Quatrième examen probatoire
Cours ďintroduction à la logique, semestre ďhiver 2005-2006 (peut tenir lieu de série pour ceux à qui il en manque une)
Àrendre avant le vendredi 3 février, 16 h
Nom(s):
Points obtenus (dans 7 questions avec un total de 20 points):
1. (2 points) Montrez au moyen de tables de vérité que les formules suivantes sont des tautologies :
(a) “p→p”
(b) “((p∨q)→r)↔((p→r)∧(q→r))”
(c) “¬(¬p∧q)↔(p∨ ¬q)”
(d) “(p→q)↔ ¬(p∧ ¬q)
2. (4 points) Aľaide de la méthode des arbres, vérifiez si les propositions suivantes peuvent être prouvées :
(a) “(¬q→p)→(¬p→(¬q →p))”
(b) “¬(p↔q)↔(p↔ ¬q)”
(c) “(p∨q)↔((p→q)→q)”
(d) “((p↔q)∧(q∧r)∧(q→s))→(s→p)”
3. (4 points) Par la méthode de la déduction naturelle, prouvez les séquents suivants : (a) “{p→q , p→r} ⊢ p→(q∧r)”
(b) “{p→q , r →s} ⊢ (p∧r)→(q∧s)”
(c) “⊢ p→(q∨ ¬q)”
(d) “p∧ ¬p ⊢ p”
4. (2 points) Expliquez
(a) ce qu’est un terme singulier (b) ce qu’est une phrase ouverte
(c) quelle est la distinction entre usage et mention (d) ce qu’est un système formel axiomatique
(e) ce qu’est ľanalyse Russellienne ďune description définie
5. (2 points) Expliquez, en vos propres mots, les distinctions (i) entre variables et constantes individuelles et (ii) entre noms propres, indexicaux et descriptions définies.
6. (3 points) Aľaide de la méthode des arbres, prouvez les propositions suivantes : (a) “∀x(F x→Gx)→(∀x(F x)→ ∀x(Gx))”
(b) “∀x(F x→Gx)→(∃x(F x)→ ∃x(Gx))”
(c) “(∀x(F x→Hx)∧ ∀x(Gx→Hx)∧ ∀x(F x∨Gx))→ ∀x(Hx)”
7. (3 points) Par la méthode de la déduction naturelle, prouvez les séquents suivants : (a) “∃x∀y∃z(Sxyz) ⊢ ∀y∃x∃z(Sxyz)”
(b) “∀x(F x),∀x(Gx) ⊢ ∀x(F x∧Gx)”
(c) “∃x(F x∨Gx) ⊢ ∃x(F x)∧ ∃x(Gx)”
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