Logique Combinatoire

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LOGIQUE COMBINATOIRE

Edition 3 - 08/09/2019

CHAÎNE D’INFORMATION

ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER

ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE

ACTION

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PROBLEMATIQUE

« Expliciter les fonctions et la structure d’un système ne suﬃt pas à définir un système, il faut également décrire son comportement.

L’unité centrale traite les informations de façon à donner des consignes en fonction de l’état du système.

Ces informations peuvent être de nature binaire. »

Problématique Edition 3 - 08/09/2019

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Sommaire

A. Généralités! _______________________________________________________________ 4

A.1.Introduction 4

A.2.Support de cours 4

A.3.Définitions 4

A.3.1. Variable logique (binaire)

A.3.2. Systèmes binaire, combinatoire, séquentiel

A.4.Outils de description 6

A.4.1. Table de vérité A.4.2. Logigramme A.4.3. Schémas à contact

B. Opérateurs logiques! ________________________________________________________ 8

B.1.Fonctions usuelles 8

B.1.1. Fonction «OUI»

B.1.2. Fonction «NON»

B.1.3. Fonction «ET»

B.1.4. Fonction «OU (INCLUSIF) » B.1.5. Fonction «OU EXCLUSIF » B.1.6. Fonction «IDENTITE »

B.2.Fonctions universelles 10

B.2.1. Fonction «NAND» ou «NON ET»

B.2.2. Fonction «NOR» ou «NON OU»

C. Propriétés et théorèmes! ___________________________________________________ 11

C.1.Propriétés de l’algèbre booléenne 11

C.2.Théorèmes et identités remarquables 11

C.2.1. Théorème de De Morgan C.2.2. Identités remarquables

D. Equations de sortie! _______________________________________________________ 12

D.1.Exploitation de la table de vérité 12

D.1.1. Mintermes - Maxtermes D.1.2. Première forme canonique D.1.3. Seconde forme canonique

D.1.4. Application au monte escalier électrique

D.2.Simplification des équations 13

D.3.Construction du logigramme ou du schéma à contact 14

D.3.1. Logigramme du monte escalier électrique D.3.2. Schéma à contact du monte escalier électrique

Sommaire Edition 3 - 08/09/2019

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A. Généralités

A.1. Introduction

La logique combinatoire permet d'étudier les systèmes possédant seulement deux états physiques. Ces systèmes varient donc de façon discontinue entre ces deux états.

Par exemple, on peut convenir (modélisation du réel) que la tension, régnant dans le circuit de pilotage d'un module électro-pneumatique, ne prend que deux états : 0 ou 24 Vcc, ou bien que la pression, régnant dans le circuit de distribution pneumatique d'un vérin, ne prend que deux états : 0 ou 8 bars.

Ce sont donc des systèmes de ce type qui seront étudiés grâce aux moyens théoriques que nous allons voir dans ce cours.

A.2. Support de cours

Ce cours prendra appui sur un monte escalier électrique : Extraits du cahier des charges

La personne peut demander deux consignes : monter (m) et descendre (d). Ces commandes doivent être maintenues pour le moteur soit en action

Il existe deux capteurs, qui permettent de détecter la position haute (h) et basse (b) du monte escalier.

Le moteur électrique est soumis à deux ordres possibles : ordre de monter (om) et ordre de descendre (od).

Particularités de fonctionnement

Les deux ordres ne doivent pas être émis simultanément

Si les deux commandes sont actionnées simultanément, aucun ordre n’est émis

Si, par défaillance, les deux capteurs sont actifs simultanément, aucun mouvement ne doit être possible

A.3. Définitions

A.3.1. Variable logique (binaire)

Considérons les propositions suivantes :

• « La consigne ‘monter’ est actionnée »

• « Le capteur ‘position haute’ est actif »

• « L’ ‘ordre de monter’ est émis »

Chacune des ces proposition est soit vraie, soit fausse, et peuvent être associée à des variables binaires ne pouvant prendre que deux états : 0 ou 1.

Généralités Edition 3 - 08/09/2019

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Ainsi :

• si la consigne ‘monter’ est actionnée, on écrira m=1, sinon m=0

• si le capteur ‘position haute’ est actif, on écrira h=1, sinon h=0

• si l’ordre de monter est émis au moteur, on écrira om=1, sinon om=0 A.3.2. Systèmes binaire, combinatoire, séquentiel

L’unité centrale peut être représentée par un schéma bloc définissant ses entrées et ses sorties :

Monte escalier électrique m

d h b

om

od

A.3.2.1. Système binaire

Un système sera dit binaire si l’ensemble de ses entrées et de ses sorties sont binaires A.3.2.2. Système combinatoire / séquentiel

Un système binaire sera dit combinatoire si l’état des sorties ne dépend que de l’état des entrées, indépendamment de l’historique

Un système binaire sera dit séquentiel si l’état des sorties dépend d’une part de l’état des entrées, mais également de la séquence dans lequel se trouve le système

Considérons l’exemple de l’allumage d’une lampe, commandée soit par interrupteur classique, soit par contacteur :

Notes

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A.4. Outils de description

Il existe plusieurs outils pour décrire l’état d’une variable de sortie S en fonction de l’état des n variables d’entrée a, b, c, ...

A.4.1. Table de vérité

Une table de vérité est construite en recensant l’ensemble des combinaisons possibles de l’état de toutes les variables d’entrée, et d’écrire pour chaque cas la valeur de la variable de sortie.

Une table de vérité comporte donc 2ⁿ lignes. Ainsi, dans le cas du monte escalier électrique :

m d h b om od

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 X X

0 1 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1

0 1 1 1 X X

1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 0 0

1 0 1 1 X X

1 1 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0

1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 0 0

Table de vérité du monte escalier électrique (X : Impossible) Traitement des cas indéterminés :

• soit le cahier des charges explicite le comportement du système (dans le cas du monte escalier électrique par exemple, les cas h=1 et b=1 doivent se traduire par les sorties om=0 et od=0)

• soit le choix est laissé au concepteur, qui choisira l’état qui permet de simplifier la fonction logique finale

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A.4.2. Logigramme

Dans la suite du cours, nous aborderons des fonctions logiques élémentaires : «NON», «ET», «OU», etc...

Chacune de ces fonctions est associée à un schéma bloc, et le logigramme est un schéma de câblage reliant les diﬀérentes fonctions élémentaires :

A.4.3. Schémas à contact

Un schéma à contact permet de traduire l’état des variables par analogie électrique, avec :

• des interrupteurs dont l’état ouvert ou fermé traduit l’état 0 ou 1 d’une variable d’entrée

• des bobines, ou lampes, dont l’alimentation traduit la mise à l’état 0 ou 1 d’une variable de sortie

Notes

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B. Opérateurs logiques

B.1. Fonctions usuelles

B.1.1. Fonction «OUI»

Cette fonction, d'apparence inutile mais qui sera exploitée pour mettre en oeuvre des retards, reproduit à l’identique le signal d’entrée.

Table de vérité Table de vérité Table de vérité

₂

s = e

₁

. e

₂

₂

s = e

₁

+ e

₂

₂

s = e

₁

⊕ e

₂

Notes

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B.1.6. Fonction «IDENTITE »

₂

s = e

₁

⊕ e

₂

B.2. Fonctions universelles

Les deux fonctions suivantes son appelées «fonctions universelles», car toutes les fonctions précédentes peuvent être construites par association de ces fonctions universelles.

₂

s = e

₁

. e

₂

₂

s = e

₁

+ e

₂

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C. Propriétés et théorèmes

Les relations entre deux variables liées par une fonction logique définissent l’algèbre de Boole.

Un certain nombre de propriétés de cette algèbre de Boole permettront de simplifier les équations logiques

C.1. Propriétés de l’algèbre booléenne

Propriété Opérateur «ET» Opérateur «OU»

Elément neutre a.1=a a+0=a

Elément absorbant a. 0=0 a+1=1

Idempotence a. a=a a+a=a

Complémentarité a. a=0 a+a=1

C.2. Théorèmes et identités remarquables

C.2.1. Théorème de De Morgan

a. b = a + b a + b = a. b

C.2.2. Identités remarquables

a + a. b = a a + a. b = a + b

Propriétés et théorèmes Edition 3 - 08/09/2019

Notes

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D. Equations de sortie

D.1. Exploitation de la table de vérité

D.1.1. Mintermes - Maxtermes

On considère un système binaire à n entrées.

On appellera minterme le produit logique (ET) de toutes les entrées.

On appellera maxterme la somme logique (OU) du complément de toutes les entrées.

a b c minterme maxterme

0 0 0 a. b. c a+b+c

0 0 1 a. b. c a+b+c

0 1 0 a. b. c a.+b+c

0 1 1 a. b. c a+b+c

1 0 0 a. b. c a+b+c

1 0 1 a. b. c a+b+c

1 1 0 a. b. c a+b+c

1 1 1 a. b. c a+b+c

D.1.2. Première forme canonique

L’équation logique traduisant une table de vérité est la somme logique de tous les mintermes pour lesquels la sortie est à 1

Dans l’exemple ci-contre : s=a. b+a. b

a b s

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Equations de sortie Edition 3 - 08/09/2019

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D.1.3. Seconde forme canonique

L’équation logique traduisant une table de vérité est le produit logique de tous les maxtermes pour lesquels la sortie est à 0

Dans l’exemple ci-contre : s=

(

a+b

)

^{. a}

(

⁺^b

)

D.1.4. Application au monte escalier électrique

On rappelle la table de vérité des variables om et od établie au A.4.1 :

Cette table de vérité comporte essentiellement des 0, il sera donc avantageux de procéder à la première forme canonique :

om = m. d. h. b + m. d. h. b

od = m. d. h. b + m. d. h. b

D.2. Simplification des équations

L’extraction des équations par exploitation de la table de vérité peut aboutir à des expressions compliquées, qu’il sera souvent possible de simplifier.

Il faudra alors utiliser les propriétés et théorèmes énoncés au C.

a b s

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

m d h b om od

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1

0 1 1 1 0 0

1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 0 0

1 0 1 1 0 0

1 1 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0

1 1 1 0 0 0

1 1 1 1 0 0

Notes

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Dans le cas du monte escalier électrique :

om=m. d. h. b+m. d. h. b

=m. d. h. b

(

+b

)

Factorisation

=m. d. h.1 Complémentarité

=m. d. h Elément neutre

od=m. d. h. b+m. d. h. b

=m. d. b. h

(

+h

)

Factorisation

=m. d. b.1 Complémentarité

=m. d. b Elément neutre

D.3. Construction du logigramme ou du schéma à contact

Une fois l’équation de sortie simplifiée, il est alors possible de procéder à une représentation graphique, soit sous forme de logigramme, soir sous forme de schéma à contact.