Logique et algèbre

Damien Nouvel

Plan

1. Théorie des ensembles 2. Dénombrement

3. Applications

De l’algèbre aux ensembles

§ Quelques dates en l’algèbre

‚ Mot de l’arabe al-jabr (par Al-Khwarizmi) ñ Construction à partir d’éléments

‚ „1000: utilisation des chiffres arabes

‚ „1500: apparition des symboles+,´,= ñ Chiffres et équations

§ Vers la théorie des ensembles

‚ Fin du XIX^èmesiècle

ñ G. Cantor : “nous appelonsensembletout réunion M d’objets de notre conception, déterminés et bien distincts, que nous dénommeronséléments de M”

ñ Notion d’élément et d’appartenancexPE ñ Liens entre la logique et l’algèbre?

Ensembles, individus et catégories

§ Relations ensemblistes

‚ Relation partie-tout :méronymie/ holonomie

‚ La roue est partie d’une voiture

‚ La tête est une partie du corps

‚ …

ñ Relation entre individus

‚ Relation hiérarchique :subsomption

‚ La voiture est un véhicule

‚ Le singe est un animal

‚ …

ñ Relation entre catégories

§ Pour les ensembles

‚ Regroupement d’individus dans des catégories

‚ Une catégorie peut-être un individu

Notations ensemblistes et principes généraux

§ Conventions etsymboles

‚ Majuscules : ensembles (A,E,P,Q,R …)

‚ Minuscules : éléments (x,y,a,b…)

‚ Accoladest etu et barre verticale|: contenu d’un ensemble

‚ H: ensemble vide (inclus dans tout ensemble) ñ P=tx,yu,P=tx|Dn,x= 2ⁿu

§ Règles générales

‚ Non-ordonnés :tx,y,zu=tz,x,yu

‚ Sans répétitions :tx,y,yu=tx,yu

‚ Peut-être de taille infinie (dénombrable ou non)

§ Un ensemble peut être défini par

‚ Extension(dénotation, liste exhaustive) : P=tx,y,zu

‚ Intentionou compréhension :P=tx est pairu

‚ Récurrenceou induction :P=tx= 1 ou x/3 est dans Pu

Symboles et opérateurs

§ Appartenance :xPP et xRP” ␣(xPP)

§ Inclusion :PĎQ (si stricte : PĂQ)

§ Complémentaire : P

§ Union : PYQ

§ Intersection :PXQ

§ Différence (ensembliste) : PzQ

§ Différence symétrique : P∆Q

Ensembles et sous-ensembles

§ Lesprédicats définissent des ensembles

‚ Cas unaire : l’ensemble des hommesH=tx|Homme(x) =Vu

‚ Cas n-aire : lien parent-enfantP=t(x,y)|Enfant(x,y) =Vu

§ L’implication donne les sous-ensembles

‚ Sous-ensemble PĎQsi @x(xPPÑxPQ)

‚ Sous-ensemble proprePĂQsi @x(xPPÑxPQ)^P‰Q

‚ SiPĎQetQĎP alorsP=Qet@x(xPPØxPQ)

§ Ensembles disjoints

‚ Deux ensemblesPetQsont disjoints s’ils n’ont aucun élément en commun

‚ @x␣(xPP^xPQ)” ␣Dx(xPP^xPQ)

‚ PXQ=H

Opérateurs : intersection et union

§ UnionY deP etQ

‚ Éléments qui appartiennent soit àPou àQ

‚ PYQ=tx|xPP_xPQu ñ tx,y,zu Y tx,z,tu=tx,y,z,tu

ñ Hn’affecte pas l’union :PY H=P ñ Associative, commutative,Hneutre

§ Intersection X deP etQ

‚ Éléments qui appartiennent à la fois àP etQ

‚ PXQ=tx|xPP^xPQu ñ tx,y,zu X tx,z,tu=tx,zu

ñ S’il n’y a aucun élément commun :H ñ Associative, commutative,Habsorbant

§ Union et intersection sont distributifs l’un pour l’autre : PY(QXR) = (PYQ)X(PYR)

Opérateurs : complémentaire et différence

§ Complémentaire deP etP

‚ Tout élément qui n’est pasdansP

‚ P=tx|␣(xPP)u=tx|xRPu

ñ Extension pas toujours possible à calculer

‚ P=P

§ Différence deP etQ

‚ Tout élément qui est dansP maispasdans Q

‚ PzQ=tx|xPP^xRQu=PXQ

ñ Non-associative, non-commutative,Hneutre ñ Peu pratique, mais correspond à la soustraction

§ Différence symétrique deP etQ

‚ Tout élément qui est dansP ouQmaispas dansP etQ

‚ P∆Q=tx|(xPP_xPQ)^ ␣(xPP^xPQ)u ñ Associative, commutative,Hneutre

ñ La différence symétrique est distributive pour l’intersection

Parties d’un ensemble

§ Sous-parties d’un ensemble

‚ L’ensemble des sous-ensembles possibles

‚ Pour un ensembleP, l’ensemble tQ|QĎPu

‚ Exemple : siP=tx,y,zu alors

Parties(P) =ttx,y,zu,tx,yu,tx,zu,ty,zu,txu,tyu,tzu,Hu

§ Partitiond’un ensemble

‚ Ensemble de sous-ensembles disjoints tels que leur union reforme l’ensemble et que leurs intersections soient vides

‚ Exemple : siP=tx,y,zu alors

‚ ttx,yu,tzuu

‚ ttxu,tyu,tzuu

‚ …

ñ Combien de sous-parties ou de partitions possibles ?

Ensembles mathématiques

§ N : nombres entiers naturels (positifs)

§ Z : nombres entiers (positifs ou négatifs)

§ Q : nombres rationnels

ñ xPQØ DyPZ,DzPZzt0u(x=y/z)

§ R : nombres réels

§ P : nombres premiers

§ C : nombres complexes ñ PĂNĂZĂQĂR

§ Intervalles

‚ xP[a,b]Ø txPR^xěa^xďbu

‚ xP[a,b[Ø txPR^xěa^xăbu

‚ xP]´8,b]Ø txPR^xďbu

Structures ordonnées, les n-uplets

§ Importance de l’ordre des éléments

‚ Coordonnées dans un plan :(1,2)‰(2,1)

‚ Relation parent-enfant :(Pierre,Jean)‰(Jean,Pierre)

‚ Attributs d’un objet dans une BDD

§ Composition d’éléments : n-uplets (triplets,quadruplets …)

‚ Produit cartésiend’ensembles : PˆQ ñ Associatif, non-commutatif

‚ Puissance:P² =PˆP,Pⁿ =PˆPˆPˆ. . .P (n fois)

‚ Exemples

ñ Coordonnée en 3D(x,y,z)PR³

ñ Âge et taille de personnes(x,y)PNˆR

ñ Les éléments sont des composantes de l’objet ñ Répétitions d’éléments :(1,3,1)

ñ Sur un domaine D: prédicats n-aires dans Dⁿ

Exercices : extension et intension

§ Soient A=ta,b,c,du etB =ta,d,eu, donnez l’extension de

‚ AYBetAXB

‚ AˆBet(AXB)³

‚ (AˆB)X(BˆA)

‚ Les sous-parties possibles et deux partitions de A

§ Donnez l’extension des ensembles suivants

‚ tx|xPN^xă5u

‚ tx|xPZ^x² ă10u

‚ tx|xPQ^xă2^4˚xPNu

§ Donnez des définitions en intension des ensembles suivants

‚ t´2,´1,0,1,2,3,4u

‚ t1,3,5,7,9u

Exercices : démonstrations

§ Soient A etB deux ensembles

‚ Démontrez queAĎAYB

‚ Démontrez queAXB=AYB

‚ ReformulezAzBpar intersection et complémentaire

‚ ReformulezA∆Bpar intersection, union et complémentaire

‚ Démontrez que(AXB)˚C= (A˚C)X(B˚C)

‚ Démontrez que(A˚B)X(B˚A) = (AXB)²

Plan

1. Théorie des ensembles 2. Dénombrement

3. Applications

Cardinal d’un ensemble

§ Cardinal : nombre d’éléments que contient un ensemble

‚ Pour un ensembleP, noté|P|

‚ Nombre entier positif : |P| PN

‚ Exemples

‚ |H|= 0

‚ |ta,b,cu|= 3

‚ |ta,a,b,c,b,cu|= 3

‚ |tta,bu,tcuu|= 2

§ Quelques règles

‚ Intersection :|PXQ| ďmin(|P|,|Q|)

‚ Union :|PYQ|=|P|+|Q| ´ |PXQ|

‚ Union :|PYQ| ď |P|+|Q|

‚ SiPetQsont égaux : |PXQ|=|PYQ|=|P|=|Q|

‚ SiPetQsont disjoints : |PXQ|= 0 et|PYQ|=|P|+|Q|

Cardinal de n-uplet

§ Contraintes sur l’ordre et possibilité de répétitions

‚ |PˆQ|=|P| ˚ |Q|

‚ |Pⁿ|=|P|ⁿ

‚ Par exemple, si P=ta,bu alors

‚ P³=t(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b), (b,a,a),(b,a,b),(b,b,a),(b,b,b)u

‚ |P³|=|P|³= 2³= 8

ñ Ordre important(b,a,a)‰(a,b,a). . .

Algèbre et combinatoire

§ Produit cartésien : n^k (n-uplets avec remise)

§ Permutations: n! (n-uplets sans remise)

‚ Premier élément parmi n

‚ Second élément parmi les n´1restants

‚ …

§ Arrangements: A^k_n

‚ Sélection de kéléments ordonnés parmin

ñ A^k_n=n˚(n´1)˚(n´2)˚. . .(n´k+ 1) = n!

(n´k)!

§ Combinaisons: (_n

k

) (ouC^k_n)

‚ Regroupement des arrangements par ensembles

‚ Une combinaison dekéléments donnek!permutations ñ C^k_n˚k! =A^k_n

ñ C^k_n= A^k_n

k! = n˚(n´1)˚(n´2)˚. . .(n´k)

k˚(k´1)˚(k´2)˚. . .1 = n!

k!˚(n´k)!

Cardinalités avec/sans ordre et remise

§ Récapitulatif :

k parmin avec ordre sans ordre avec remise n^{k (n+k´1)!}

k!(n´1)!

sans remise n!

(n´k)!

n!

k!(n´k)!

Cardinalités de parties d’ensembles

§ Sous-ensembles possibles par taille

‚ Pour un ensemble de taillen, sous-ensembles

‚ Pour une taillek, combinaisons : |tQĂP^ |Q|=ku|=C^k_n

‚ Pas d’intersection entre deux tailles :

tQĂP^ |Q|=ku X tQĂP^ |Q|=l^k‰lu=H

‚ Union des tailles :|tQĂPu|=

n

ř

k=0

|tQĂP^ |Q|=ku|

ñ |tQĂPu|=

n

ř

k=0

C^k_n

§ Sous-ensembles possibles par présence d’éléments

‚ Présence ou absence d’un élément :2possibilités

‚ Pour un ensemble de taillen :2ⁿ possibilités ñ En corollaire :

n

ř

k=0

C^k_n = 2ⁿ

Cardinalités de partitions d’ensembles

§ Pour un ensemble de taille n, partitions de taille k :P^k_n

‚ P¹_n=Pⁿ_n= 1

‚ P^n´1_n = n˚(n´1)

‚ P²_n= 2^n´1´21

‚ Pour unkquelconque

‚ Par récurrence :P^k_n=P^k_n^´_´1¹+k˚P^k_n´1

‚ Calcul direct :P^k_n= 1 k!˚

k

ř

i=1

C^k_i(´1)^k´iiⁿ ñ Compliqué …

Exercices : dénombrement

§ Soient P=ta,b,cu etQ =ta,du, donnez

‚ |P|,|Q|,|PXQ|,|PYQ|

‚ |t(x,y)PQˆQu|

‚ |PˆQ|

‚ |P³|

‚ |(PYQ)²|

‚ |(PXQ)⁷|

‚ |tEĂP,|E|= 2u|

‚ |tEĂ(P²YQ²),|E|= 3u|

‚ |tEĂ(PYQ)u|

§ Alphabet : en tirant 4 lettres d’un sac de 26 (sans remise)

‚ Combien de combinaisons de lettres sont possibles ?

‚ Combien ne contiennent que des voyelles ou des consonnes ?

‚ Pour chaque possibilité, combien de mots peut-on former ?

‚ Combien de mots de 4 ou 3 lettres peut-on former ?

Plan

1. Théorie des ensembles 2. Dénombrement

3. Applications

Notations

§ Application (fonction) : relation entre deux ensembles

‚ Notationf:EÑF

‚ Ensemble dedépartE

‚ Ensemble d’arrivée(ou image) F

ñ Application est définie par le produitGĂEˆF

‚ Fonction mathématique :(x,y)PGssi f(x) =y ñ Sémantiqueportée par le nom de la fonction

§ Une seuleimage possible

‚ @xPE,@y₁PG,@y₂PG,((x,y₁)PG^(x,y₂)PGÑy₁ =y₂) ñ Pour un élément x, on obtient qu’un seul f(x)

ñ Pas de disjonction en sortie de la fonction

§ Exemples

‚ f(x) =x³ :G= (0,0),(1,1),(2,8),(3,27),(4,64). . .

‚ f(x,y) =x+ 2y+ 1:G= ((0,0),1),((0,1),3),((1,1),5). . .

Injection, surjection, bijection

§ Caractérisation deG

§ Antécédent : sif(x) = yalors xPE est l’antécédent de y

§ Injection

‚ Chaque élément image a au plusun antécédent

‚ @x₁PE,@x₂PE,@yPF,(f(x₁) =y^f(x₂) =yÑx₁=x₂)

‚ @x₁PE,@x₂PE,(f(x₁) =f(x₂)Ñx₁ =x₂)

‚ @x₁PE,@x₂PE,(x₁‰x₂ Ñf(x₁)‰f(x₂)

‚ Contre-exemple : racine carrée surR

§ Surjection

‚ Chaque élément image a au moins unantécédent

‚ @yPF,DxPE,f(x) =y

‚ Exemple : valeur absolue sur[0,+8[

ñ Bijection : applicationinjective et surjective

Exercice

§ Dites si ces fonctions sont injectives et/ou surjectives

‚ RÑR:f(x) =x+ 3

‚ Nzt0u Ñ]0,1]:g(x) = 1/x

‚ R² ÑR:f(x,y) =x+y

‚ R⁺ˆ t´1,+1u ÑR:f(x,y) =x˚y

‚ NÑN:f(n) =n³

Morphismes

§ Groupe : ensemble et loi de composition associative

‚ Loi de composition : application deEˆEdans E

‚ Notation paropérateur (infixe), par exemple : E‚E

‚ Associativité :@x,@y,@z,(x‚y)‚z=x‚(y‚z)

‚ Exemples :(R,+),(R,˚), mais pas(R,´),(R,˜)

§ Morphisme : lien entre les groupes de départ et d’arrivée

‚ Entre les opérateurs de chaque groupes

‚ Notation :f: (E,‚)Ñ(F,˛)

‚ @xPE,@yPE,f(x‚y) =f(x)˛f(y)

‚ Exemples

‚ Objets à attacher(O,att)et leur poids(R,+)

‚ Chaînes à concaténer(Σ, .)et leur taille(N,+)

‚ Taille de chaîne(N,+)et chaînes possibles (N,˚)

‚ Contre-exemple : tas de grains (N,+) et hauteur(N,+)

Composition de morphismes

§ Application h : appliquer f, puis g au résultat de f ñ Composition de fonctions h(x) =g(f(x))

§ Notation h=g˝f

§ Exemples

‚ Somme puis division parN

‚ Compression puis taille d’un fichier

‚ Résumé puis traduction d’un texte

Types de morphismes

§ Homomorphisme : morphisme

§ Endomorphisme

‚ Mêmes groupes de départ et d’arrivée

‚ Exemple :f(x) =|x|(valeur absolue) dans (R,˚)

‚ Possibilité de composition de morphismesf˝g

§ Isomorphisme(homéomorphisme, difféomorphisme)

‚ Morphismef:EÑFqui admet un inverse g:FÑE ñ Composition :f˝g=Id_E etg˝f=Id_F

ñ Pour les ensembles : applicationsbijectives

‚ Exemple : entiers

f: (Nzt0u ˆ t+1,´1u,˚)Ñ(Zzt0u,˚),f(x,y) =x˚y

§ Automorphisme : endomorphisme et isomorphisme

‚ Exemple : exponentiellef: (R,˚)Ñ(R,+),f(x) =e^x

Relations

§ RelationR binaire sur un ensemble E

‚ Sous-ensemble du produit cartésien :RĂEˆE

‚ Propriétés possibles

‚ Réflexive:@xPE,xRx

‚ Irréflexive :@xPE,␣xRx

‚ Symétrique:@(x,y)PE²,(xRyÑyRx)

‚ Anti-symétrique:@(x,y)PE²,(xRy^yRxÑx=y)

‚ Transitive: @(x,y,z)PE³,(xRy^yRzÑxRz)

‚ Circulaire :@(x,y,z)PE³,(xRy^yRzÑzRx)

‚ Exemples

‚ =surN: réflexive, symétrique, anti-symétrique, transitive

‚ ďsurN: réflexive, anti-symétrique, transitive

‚ ăsurN: irréflexive, transitive

‚ diviseursurN: réflexive, anti-symétrique, transitive

‚ ancetresur personnes : irréflexive, transitive

Relations d’ordre

ñ Les relations peuvent ordonnerles éléments d’un ensemble

§ Types d’ordres

‚ Pré-ordre: relationréflexiveettransitive

‚ Équivalence: pré-ordre symétrique

‚ Ordre: relation réflexive,anti-symétriqueettransitive

‚ OrdreTotal:@(x,y)PE²,x‰yÑxRy_yRx ñ Les éléments deux-à-deux sont toujours en relation

‚ OrdrePartiel(treillis) :D(x,y)␣xRy^ ␣yRx ñ Il existe des paires d’éléments sans relation

‚ Arbre:@(x,y,z)PE³,xRy^xRz^x‰y‰zÑyRz_zRy

§ Exemples

‚ diviseursurN : pré-ordre

‚ dizaine,cousinade: équivalence

‚ inclusion,sous-chaîne : ordre partiel

‚ ďsurN : ordre total

‚ Ordre alphabétique / lexicographique : ordre total

Exercices : morphismes et relations

§ Morphisme par concaténation

‚ SoitLun langage basé sur un alphabetΣde 26 lettres (a …z)

‚ L’application de concaténationc()(telle que

c(ab,cd) =abcd) est-elle surjective ? Quelle contrainte faudrait-il ajouter pour qu’elle soit injective ?

‚ L’applicationt(α) qui compte le nombre de caractères d’une chaîne est-elle injective, surjective ?

‚ Nous transformons la concaténation comme opérateur “.”

(point, tel queab.cd=abcd)

‚ Est-il associatif ? Commutatif ?

‚ Pour quels opérateurstest un morphisme de LdansN?

‚ On définit la relationsub sur ce langage par le principe de sous-chaîne :αsubβØ Dγ, δPL², α=γ.β.δ

‚ Quelles sont les propriétés de l’ordre ainsi défini ?

‚ Quelle est le type de cet ordre ?

‚ Dessinez le treillis pourΣ =ta,buet tαPL,t(α)ď3u