Syntaxe et sémantique de la logique des prédicats
cours d’introduction à la logique, UniL, Philipp Blum 1 mai 2019
Points à retenir de la dernière leçon
1. La logique des prédicats formalise des inférences qui caractérisent le comportement logique des quantificateurs.
2. Une inférence de la logique de prédicats nous apprend qu’un prédicat est vrai d’ une ou plusieurs choses s’il est vrai de certaines choses.
3. La forme générale d’une phrase simple dans la logique de prédicats est « F a » – F est considéré comme une fonction qui prend une chose (a, dans notre exemple) et donne une valeur de vérité.
4. Nous pouvons donner des clauses récursives pour expliquer la signification (les conditions de satisfaction) d’un prédicat complexe en termes des significations (conditions de satisfaction) de ses parties.
5. Les prédicats dans la logique des prédicats sont unaires, binaires ou plus généralement n-adiques.
6. Un terme singulier est soit un nom, un indexical, un démonstratif ou une description définie.
7. La grammaire catégorielle caractérise un prédicat par le type S/N, les connecteurs de phrases par le type S/S, les connecteurs qui forment des prédicats complexes par le type (S/N)/(S/N)et les quantificateurs de premier ordre par le typeS/(S/N). Les quantifica- teurs sont alors des prédicats de deuxième ordre, bien que, comme les termes singuliers, ils s’appliquent à des prédicats pour en faire des phrases.
8. Le quantificateur universel ‘abrège’ des conjonctions infinies ; le quantificateur existentiel
‘abrège’ des disjonctions infinies ; ils sont duales de la même manière que le sont la conjonc- tion et la disjonction.
9. Un quantificateur a un domaine de quantification associé qui limite le choix d’objets pour l’interprétation de la variable qu’il quantifie.
10. L’ordre des quantificateurs est important : «∃x∀yRxy» ne signifie pas la même chose que
«∀y∃xRxy».
Le langage L
+Nous élargissons maintenant notre alphabet et adoptons une nouvelle définition, plus large, de ce qu’est une formule bien-formée :
Définition 1. L’alphabet du langage L+ de la logique des prédicats consiste en les signes suivants :
1. des signes logiques :
(a) les connecteurs «¬. . .» (« ne-pas »), «. . .∧ · · · » (« et »), «. . .∨ · · · »( « ou »),
« . . .→ · · · » (« si-alors) et «. . .↔ · · · » (« ssi ») ;
(b) les quantificateurs « ∀x(. . . x· · ·) » (« pour toutx») et « ∃x(. . . x· · ·)»( « il y a au moins unx») ;
(c) le signe d’identité : «. . .≖· · · » (« est identique à ») ; (d) des variables pour des individus : «xi » pour touti∈N; 2. des signes non-logiques :
(a) des signes pour les relations : «Ri » pour touti∈I; (b) des signes pour les fonctions : «fi » pour touti∈J; (c) des constantes pour des individus : «ci » pour tout i∈K;
3. des signes auxiliaires : parenthèses.
Nous appelons les signes « ∀ » et « ∃ » des « quantificateurs », les expressions de la même forme que « ∀x » et « ∃x » des « quantifications des variables » et les phrases de la forme
« ∀x(. . . x· · ·) » et « ∃x(. . . x· · ·) » des« phrases quantifiées ». Nous écrivons « ≖ » pour le signe de la relation d’identité dans la langage objet pour le distinguer de « =» qui représente la relation d’identité dans le métalangage.
Nous appelons une «langue» L+ un alphabet – incluant un choix précis de signes non-logiques – avec un ensembleK d’indices pour les constantes et deux fonctionsλ:I→N\ {0}etµ:J→
N\ {0}qui déterminent l’arité de nos signes de relations et de fonctions.
Définition 2(Termes). Lestermesd’une langue⟨L+,K, λ, µ⟩sont définis par les clauses récur- sives :
1. Toute variable «xi » (i∈N) est un terme.
2. Toute constante «ci » (i∈N) est un terme.
3. Si «t1 », «t2», … , «tµ(j)» sont des termes (j∈J), alors «fj(t1, t2, . . . , tµ(j))» est un terme.
4. Rien d’autre n’est un terme.
Définition 3 (Formules atomiques). ϕ est une formule atomique de la langue⟨L+,K, λ, µ⟩ si et seulement si un des suivants est le cas :
1. ϕ est de la forme «t1≖t2 » pour deux termes «t1 » et «t2 » ;
2. ϕ est de la forme « Ri(t1, t2, . . . , tλ(i))» pour des termes « t1 », « t2 », … , « tλ(i) » et i∈I.
Définition 4 (Formules). ϕest uneformulede la langue⟨L+,K, λ, µ⟩si et seulement si un des suivants est le cas :
1. ϕ est une formule atomique ;
2. ϕ est de la forme⌜(¬ψ)⌝ pour une formuleψ;
3. ϕ est de la forme⌜(ψ∧χ)⌝,⌜(ψ∨χ)⌝,⌜(ψ→χ)⌝ ou ⌜(ψ↔χ)⌝, pour des formulesψ et χ;
4. ϕ est de la forme⌜∀xi(ψ)⌝ ou⌜∃xi(ψ)⌝ pour une formuleψ et une variable «xi »,i∈N.
II est crucial pour la sémantique de la logique des prédicats de distinguer entre les phrases complètes qui sont vraies ou fausses et des phrases ouvertes qui sont vraies ou faussesdecertains objets. Cette distinction nous oblige de dire quand une variable a une occurrence « libre » dans une formule. Une phrase ouverte se distingue d’une phrase fermée par le fait qu’elle contient au moins une occurrence libre d’une variable.
Définition 5 (Occurrence libre). Siϕ est une formule et «xi » une variable, nous disons que
«xi » a une occurrence libre dansϕsi et seulement si une des conditions suivantes est remplie : 1. ϕ est une formule atomique et contient «xi » ;
2. ϕ a la forme⌜¬ψ⌝ et «xi » a une occurrence libre dansψ;
3. ϕa la forme⌜ψ∧χ⌝,⌜ψ∨χ⌝,⌜ψ→χ⌝ ou⌜ψ↔χ⌝ et «xi » a une occurrence libre soit dansψ, soit dansχ;
4. ϕ a la forme⌜∀xj(ψ)⌝ ou⌜∃xj(ψ)⌝,i̸=j et «xi » a une occurrence libre dansψ.
Définition 6 (Phrases). Une phrase est une formule qui ne contient aucune occurrence libre d’une variable.
Comme les connecteurs, les quantificateurs ont aussi une portée – la phrase ouverte qui est gouvernée par le quantificateur. La distinction entre
(10.1) Personne n’est heureux et personne n’est honnête.
(10.2) Personne n’est heureux et honnête.
est que le premier quantificateur universel dans la première phrase ne gouverne que la phrase ouverte simple « x est heureux » bien que celui dans la deuxième phrase le phrase ouverte complexe «xest heureux etxest honnête » :
(10.1′) ¬∃x(xest heureux) ∧ ¬∃x(xest honnête) (10.2′) ¬∃x(xest heureux ∧ xhonnête)
Définition 7(Portée). Siϕest une formule qui contient une quantification d’une variable «x» (ou bien « ∀x» ou bien « ∃x»), nous appelons« portée de la variable «x» dansϕ» la plus
petite formule bien-formée qui suit la quantification de «x».
La sémantique de la logique des prédicats
La sémantique de la logique des prédicats est compliquée par deux facteurs, absents au cas de la logique propositionnelle :
1. la présence des signes non-logiques sub-sententiels dans notre alphabet de base ; 2. la présence des variables et, en conséquence, des phrases ouvertes.
Définition 8(Structures). Soit⟨L+,K, λ, µ⟩une langue de la logique des prédicats. Unestruc- tureApourL+ consiste en :
1. un ensemble non-vide |A|, appelé « l’univers de discours » ou le « domaine de quantifica- tion » deA;
2. une interprétation de tous les signes de relations : une fonction qui attribue à tout i∈I une relationRAi sur|A|avecλ(i)places argumentales, c’est-à-dire un sous-ensembleRAi ⊂
|A|λ(i).
3. uneinterprétationde tous les signes de fonctions : une fonction qui attribue à toutj∈June fonctionfjAsur|A|avecµ(j)places argumentales, c’est-à-dire une fonctionfjA:|A|µ(j)→
|A|.
4. uneinterprétationde toutes les constantes, qui attribue à toutk∈Kun élément fixecAk de
|A|.
Dans le contexte d’une structure donnée, nous pouvons assigner des valeurs aux occurrences libres de nos variables :
Définition 9(Assignations de valeurs). SoitL+ une langue de la logique des prédicats etAune structure pour L+. Une assignation de valeurs pour L+ est une fonction hqui assigne à toute variablexi (i∈N) exactement un élément de l’univers de discours : h:Vbl(L+)→ |A|. Une structure et une assignation de valeurs, prises ensemble, déterminent de quels objets nous parlons à l’aide de nos expressions du langage objet : la structure en question nous fournit les référents des constantes et les valeurs de nos fonctions individuelles. Nous pouvons donc déterminer sans univoque la référence ou la désignation de tous nos termes :
Définition 10(Désignation de termes). SoitL+ une langue de la logique des prédicats,A une structure pourL+ eth:Vbl(L+)→ |A|une assignation de valeurs. Ladésignation«h(t)» d’un terme «t » deL+ sous cette assignation de valeurs est définie comme suit :
1. si «t » est une variable, h(t) esth(t); 2. si «t » est une constante «ck », h(t) estcAk ;
3. si «t » est un terme de la forme « fj(t1, . . . tµ(j))» pour des termes « t1 », …« tµ(j) », alorsh(t)estfjA(h(t1), . . . , h(tµ(j))).
Au lieu de dire que les phrases ouvertes ne sont ni vraies ni fausses mais vraies ou fausses de certains objets, nous pouvons maintenant dire qu’elles sont vraies ou faussessous une assignation de valeursaux variables dont elles contiennent des occurrences libres :
Définition 11 (Vérité sous un assignation de valeurs). Soit L+ une langue de la logique des prédicats,Aune structure pourL+ eth:Vbl(L+)→ |A|une assignation de valeurs. Nous disons
qu’une formuleϕdeL+ estvraie sous l’assignation de valeurshou que l’assignation de valeurs h satisfait la formule ϕ (abrégé : « A |=h ϕ ») si et seulement si une des conditions suivantes est remplie :
S1 Si ϕa la même forme que «t1≖t2 », alors h(t1) =h(t2).
S2 Si ϕa la même forme que «Ri(t1, . . . , tλ(i))», alorsRAi (h(t1), . . . , h(tλ(i))).
S3 Si ϕest de la forme⌜¬ψ⌝, alors A ̸|=hψ.
S4 Si ϕest de la forme⌜ψ∧χ⌝, alors A |=hψ etA |=hχ.
S5 Si ϕest de la forme⌜ψ∨χ⌝, alors soitA |=hψsoit A |=hχ.
S6 Si ϕest de la forme⌜ψ→χ⌝, alors soitA ̸|=hψ soit A |=hχ.
S7 Si ϕest de la forme⌜ψ↔χ⌝, alorsA |=hψsi et seulement si A |=hχ.
S8 Si ϕest de la forme⌜∀xi(ψ)⌝, alors A |=h(xia)ψpour tous les a∈|A|. S9 Si ϕest de la forme⌜∃xi(ψ)⌝, alors A |=h(xia)ψpour au moins un a∈|A|.
Ce que nous voulons dire, en stipulant la condition S9, c’est qu’une formule quantifiée existen- tiellement est vraie dans Asous h si et seulement s’il y a un objet dans l’univers du discours dont est vraie la phrase ouverte précédée par le quantificateur existentiel. Nous ne savons pas, cependant, si l’assignationhen question assigne cet objet à l’occurrence libre de la variable dans la phrase ouverte. Nous avons donc besoin de changer l’assignation en question, pour rendre sûr qu’elle assigne le bon objet.
Définition 12 (Assignations variées). Soit L+ une langue de la logique des prédicats, A une structure pour L+,h:Vbl(L+)→ |A|une assignation de valeurs et «xi » une variable deL+. Nous définissons l’assignation variée à la place «xi » – appelée «h(xi
a
)» – comme suit : h
(xi a )
(xj) :=
{ h(xj) i̸=j
a i=j
h(xi
a
)est une fonction qui assigne à toutes les variables sauf « xi » le même individu que leur assignehet assigneaà «xi» – c’est une modification locale de l’assignationhà la place «xi » qui la force d’assigner a à « xi », mais qui garde le reste de h inchangé. S9 veut dire qu’une quantification existentielle est vraie s’il y a un élément du domaine de discours,a, qui permet de changer l’assignation en question de sorte que la phrase en question dit quelque chose de vraie de cette chosea.
Définition 13 (Vérité dans une structure). SoitL+ une langue de la logique des prédicats et A une structure pourL+. Nous disons qu’une formule ϕdeL+ estvraie dans la structure Asi et seulement si ϕest vraie sous toutes les assignations de valeurs pourL+ dans |A|:
A |=ϕ :⇐⇒ pour touth:Vbl(L+)→ |A| : A |=hϕ
Si ϕest vrai dans une structureA, nous appelons Aun «modèle »deϕ.
Pour arriver à une notion de vérité logique, nous devons généraliser sur toutes les structures : Définition 14 (Validité). SoitL+ une langue de la logique des prédicats. Nous disons qu’une formule ϕ de L+ est valide ou qu’elle est une vérité logique (de la logique des prédicats) si et seulement si ϕest vraie dans toutes les structures pour L+ :
|=ϕ :⇐⇒ pour toutA : A |=ϕ
De cette notion de validité, nous obtenons une notion de conséquence logique :
Définition 15 (Conséquence logique). Soit L+ une langue de la logique des prédicats. Nous appelons une formuleϕuneconséquence logiqued’un ensemble de formulesΣsi et seulement si ϕest vrai dans toutes les structures où toutes les formules de Σsont vraies :
Σ|=ϕ :⇐⇒ pour toutA: siA |=ψpour toutes les formules ψ∈Σ, alors A |=ϕ
Notre définition de validité nous permet de compter comme valides ou logiquement vraies des phrases qui ne sont pas des tautologies de la logique propositionnelle. Prenons par exemple la phrase ouverte suivante :
(10.7) (x≖y)→(Rxb→Ryb)
Interprétée dans une certaine structure, (10.7) dit, par exemple, que si la valeur de la variable
«x» est la même que la valeur de la variable «y», alors sixaime Marie, alorsyaime Marie. La vérité de (10.7) ne dépend pas de la valeur des variable «x» et donc de l’assignation de valeurs en question – quelle que soit l’assignation particulière, si elle assigne le même individu à ces deux variables, alors l’amour de Marie ne distinguera pas leurs référents. Nous voyons également que la vérité de (10.7) ne dépend pas non plus de l’interprétation particulière de «R», ni de celle de
« b» – si nous l’interprétons comme « si les valeurs de « x» et de «y » sont les mêmes, alors si un des deux dépend de Dieu, alors l’autre en dépend également », elle est également vraie.
La phrase (10.7) est donc vraie dans toutes les structures, et sous toutes les assignations, donc logiquement vraie ou valide. Rien ne change si nous préfixons (10.7) de deux quantificateurs universels qui lient les variables «x» et «y » qui ont des occurrences libres dans (10.7) ? (10.7′) ∀x∀y ((x≖y)→(Rxb→Ryb))
Nous appelons «clôture universelle»d’une formuleϕla formule obtenue en adjoignant àϕdes quantificateurs universels correspondant à chaque variable dontϕcontient une occurrence libre.
Théorème 16. Une formule est valide si et seulement si sa clôture universelle est valide.
Les substitutions
La notion d’assignation de valeurs variée à la place « xi » nous permet de dire quand une assignation de valeurs satisfait une phrase universellement ou existentiellement quantifiée. Imitant la procédure de substitution pour la logique propositionnelle, nous pouvons définir des notions analogues en syntaxe : la substitution d’un terme par un autre terme dans un terme ou une formule :
Définition 17(Substitutions dans des termes). Si «s» et «t» sont des termes et «xi » une variable, nous définissons un nouveau terme, que nous appelons « la substitution de «xi » par
« t» dans «s» » ou «s(xi/t)», de manière récursive, comme suit : 1. Si «s » est la même variable que «xi », alors « s(xi/t)» est « t ».
2. Si «s » est une variable autre que «xi », alors « s(xi/t)» est «s ».
3. Si «s » est une constante, alors « s(xi/t)» est «s ».
4. Si « s » est un terme pour une valeur de fonction « fj(t1, . . . , tµ(j)) » pour des termes
« t1 », …, «tµ(j) », alors « s(xi/t)» est «fj(t1(xi/t), . . . , tµ(j)(xi/t))».
En bref, toute occurrence libre de «xi » dans « s » est remplacée par « t ». Nous pouvons maintenant définir ce qu’est la substitution d’un terme par un autre dans une formule :
Définition 18 (Substitutions dans des formules). Si ϕ est une formule, « t » un terme et
«xi » une variable, nous définissons une nouvelle formule, que nous appelons « le résultat de la substitution de «xi » pour «t » dansϕ » ou⌜ϕ(xi/t)⌝, de manière récursive comme suit :
1. Siϕ est « t1≖t2 » pour deux termes « t1 » et « t2 », alors ⌜ϕ(xi/t)⌝ est « t1(xi/t)≖ t2(xi/t)».
2. Siϕest «Ri(t1, . . . tλ(i))» pour un signe de relation «Ri» et des termes «t1», …«tλ(i)», alors⌜ϕ(xi/t)⌝ est «Ri(t1(xi/t), . . . tλ(i)(xi/t))».
3. Siϕest⌜¬ψ⌝ pour une formuleψ, alors⌜ϕ(xi/t)⌝ est⌜¬ψ(xi/t)⌝.
4. Siϕest⌜ψ∧χ⌝,⌜ψ∨χ⌝,⌜ψ→χ⌝ ou⌜ψ↔χ⌝pour des formulesψetχ, alors⌜ϕ(xi/t)⌝ est⌜ψ(xi/t)∧χ(xi/t)⌝,⌜ψ(xi/t)∨χ(xi/t)⌝,⌜ψ(xi/t)→χ(xi/t)⌝ou⌜ψ(xi/t)↔χ(xi/t)⌝ respectivement.
5. Siϕest⌜∀xj(ψ)⌝ ou⌜∃xj(ψ)⌝ pour une formule ψet une variable « xj », alors
⌜ϕ(xi/t)⌝:=
{ ⌜∀xjψ(xi/t)⌝ i̸=j
ϕ i=j ⌜ϕ(xi/t)⌝:=
{ ⌜∃xjψ(xi/t)⌝ i̸=j
ϕ i=j
En bref, nous remplaçons toute occurrence libre de la variable «xi» par le terme «t». Si «xi» n’a aucune occurrence libre dansϕ,⌜ϕ(xi/t)⌝ est la même formule queϕ.
En substituant des termes pour des variables à leurs occurrences libres, nous devons faire atten- tion à ne pas lier une variable qui ne l’était pas initialement. Soitϕla formule «∃x(x̸≖y)». Si une structure a un domaine contenant plus qu’un seul individu, il y aura toujours une assignation de valeurs à «y » qui satisfait cette phrase ouverte. Si nous substituons une autre variable «z» pour « y » dans ϕ, nous obtenons « ∃x(x̸≖z)», formule qui est également satisfaisable dans toutes les structures à plus d’un individu – le résultat de la substitution⌜ϕ(y/z)⌝sera vrai si et seulement si ϕ l’est également. En substituant « y » par «x», par contre, nous obtenons un autre résultat : la formule «∃x(x̸≖x)» est une phrase complète qui n’est vraie dans aucune structure (elle dit qu’il existe un individu dans le domaine de discours qui n’est pas identique à soi-même). Le diagnostic de ce changement est que l’occurrence de la variable «y », libre dans ϕ, a été liée dans ⌜ϕ(y/x)⌝ – un simple changement ‘terminologique’ a réduit le nombre total d’occurrences libres de variables. Nous disons alors que la variable «x» dansϕn’était paslibre pour «y »dans « ∃x(x̸≖y)» :
Définition 19 (Substitutions admissibles). Soitϕ une formule, « t » un terme et «xi » une variable. Nous disons que « t » est libre pour «xi » dans ϕsi l’une des possibilités suivantes est le cas :
1. ϕ est une formule atomique ;
2. ϕ est⌜¬ψ⌝et «t » est libre pour « xi » dans ψ;
3. ϕ est⌜ψ∧χ⌝,⌜ψ∨χ⌝,⌜ψ→χ⌝ ou ⌜ψ↔χ⌝ pour des formules ψet χet « t » est libre pour «xi » dansψ et dansχ;
4. ϕ est⌜∀xj(ψ)⌝ ou⌜∃xj(ψ)⌝ et «xi » n’a pas d’occurrence libre dans ψ.
5. ϕest⌜∀xj(ψ)⌝ ou⌜∃xj(ψ)⌝, «xj » n’a pas d’occurrence dans «t» et «t» est libre pour
« xi » dansψ.
Cette définition nous apprend qu’un terme « t » est libre pour une variable « xi » dans une formuleϕs’il n’y a pas de variable «xj » dans «t» et aucun quantificateur «∀xj » dansϕtel qu’une occurrence libre de «xi » est dans la portée de «∀xj ».
Intuitivement, un terme n’est pas libre pour une variable dans une formule si une éventuelle substitution du terme pour la variable réduisait le nombre total d’occurrences libres de variables dans la formule. Notre définition formalise cette intuition en définissant les formules dans les- quelles un terme est libre pour une variable : toute formule atomique a cette propriété (condition (1)), cette propriété est préservée sous les connecteurs propositionnels (conditions (2) et (3)) et n’est perdue par une quantification que si cette dernière lie une variable déjà contenu dans le terme.
La logique des prédicats unaires
Théorème 20 (Dualité). Soitϕ une formule, An’importe quelle structure pour la logique des prédicats ethn’importe quelle assignation de valeurs aux variables deL+ :
(10.9) A |=h⌜∀x(ϕ(x))⌝ ⇐⇒ A |=h⌜¬∃x¬(ϕ(x))⌜ (10.10) A |=h⌜∃x(ϕ(x))⌝ ⇐⇒ A |=h⌜¬∀x¬(ϕ(x))⌜
D’autres équivalences définitionnelles de ce dernier type, appelées « règles de passage » par Quine, nous disent sous quelles conditions nous pouvons « entrer » et « sortir » des quantificateurs : Théorème 21(Règles de passage). Soitϕune formule etψune formule dans laquelle la variable
«x» n’a pas d’occurrence libre. SiAest n’importe quelle structure pour la logique des prédicats
et h n’importe quelle assignation de valeurs aux variables de L+, nous avons les équivalences suivantes :
P1 A |=h⌜∀x(ϕ∨ψ)⌝ ⇐⇒ A |=h⌜∀x(ϕ)∨ψ⌝ P2 A |=h⌜∃x(ϕ∨ψ)⌝ ⇐⇒ A |=h⌜∃x(ϕ)∨ψ⌝ P3 A |=h⌜∀x(ϕ∧ψ)⌝ ⇐⇒ A |=h⌜∀x(ϕ)∧ψ⌝ P4 A |=h⌜∃x(ϕ∧ψ)⌝ ⇐⇒ A |=h⌜∃x(ϕ)∧ψ⌝ P5 A |=h⌜∀x(ψ→ϕ)⌝ ⇐⇒ A |=h⌜ψ→ ∀x(ϕ)⌝ P6 A |=h⌜∃x(ψ→ϕ)⌝ ⇐⇒ A |=h⌜ψ→ ∃x(ϕ)⌝ P7 A |=h⌜∀x(ϕ→ψ)⌝ ⇐⇒ A |=h⌜∃x(ϕ)→ψ⌝ P8 A |=h⌜∃x(ϕ→ψ)⌝ ⇐⇒ A |=h⌜∀x(ϕ)→ψ⌝
Prises ensembles, ces dix équivalences nous permettent de réduire toute formule ne contenant que des prédicats unaires à une forme purifiée(où la portée de chaque quantificateur est minimale) et d’appliquer une procédure mécanique pour établir si oui ou non la formule en question est valide. Nous pouvons ainsi prouver la décidabilité de la logique des prédicats unaires, qui a été prouvée la première fois par le mathématicien allemand Leopold Löwenheim en 1915.
Pour des relations binaires, nous sommes forcés d’accepter des quantifications ‘mixtes’ (contenant une alternation de quantificateurs universels et existentiels) que nous ne pourrons pas distribuer sur les parties de la phrase ouverte complexe qu’elles gouvernent. C’est une différence très im- portante : contrairement à la logique des prédicats unaires, la logique des prédicats n’est pas décidable.
Un calcul axiomatique pour la logique des prédicats
Même si la syntaxe de leurs deux langues Let L+ est différente, la logique propositionnelle est dans un certain sens contenue dans la logique des prédicats. Cela veut dire que nous pouvons, de manière analogue à ce que nous avons fait pour la logique propositionnelle, définir des valuations (maintenant appelées « interprétations propositionnelles ») pour des formules de la logique des prédicats. Nous pouvons alors appeler « tautologie propositionnelle» toute formule deL+ que l’on obtient en substituant aux phrases simples d’une tautologie de la logique propositionnelle des formules de la logique des prédicats :
Définition 22. Soitϕune tautologie d’une langue L pour la logique propositionnelle et « p1 »,
« p2 », … « pn » toutes les phrases simples contenues dans ϕ. Une tautologie propositionnelle d’une langue L+ de la logique des prédicats est une formule ⌜ϕ(α1/p1, α2/p2, . . . , αn/pn)⌝ que l’on obtient en substituant à «p1 », « p2 »,… « pn » n’importe quelles formules «α1 », «α2 »,
…, «αn » bien-formées deL+.
Nous pouvons montrer qu’une tautologie propositionnelle d’une langue L+ est valide dans la logique des prédicats.
Le calcul axiomatique que nous allons donner pour axiomatiser les formules valides de la logique des prédicats consiste en des axiomes de trois types. Pour que nos axiomes soient valides (et donc que le calcul soit correct), il est nécessaire que leurs instanciations soient vrais dans toutes les structures. Par conséquent, leur vérité ne peut pas dépendre d’une interprétation particulière des symboles non-logiques. Le premier type d’axiomes regroupe les formules dont la vérité ne dépend que des connecteurs ; le deuxième, celles qui sont vrais en vertu de la relation d’identité
« ≖», et le troisième les formules qui sont vraies grâce aux quantificateurs qu’elles contiennent.
Définition 23(HC+). Les axiomes du calcul HC+ consistent en toutes les formules de L+ des types suivantes :
TP toutes les tautologies propositionnelles ;
ID les formules ayant la forme de l’un des axiomes d’identité suivants (pour des variables «x»,
«y », «z », «w», « x1 », «x2», …, «xλ(i)», «y1», « y2 », …, «yλ(i)», « z1», « z2»,
…, «zµ(j)», «w1 », «w2 », …, «wµ(j) » et tous lesi∈I,j∈J) : ID1 x≖x(réflexivité)
ID2 y≖z→(y≖w→z≖w)(confluence)
ID3 (x1≖y1∧. . .∧xλ(i)≖yλ(i))→(Ri(x1, . . . , xλ(i))→Ri(y1, . . . , yλ(i)))(indiscernabi- lité)
ID4 (z1≖w1∧. . .∧zµ(j)≖wµ(j))→fj(z1, . . . , zλ(i))≖fj(w1, . . . , wµ(j))(fonctionnalité) QU les formulesϕ qui ont la forme des phrases suivantes, où ψ est une formule et « t » un terme libre pour « x» dansψ, etϕest une formule qui ne contient pas d’occurrence libre de la variable « x» :
Qu1 ∀x(ψ)→ψ(x/t)(instanciation)
Qu2 ∀x(ϕ→ψ)→(ϕ→ ∀x(ψ))(simplification) HC+ a deux règles d’inférences :
MP la première règle d’inférences de HC+ est la règle du modus ponensMP: ϕ,⌜ϕ→ψ⌝
ψ
∀ la deuxième règle d’inférences deHC+ est appelée « généralisation » ou «∀ » : ϕ→ψ
ϕ→ ∀x(ψ) si « x» n’a pas d’occurrence libre dansϕ
La validité de Qu1 dépend du fait qu’une formule de la logique des prédicats est valide si et seulement si sa clôture universelle l’est aussi. Qu1 nous donne trois autres règles d’inférences dérivées, qui peuvent aussi être démontrées comme valides. Prises ensemble, il s’agit des règles d’inférences pour l’introduction et l’élimination des quantificateurs que nous utiliserons pour la déduction naturelle :
GU généralisation universelle : ϕ
⌜∀x(ϕ)⌝ si «x» n’a pas d’occurrence libre dansϕavant l’application de cette règle SU spécialisation universelle (=Qu1) :
⌜∀x(ϕ)⌝
⌜ϕ(x/t)⌝ si «t » est libre pour «x» dansϕ GE généralisation existentielle :
⌜ϕ(x/t)⌝
⌜∃x(ϕ)⌝ si «t » est libre pour «x» dansϕ SE spécialisation existentielle :
⌜∃x(ϕ)⌝
⌜ϕ(x/t)⌝ si «x» n’a pas d’occurrence libre dans ϕavant l’application de cette règle
