Quatrième examen probatoire
cours d’introduction à la logique, UniL, Philipp Blum à rendre le mercredi 29 mai 2019, avant 8h30
Nom(s) :
Points obtenus (dans 5 questions avec un total de 20 points) : 1. (2 points) Considérez les deux affirmations suivantes :
1 Chaque philosophie admire un philosophe.
2 Il y a un philosophe admiré par tous les philosophes.
(a) Y a-t-il une des deux assertions qui est structurellement ambiguë ? Si oui, entre quelles formalisation dans le langage de la logique des prédicats ?
(b) Y’a-t-il une des deux assertions qui s’ensuit logiquement de l’autre ? Si oui, dans quelle direction obtient la relation de conséquence logique ?
(c) Décrivez une situation où seule une des deux assertions est vraie.
2. (2 points) Expliquez, en vos propres mots, les distinctions (i) entre variables et constantes individuelles et (ii) entre noms propres, indexicaux et descriptions définies.
3. (8 points) Prouvez par déduction naturelle : (a) «∀x¬(F x∧Gx), Ga⊢ ¬F a»
(b) «∀x(F x→Gx)⊢ ¬∃x(F x∧ ¬Gx)»
(c) «∀x(Hx→Gx),∃x(F x∧ ¬Gx)⊢ ∃x(F x∧ ¬Hx))» (d) «∀x¬(F x∧Gx), Ga⊢ ¬F a»
(e) «∃x(F x)→F a⊢ ∀x(F x→F a)» (f) «∀x(F x→Gx)⊢ ¬∃x(F x∧ ¬Gx)» (g) «∃x∃y(Rxy)⊢ ∃y∃x(Rxy)»
(h) «∀x(Gx→ ¬Hx),∃x(F x∧Gx)⊢ ∃x(F x∧ ¬Hx)» 4. (3 points) Prouvez par la méthode des arbres :
(a) new one
(b) «∀x(∀y(F y)→Gx)→(∀y(F y)→ ∀x(Gx))» (c) «∃x(F x→Gx)→(∀x(F x)→ ∃x(Gx))»
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5. (5 points) Encore les Lausannois et les Genevois. Les Lausannois ne mentent jamais (disent toujours la vérité), les Genevois mentent toujours. Comme toujours, nous présupposons que tous les participants des dialogues viennent d’exactement une de ces villes.
(a) Nous rencontrons deux personnes, Georges-André et Florence. Georges-André dit : « Si je suis Lausannois, alors Florence en est aussi une. » Pouvons nous déterminer d’où viennent les deux ?
(b) Quelqu’un a demandé à Jean-Pascal s’il était Lausannois. Jean-Pascal a répondu qu’il mangera son chapeau s’il est Lausannois. Prouvez qu’il mangera son chapeau.
(c) Encore un duo. Paul-René dit : « Si Yvette est Lausannoise, alors je suis Genevois. » D’où viennent-ils ?
(d) Deux individus, X et Y apparaissent en justice. Nous avons deux témoins, Timea et Stanislas, qui disent :
Timea : « Si Sandrine est coupable, alors Rémy est également coupable. » Stanislas : « Soit Sandrine est innocente soit Rémy est coupable. » Aet B, viennent-ils de la même ville ?
(e) Nous parlons avec Georges, Charlotte et Hélène. Ils disent : Georges : « Charlotte est Lausannoise. »
Charlotte : « Si Georges est Lausannois, alors Hélène l’est aussi » Pouvons-nous déterminer d’où ils viennent ?
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