Exercices 14 : La logique des prédicats
cours d’introduction à la logique, UniL, Philipp Blum à rendre le mercredi 29 mai 2019, avant 8h30
Nom(s) :
Points obtenus (dans 5 questions avec un total de 20 points) : 1. (4 points) Prouvez à l’aide de la méthode des arbres :
(a) new one (b) new one (c) new one (d) new one
2. (6 points) Prouvez par déduction naturelle : (a) «∀x(F x)∨ ∀x(Gx)⊢ ∀x(F x∨Gx)»
(b) «∀x(Gx→Hx), ∃x(F x∧Gx)⊢ ∃x(F x∧Hx)» (c) «∀x(F x→Gx), ∀x(Hx→ ¬Gx)⊢ ∀x(F x→ ¬Hx)» (d) «(∀x(F x)↔ ∃x(F x))↔ ∃x(F x)⊢ ¬∃x¬(F x)» (e) «⊢ ∃x(F x∧Gx)→(∃x(F x)∧ ∃x(Gx))»
(f) «∃x∀y∃z(Sxyz)⊢ ∀y∃x∃z(Sxyz)»
3. (4 points) Montrez que les formules suivants ne sont pasdes théorèmes de la logique des prédicats :
(a) «∀x(F x∨Gx)→(∀x(F x)∨ ∀x(Gx))» (b) «∀x∃y(Rxy)→ ∃y∀x(Rxy)»
4. (2 points) Y a-t-il une autre manière de démontrer les résultats de la question 3 ? Si oui, laquelle ?
5. (4 points) Prouvez par déduction naturelle : (a) «∃x(F x)⊣⊢ ¬∀x¬(F x)»
(b) «∃x¬(F x)⊣⊢ ¬∀x(F x)»
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