules
Exercices
§ Mettre sous forme prénexe
‚ @Xp(X)_ ␣@Yq(Y)
‚ DXp(X)_ ␣DXq(X)
‚ @Xp(X)Ñ @Xq(X)
‚ @X␣(p(X)^ DYq(X,Y))
‚ DX(p(X)^ DYq(X,Y)Ñ DYr(X,Y))
§ Modéliser et mettre sous forme prénexe
‚ si tout le monde est riche il n’y aura pas de vols
‚ qui sait conduire une voiture sait conduire toutes les voitures
Manipulation de formules
Forme normale de Skolem
§ Formule universelle : que des quantificateurs universels ñ Skolémisation : supprimer les quantificateurs D
§ En début de formule, une constantesatisfait la formule
‚ Il existe un homme qui a marché sur la lune
” DXhomme(X)^marche(X,lune) ñ Substitution :[X/armstrong]
” homme(armstrong)^marche(armstrong,lune)
§ Après une quantification universelle, l’individu est une fonction des variables
‚ Tout avion doit être piloté
” @X(avion(X)Ñ DYpersonne(Y)^pilotage(Y,X))
” @XDY(avion(X)Ñpersonne(Y)^pilotage(Y,X)) ñ Substitution :[Y/pilote(X)]
” @X(avion(X)Ñpersonne(pilote(X))^pilotage(pilote(X),X))
Manipulation de formules
Forme normale de Skolem
§ Formule universelle : que des quantificateurs universels ñ Skolémisation : supprimer les quantificateurs D
§ En début de formule, une constantesatisfait la formule
‚ Il existe un homme qui a marché sur la lune
” DXhomme(X)^marche(X,lune) ñ Substitution :[X/armstrong]
” homme(armstrong)^marche(armstrong,lune)
§ Après une quantification universelle, l’individu est une fonction des variables
‚ Tout avion doit être piloté
” @X(avion(X)Ñ DYpersonne(Y)^pilotage(Y,X))
” @XDY(avion(X)Ñpersonne(Y)^pilotage(Y,X)) ñ Substitution :[Y/pilote(X)]
” @X(avion(X)Ñpersonne(pilote(X))^pilotage(pilote(X),X))
Manipulation de formules
Forme normale de Skolem
§ Formule universelle : que des quantificateurs universels ñ Skolémisation : supprimer les quantificateurs D
§ En début de formule, une constantesatisfait la formule
‚ Il existe un homme qui a marché sur la lune
” DXhomme(X)^marche(X,lune) ñ Substitution :[X/armstrong]
” homme(armstrong)^marche(armstrong,lune)
§ Après une quantification universelle, l’individu est une fonction des variables
‚ Tout avion doit être piloté
” @X(avion(X)Ñ DYpersonne(Y)^pilotage(Y,X))
” @XDY(avion(X)Ñpersonne(Y)^pilotage(Y,X)) ñ Substitution :[Y/pilote(X)]
” @X(avion(X)Ñpersonne(pilote(X))^pilotage(pilote(X),X))
Manipulation de formules
Exercices
§ Modélisez, mettez sous forme prénexe de skolem conjonctive
‚ Il existe une capitale où est construite la Tour Eiffel
‚ Tout monument a été conçu par une personne
‚ La plus grande ville (d’un pays) est une capitale
Manipulation de formules
Résolution
§ Clause : disjonction de littéraux
ñ Conjonction de clauses : forme normal conjonctive
§ Forme standard
‚ Forme prénexe
‚ Forme normale de Skolem
‚ Forme normale conjonctive (clausale)
§ Résolvant de Robinson (1965)
‚ Si deux clausesFetGsont sous la forme
‚ F=F1_F2. . .Fi. . .Fn
‚ G=G1_G2. . .Gj. . .Gn
‚ Et siFi” ␣Gj alors la clauseH résultant de la disjonction de FetGaprès suppression deFi etGj est diteclause résolvantede Fet G
ñ F1_F2. . .Fi´1_Fi+1. . .Fn_G1_G2. . .Gj´1_Gj+1. . .Fn
Manipulation de formules
Résolution
§ Clause : disjonction de littéraux
ñ Conjonction de clauses : forme normal conjonctive
§ Forme standard
‚ Forme prénexe
‚ Forme normale de Skolem
‚ Forme normale conjonctive (clausale)
§ Résolvant de Robinson (1965)
‚ Si deux clausesFetGsont sous la forme
‚ F=F1_F2. . .Fi. . .Fn
‚ G=G1_G2. . .Gj. . .Gn
‚ Et siFi” ␣Gj alors la clauseH résultant de la disjonction de FetGaprès suppression deFi etGj est diteclause résolvantede Fet G
ñ F1_F2. . .Fi´1_Fi+1. . .Fn_G1_G2. . .Gj´1_Gj+1. . .Fn
Manipulation de formules
Résolution
§ Clause : disjonction de littéraux
ñ Conjonction de clauses : forme normal conjonctive
§ Forme standard
‚ Forme prénexe
‚ Forme normale de Skolem
‚ Forme normale conjonctive (clausale)
§ Résolvant de Robinson (1965)
‚ Si deux clausesFetGsont sous la forme
‚ F=F1_F2. . .Fi. . .Fn
‚ G=G1_G2. . .Gj. . .Gn
‚ Et siFi” ␣Gj alors la clauseH résultant de la disjonction deF etGaprès suppression deFi etGj est diteclause résolvantede FetG
ñ F _F . . .F _F . . .F _G _G . . .G _G . . .F
