LOGIQUE COMBINATOIRE

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LOGIQUE COMBINATOIRE

1) DIFFÉRENTES LOGIQUES

1.1) LOGIQUE COMBINATOIRE

La logique combinatoire est la forme de logique la plus simple. Les sorties du système ne dépendent que de l’état des entrées.

1.2) LOGIQUE SÉQUENTIELLE

Dans la logique séquentielle, une nouvelle notion apparaît: le temps. L’état des sorties dépend de l’état des entrées et de l’avancement d’une séquence d’actions.

1.3) LOGIQUE PROGRAMMÉE

La logique programmée est la plus souple et la plus puissante. Elle met en œuvre une suite d’instructions appelée programme. Elle est aussi, la plus lente..

2) VARIABLES BINAIRES ET FONCTIONS LOGIQUES

2.1) SIGNAL BINAIRE 2.1.1) Définition

Un signal binaire est une grandeur physique qui ne peut prendre que deux états:

Vrai ou Faux - Tout ou Rien - Passant ou non passant - 0 ou 1.

La trame est donc : 01010 2.1.2) Représentation

Pour l’étude des objets techniques contenant des opérateurs logiques, les signaux binaires seront représentés par des variables binaires qui ne pourront prendre que deux états.

On utilisera des minuscules pour les entrées d’un système, a, b, c, etc... et des majuscules pour les sorties A, B, C, etc...

La représentation la plus simple d’une variable binaire est faite à l’aide de boutons- poussoirs. Il en existe deux types: à fermeture ou à ouverture.

La logique combinatoire - page 1/21 S

5V

0V

t

Valeur binaire 0 1 0 1 0

(2)

 Bouton poussoir à fermeture ou normalement ouvert (en anglais NO : Normal Open):

A l’état repos, ils ouvrent le circuit; à l’état travail, ils établissent le courant.

Valeur Binaire Bouton poussoir au repos 0 Bouton poussoir au travail 1

 Bouton poussoir à ouverture ou normalement fermé (en anglais NC : Normal Close):

A l’état repos, ils établissent le courant; à l’état travail, ils ouvrent le circuit.

Valeur Binaire Bouton poussoir au repos 1 Bouton poussoir au travail 0 2.2) FONCTIONS LOGIQUES

Une fonction logique traduit la relation entre les variables logiques d’entrée d’un système et ses variables de sorties. Ces fonctions mettent en œuvre une algèbre particulière dite logique ou de Boole.

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3) REPRESENTATION DES FONCTIONS LOGIQUES

3.1) DESCRIPTION LOGIQUE

La description logique est la description littérale de la fonction réalisée.

3.2) SCHÉMA À CONTACTS

Un schéma à contact peut décrire une fonction logique. Chaque contact électrique concrétise, par ses positions, les deux états d’une variable d’entrée. La sortie est symbolisée par une lampe.

3.3) SYMBOLE LOGIQUE

C’est une représentation normalisée de l’opérateur. On représente l’opérateur par un carré à l’intérieur duquel on trouve un signe le symbolisant. D’un côté, des traits indiquent les entrées de la fonction, de l’autre, les sorties.

Exemple:

3.4) TABLE DE VÉRITÉ

C’est un tableau reprenant, sous forme binaire, toutes les combinaisons possibles des entrées et l’état des sorties qui correspondent à chacune de ces combinaisons.

3.5) ÉQUATION LOGIQUE

Dans ces équations, le signe = ne traduit pas une égalité numérique mais une identité d’états logiques.

La logique combinatoire - page 3/21

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4) OPÉRATEURS LOGIQUES

4.1) OPÉRATEUR « OUI » OU OPÉRATEUR ÉGALITÉ Description logique:

La sortie est à un si et seulement si l’entrée est à un.

Schéma à contacts:

Symbole logique:

Table de vérité:

a S

0 0

1 1

Équation logique:

S = a Chronogramme:

(5)

4.2) OPÉRATEUR « NON » OU OPÉRATEUR COMPLÉMENTATION Description logique:

La sortie est à un si et seulement si l’entrée est à zéro.

Symbole logique:

Symbole européen : Symbole américain :

Table de vérité:

a S

0 1

1 0

Équation logique:

S = = /a Chronogramme:

(6)

4.3) OPÉRATEUR « ET » OU OPÉRATEUR PRODUIT LOGIQUE Description logique:

La sortie est à un si et seulement si toutes les entrées sont à un.

Symbole logique:

Table de vérité:

a b S

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Équation logique:

S = a.b = a x b (on dit S est égale à : a et b...) Chronogramme:

(7)

4.4) OPÉRATEUR « OU » OU OPÉRATEUR SOMME LOGIQUE Description logique:

La sortie est à un si et seulement si au moins une entrée est à un.

Symbole logique:

Table de vérité:

a b S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Équation logique:

S = a + b (on dit S est égale à : a ou b...) Chronogramme:

(8)

4.5) OPÉRATEUR « NAND » OU OPÉRATEUR « ET-NON » Description logique:

La sortie est à un si et seulement si au moins une entrée est à zéro.

Symbole logique:

Table de vérité:

a b S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Équation logique:

S = = /(a . b)

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4.6) OPÉRATEUR « NOR », OPÉRATEUR « OU-NON»

Description logique:

La sortie est à un si et seulement si au moins toutes les entrées sont à zéro.

Symbole logique:

Table de vérité:

a b S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Équation logique:

S = = /(a + b)

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5) ALGÈBRE BINAIRE DE BOOLE

L’algèbre de Boole est une algèbre d’états qui permet l’étude des objets techniques mettant en œuvre des variables binaires. L’algèbre de Boole est fondée sur le fait qu’une proposition ne peut être que vraie ou fausse. Elle repose sur deux relations:

Égalité de deux variables binaires:

Deux variables ou deux fonctions logiques sont dites égales si et seulement si lorsque l’une est égale à 1, l’autre est égale à 1, lorsque l’une est égale à 0, l’autre est égale à 0.

Complémentarité de deux variables binaires:

Deux variables ou deux fonctions logiques sont dites complémentaires si et seulement si lorsque l’une est égale à 1, l’autre est égale à 0, lorsque l’une est égale à 0, l’autre est égale à 1.

5.1) IDENTITÉS LOGIQUES FONDAMENTALES 5.1.1) Éléments neutres

- 0 est l’élément neutre pour le OU logique.

(1) a + 0 = a

- 1 est l’élément neutre pour le ET logique.

(2) a . 1 = a 5.1.2) Les différentes simplifications

- 1 est l’élément absorbant pour le OU logique.

(3) a + 1 = 1

- 0 est l’élément absorbant pour le ET logique.

(4) a . 0 = 0 (5) a + a = a

(6) a . a = a (7) a + /a = 1

(8) a . /a = 0

5.2) PROPRIÉTÉS DE BASE DES OPÉRATEURS LOGIQUES Commutativité:

(9) a + b = b + a (10) a . b = b . a Associativité:

(11) (a + b) + c = a + b + c = a + (b + c) (12) (a . b) . c = a . b . c = a . (b . c) Distributivité:

(13) a . (b + c) = a.b + a.c

(11)

5.3) THÉORÈME DE « DE MORGAN » 5.3.1) Théorème

Deux fonctions logiques sont égales si et seulement si leurs tables de vérité sont identiques.

5.3.2) Exemples S =

a b S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

S =

a b S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

S = .

a b S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

S = +

a b S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

5.3.3) Conséquences

(14) = (15) =

a + 0 = a a . 1 = a a + 1 = 1

a . 0 = 0 a + a = a

a . a = a a + /a = 1

a . /a = 0

a + b = b + a a . b = b . a

(a + b) + c = a + b + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . b . c = a . (b . c)

a . (b + c) = a.b + a.c /(a . b) = /a + /b.

/(a + b) = /a . /b

(12)

6) SIMPLIFICATION DES FONCTIONS LOGIQUES

6.1) MÉTHODE ALGÉBRIQUE

Cette méthode est utilisée pour la simplification de fonctions logiques simples. Elle utilise les propriétés, lois, théorèmes de l’algèbre de Boole vus précédemment.

Exercices: Simplifiez les fonctions suivantes:

1) S = a + a.b + a./b

2) S = (a + b).(a + c)

3) S = a.b + b.c + /a.c

6.2) MÉTHODE PAR LE SCHÉMA À CONTACTS

Cette méthode demande beaucoup d’astuce et de réflexion et devient très vite complexe dès que la fonction à simplifier s’agrandit. Elle consiste à traduire la fonction à simplifier sous forme de schéma à contacts et d’utiliser les propriétés connues pour supprimer les contacts redondants.

Exercices: Simplifiez les fonctions suivantes:

6.3) TABLEAU DE KARNAUGH

Les tableaux de Karnaugh sont des outils graphiques qui permettent, de manière méthodique et efficace, de simplifier une équation logique ou d’effectuer le processus de passage d’une table de vérité à son logigramme correspondant. Ils offrent des règles de simplification rapides et simples à condition de les construire en respectant certains principes.

6.3.1) Construction d’un tableau d’une fonction à n variables d’entrée

On utilisera un tableau pour une variable de sortie. Le tableau possède 2ⁿ cases.

Chaque case représente une combinaison des n variables d’entrée telles qu’elles apparaissent dans la table de vérité. On ordonnera les combinaisons suivant le code Gray. Ses règles de symétrie et d’adjacence permettent de réaliser des groupements de cases par puissance de 2 qui faciliteront les simplifications éventuelles des équations.

Tableau à une variable:

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Tableau à deux variables:

a

0 1

b 0 /a./b a./b 1 /a.b a.b Tableau à trois variables:

a.b

00 01 11 10

c 0 /a./b./c /a.b./c a.b./c a./b./c 1 /a./b.c /a.b.c a.b.c a./b.c

Tableau à quatre variables:

a.b

00 01 11 10

00 /a./b./c./d /a.b./c./d a.b./c./d a./b./c./d cd 01 /a./b./c.d /a.b./c.d a.b./c.d a./b./c.d 11 /a./b.c.d /a.b.c.d a.b.c.d a./b.c.d 10 /a./b.c./d /a.b.c./d a.b.c./d a./b.c./d En fonction de chaque combinaison, on écrit 1 dans la case

si la sortie est 1, on écrit 0 dans la case si la sortie est 0.

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Exercices: Construisez les tableaux de Karnaugh des fonctions suivantes:

1) S = a + b a

S 0 1

b 0

1

S = a.b

a

S 0 1

b 0

1

S = /a.b a

S 0 1

b 0

1

S = /a./b

a

S 0 1

b 0

1

S = a + /b a

S 0 1

b 0

1

S = /a.b + a

a

S 0 1

b 0

1

2) S = /a./b.c

ab

S 00 01 11 10

c 0

1

S = /a./b + /b./c

ab

S 00 01 11 10

c 0

1

S = a.b + /a.c

ab

S 00 01 11 10

c 0

1

3) S = a./b.c + a.b.c.d

ab

S 00 01 11 10

00

cd 01

11 10

S = /a./c.d + a./b.c.d + /a./b.c./d ab

S 00 01 11 10

00

cd 01

11 10

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6.3.2) Simplification

Pour simplifier les équations logiques, il faut regrouper les cases du tableau de Karnaugh ayant des 1 adjacents, le regroupement ne devant se faire que par un nombre égal à une puissance de 2 (1, 2, 4, 8, 16,...).

Exemples:

2) S = a.b + /a.c + bc

6.3.3) Symétrie des tableaux de Karnaugh Exemples:

1) S = /a./b.c + a./b./c + a./b.c

ba

S 00 01 11 10

c 0

1

ab

S 00 01 11 10

c 0

1 2) S = /a./b + a./b.c + a./b./c

ba

S 00 01 11 10

c 0

1

ab

S 00 01 11 10

c 0

1 6.3.4) Règles d’emploi

Pour remplir les tableaux de Karnaugh, il faut mettre les équations sous forme développée, c’est à dire qu’il n’y ait aucune mise en facteur. On peut aussi remplir le tableau de Karnaugh à partir de la table de vérité.

On peut obtenir l’équation de /S, directement du tableau, en regroupant les 0 et en les simplifiant avec les mêmes règles que pour les regroupements de 1.

6.3.5) Impossibilités technologiques

Dans certains problèmes, il arrive que certaines combinaisons ne puissent se réaliser dans la réalité. Par exemple, on relie ensemble les entrées a et b d’un même opérateur; les combinaisons a./b et b./a sont impossibles. Cela s’appelle une impossibilité technologique et se note X dans les tableaux.

Pour la simplification des équations, au moment de faire les regroupements, on considérera ces combinaisons comme des 1 ou comme des 0 suivant le résultat recherché (S ou /S).

Exemple:

ab

S 00 01 11 10

00 1 1 1 1

cd 01 1 X X 1

11 X X X X

10 1 0 1 0

(16)

7) AUTRES OPÉRATEURS LOGIQUES

7.1) OPÉRATEUR « IN » OU OPÉRATEUR INHIBITION

La sortie est à un si et seulement si une entrée est à un et l’autre à zéro.

Symbole logique:

Table de vérité:

a b S

0 0 0

0 1 0

1 0 1

1 1 0

Equation logique:

S = a . /b

7.2) OPÉRATEUR « IMPL » OU OPÉRATEUR IMPLICATION Description logique:

La sortie est à un si et seulement si une entrée est à un ou l’autre à zéro.

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Symbole logique:

Table de vérité:

a b S

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 1

Equation logique:

S = a + /b

7.3) OPÉRATEUR « OU EXCLUSIF » OU OPÉRATEUR DISJONCTION

La sortie est à un si et seulement si une et une seule entrée est à un.

Symbole logique:

Table de vérité:

(18)

a b S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Équation logique:

S = a./b + /a.b = a  b

7.4) OPÉRATEUR « ET INCLUSIF » OU OPÉRATEUR COÏNCIDENCE

La sortie est à un si et seulement si toute les entrées sont à un ou à zéro.

Symbole logique:

Table de vérité:

a b S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Equation logique:

S = /a./b + a.b = /(a  b)

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8) OPÉRATEURS LOGIQUES UNIVERSELS

On dit d’un opérateur logique qu’il est universel s’il permet de réaliser tous les autres opérateurs de base comme le OUI, le NON, le ET, le OU... D’un point de vue industriel, l’intérêt financier est immédiat, car moins il y a d’opérateurs différents et plus économique sera la production. Les NAND et les NOR sont universels.

8.1) RÉALISATION DE L’OPÉRATEUR NON

S = /a 8.1.1) Réalisation avec l’opérateur NOR

8.1.2) Réalisation avec l’opérateur NAND

8.2) RÉALISATION DE L’OPÉRATEUR OU

S = a + b 8.2.1) Réalisation avec l’opérateur NOR

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8.3) RÉALISATION DE L’OPÉRATEUR ET

S = a . b 8.3.1) Réalisation avec l’opérateur NOR

8.4) RÉALISATION DE L’OPÉRATEUR NON-ET

S = /(a . b) Réalisation avec l’opérateur NOR

8.5) RÉALISATION DE L’OPÉRATEUR NON-OU S = /(a + b) Réalisation avec l’opérateur NAND

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9) SYMBOLES LOGIQUES IEEE/ANSI

Les symboles logiques vus précédemment sont dits « européens ». On peut aussi rencontrer les symboles suivants qui sont dits « américains » ou IEEE/ANSI.

ANSI: (American National Standard Institute) Un des principaux organismes de normalisation des U.S.A., association à but non lucratif, fondée en 1918, non gouvernementale et indépendante, regroupant plus de mille entreprises industrielles et commerciales. C'est le représentant aux U.S.A. de l'ISO, International Standards Organisation, équivalent de l'Afnor aux Etats-Unis.

OPERATEUR NON

OPERATEUR ET

OPERATEUR OU

OPERATEUR NON-ET (NAND)

OPERATEUR NI (NOR)

OPERATEUR OU EXCLUSIF (XOR)

OPERATEUR ET INCLUSIF