Solutions au premier examen probatoire
cours d’introduction à la logique, printemps 2019, UniL, Philipp Blum
1. (10 points) Déterminez les valeurs de vérité des phrases données par la méthode des arbres.
Solution:
(a) Un arbre pour «p→(q→r), ¬q→ ¬p , p ⊢r» :
✓ p→(q→r)
✓ ¬q→ ¬p
¬pr AA
AA
¬p
✓ q→r
▽ BB
BB
✓¬¬q ¬p q ▽
BB BB
¬q r
▽ ▽
On voit que toutes les branches se ferment : l’inférence est valide, la phrase initiale vraie.
(b) Un arbre pour «(p↔ ¬q)∧q , (q∨((r→p)∧r))→ ¬p⊢q→ ¬p» :
✓ (p↔ ¬q)∧q (q∨((r→p)∧r))→ ¬p
✓ ¬(q→ ¬p)
✓¬¬qp
p
✓p↔ ¬q q
AA AA
p ¬p
¬q ¬¬q
▽ ▽
Toutes les branches se ferment – l’inférence est valide, et nous n’avons même pas utilisé la deuxième prémisse.
(c) Pour montrer que « p → (q → r) , ¬r ⊢ ¬(p∧q) » est vrai, faisons l’arbre pour la négation de l’implication correspondante :
✓ ¬(((p→(q→r))∧ ¬r)→ ¬(p∧q))
✓ (p→(q→r))∧ ¬r)
✓ ¬¬(p∧q)
✓ p→(q→r)
¬r
✓ p∧q p q AA
AA
¬p
▽ ✓ q→r AA
AA
¬q r
▽ ▽
(d) Un arbre pour «p∧(q↔r), ¬p∨(q→ ¬r)⊢p→ ¬r» :
✓ p∧(q↔r)
✓ ¬p∨(q→ ¬r)
✓ ¬(p→ ¬r)
✓¬¬pr
r AA
AA
✓q→ ¬r ¬q B ▽
BBB
¬q ¬r
▽
✓ q↔r BB
BB q
r ¬q
¬r
▽ ▽
Toutes les branches se ferment ; l’inférence est valide.
(e) Un arbre pour «(p↔ ¬q)∧q , (¬q∨((r↔p)∧r))→ ¬p⊢r→ ¬p» :
✓ (p↔ ¬q)∧q
¬q∨((r↔p)∧r)→ ¬p)
✓ ¬(r→ ¬p)
✓¬¬rp
p
✓p ↔ ¬q q AA
AA p
¬q ¬p
¬¬q
▽ ▽
Toutes les branches se ferment même sans utiliser la deuxième prémisse ; l’inférence est valide.
(f) «p→(q→p)» peut être prouvé par la méthode des arbres comme suit :
✓ ¬(p→(q→p))
✓¬(qp→p)
¬qp
▽
(g) «((q↔ ¬r)∧(p↔ ¬q))→(r↔p)» peut être prouvé comme suit :
✓¬(((q↔ ¬r)∧(p↔ ¬q))→(r↔p)))
✓ q↔ ¬r
✓ p↔ ¬q
✓ ¬(r↔p) HHHH
¬qr ¬q
✓ ¬¬r AA
AA p
¬q
▽
¬p
¬¬q
r
BB BB
AA AA
¬rp
▽
¬r
▽p
¬pq ¬p
✓¬¬q DD
DD
q
▽
¬rp ¬r p L’élimination de la double
négation «¬¬r» n’était pas nécessaire.
(h) Un arbre qui montre que «(¬q→p)→(¬p→(¬q→p))» est un théorème :
✓¬((¬q→p)→(¬p→(¬q→p)))
✓ ¬q→p
✓ ¬(¬p→(¬q→p))
¬p
✓¬(¬q→p)
¬q AA
AA
✓¬¬q p
▽
▽q (i) Un arbre pour «(p∨q)↔((p→q)→q)» :
✓¬((p∨q)↔((p→q)→q))
@@
✓p∨q @
✓ ¬((p→q)→q)
✓p→q
¬q AA
AA
p q
B ▽ BBB
¬p
▽ q
▽
✓¬(p∨q)
✓(p→q)→q
¬p
¬q AA
AA
✓¬(p→ q)
¬p
▽q
▽q
(j) Un arbre pour «((p↔q)∧(q∧r)∧(q→s))→(s→p)» :
✓¬(((p↔q)∧(q∧r)∧(q→s))→(s→p))
✓ p→q
✓ p∧r
✓ q→s
✓ ¬(s→p) q r
¬sp
@@
¬q @
▽ s
@@
@ p
▽q
¬p
¬q
▽
2. (10 points) Démontrez les séquents donnés, utilisant les règles d’inférence de la déduction naturelle.
Solution:
(a) Voici une preuve de «p∧q⊢p∨q» :
1 p∧q ⊢p∧q prémisse
2 p∧q ⊢p de (1) par (∧E)
3 p∧q ⊢p∨q de (2) par (∨I)
(b) Voici une preuve de «p∧(q↔s), (q↔s)→r⊢r∨t » :
1 p∧(q↔s),(q↔s)→r ⊢p∧(q↔s) prémisse 2 p∧(q↔s),(q↔s)→r ⊢(q↔s)→r prémisse 3 p∧(q↔s),(q↔s)→r ⊢q↔s de (1) par (∧E) 4 p∧(q↔s),(q↔s)→r ⊢r de (2) et (3) par (MP) 5 p∧(q↔s),(q↔s)→r ⊢r∨t de (4) par (∨I) (c) Voici une preuve de «¬(¬p∧ ¬q), ¬p⊢q » :
1 ¬(¬p∧ ¬q),¬p ⊢ ¬(¬p∧ ¬q) prémisse
2 ¬(¬p∧ ¬q),¬p ⊢ ¬p prémisse
3 ¬(¬p∧ ¬q),¬p,¬q ⊢∗¬q supposition
4 ¬(¬p∧ ¬q),¬p,¬q ⊢∗¬p∧ ¬q de (2) et (3) par (∧I)
5 ¬(¬p∧ ¬q),¬p ⊢ ¬¬q de (3), (4) et (1) par (RAA)
6 ¬(¬p∧ ¬q),¬p ⊢q de (5) par (DN)
(d) Voici une preuve de «(p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r)⊢p↔r » :
1 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r) ⊢(p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r) prémisse 2 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r) ⊢p↔ ¬q de (1) par (∧E) 3 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r) ⊢q↔ ¬r de (1) par (∧E) 4 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r) ⊢p→ ¬q de (2) par (↔E) 5 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r) ⊢ ¬q→p de (2) par (↔E) 6 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r) ⊢q→ ¬r de (3) par (↔E) 7 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r) ⊢ ¬r→q de (3) par (↔E) 8 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r), p ⊢∗p supposition
9 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r), p ⊢∗¬q de (4) et (8) par (MP) 10 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r), p ⊢∗¬¬r de (7) et (9) par (MT) 11 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r), p ⊢∗r de (10) par (DN) 12 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r) ⊢p→r de (8) et (11) par (PC) 13 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r), r ⊢∗r supposition
14 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r), r ⊢∗¬¬r de (13) par (DN) 15 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r), r ⊢∗¬q de (6) et (14) par (MT) 16 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r), r ⊢∗p de (13) et (15) par (MP) 17 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r) ⊢r→p de (13) et (16) par (PC) 18 (p↔ ¬q)∧(q↔ ¬r) ⊢p↔r de (12) et (17) par (↔I) (e) Voici une preuve de «p∨q , p→r , q→r⊢r∨s» :
1 p∨q, p→r, q→r ⊢ p∨q prémisse
2 p∨q, p→r, q→r ⊢ p→r prémisse
3 p∨q, p→r, q→r ⊢ q→r prémisse
4 p∨q, p→r, q→r p⊢∗ p supposition
5 p∨q, p→r, q→r p⊢∗ r de (2) et (4) avec (MP)
6 p∨q, p→r, q→r q⊢∗ q supposition
7 p∨q, p→r, q→r q⊢∗ r de (3) et (6) avec (MP)
8 p∨q, p→r, q→r ⊢ r de (1,3,4,5,6) avec (∨E)
9 p∨q, p→r, q→r ⊢ r∨s de (7) avec (∨I)
(f) Voici une preuve de «p→q, r→s⊢(p∧r)→(q∧s)» :
1 p→q, r→s ⊢ p→q prémisse
2 p→q, r→s ⊢ r→s prémisse
3 p→q, r→s p∧r⊢∗ p∧r supposition
4 p→q, r→s p∧r⊢∗ p de (3) avec (∧E)
5 p→q, r→s p∧r⊢∗ q de (1) et (4) avec (MP)
6 p→q, r→s p∧r⊢∗ r de (3) avec (∧E)
7 p→q, r→s p∧r⊢∗ s de (2) et (6) avec (MP)
8 p→q, r→s p∧r⊢∗ q∧s de (5) et (7) avec (∧I) 9 p→q, r→s ⊢ (p∧r)→(q∧s) de (3) et (8) avec (PC)
(g) Voici une preuve de «⊢ p→(q∨ ¬q)» :
1 p⊢∗ p supposition
2 p,¬(q∨ ¬q)⊢∗ ¬(q∨ ¬q) supposition
3 p,¬(q∨ ¬q), q⊢∗ q supposition
4 p,¬(q∨ ¬q), q⊢∗ q∨ ¬q de (3) avec (∨I)
5 p,¬(q∨ ¬q)⊢∗ ¬q de (3), (2) et (4) avec (RAA) 6 p,¬(q∨ ¬q),¬q ⊢∗ ¬q supposition
7 p,¬(q∨ ¬q),¬q ⊢∗ q∨ ¬q de (3) avec (∨I)
8 p,¬(q∨ ¬q)⊢∗ ¬¬q de (6), (2) et (7) avec (RAA)
9 p⊢∗ q∨ ¬q de (2), (5) et (8) avec (RAA)
10 ⊢ p→(q∨ ¬q) de (1) et (9) avec (PC)
(h) Voici une preuve que «q» s’ensuit de «p→(p→q)» et de « p» : 1 p→(p→q), p ⊢p→(p→q) prémisse
2 p→(p→q), p ⊢p prémisse
3 p→(p→q), p ⊢p→q de (1) et (2) par (MP)
4 p→(p→q), p ⊢q de (2) et (3) par (MP)
(i) Voici une preuve de «¬¬q→p,¬p⊢ ¬q » :
1 ¬¬q→p,¬p ⊢ ¬¬q→p prémisse
2 ¬¬q→p,¬p ⊢ ¬p prémisse
3 ¬¬q→p,¬p ⊢ ¬¬¬q de (1) et (2) par (MT)
4 ¬¬q→p,¬p ⊢ ¬q de (3) par (DN)
DNne s’applique que si «¬» est le connecteur principal : je ne peux donc pas passer de (1) à «q→p» parDN.
(j) Voici une preuve d’une instance de conversion :
1 ¬p→q ⊢ ¬p→q prémisse
2 ¬p→q,¬q ⊢∗¬q supposition
3 ¬p→q,¬q ⊢∗¬¬p de (1) et (2) par (MT)
4 ¬p→q,¬q ⊢∗p de (3) par (DN)
5 ¬p→q ⊢ ¬q→p de (2) et (4) par (PC)
