Solutions au troisième examen probatoire
cours d’introduction à la logique, printemps 2019, UniL, Philipp Blum
1. (6 points) Formalisez les arguments données et prouvez qu’ils sont valides.
Solution:
(a) « Tous les vieux hommes bavent. M Leroux est un vieil homme et un collectionneur de timbres. Donc, il y a des collectionneurs de timbres qui bavent. » est formalisée comme suit :
(a) Tous les vieux hommes bavent. ∀x(xest un vieil homme→ xbave) (b) M Leroux est un v.h. et un c. de t. aest un vieil homme∧aest un c. de t.
(c) Il y a des collectionneurs de timbres qui bavent. ∃x(xest un c. de t.∧xbave) Nous prouvons la validité de cette inférence comme suit :
1 ∀x(Hx→Bx), Ha∧Ca ⊢ ∀x(Hx→Bx) prémisse 2 ∀x(Hx→Bx), Ha∧Ca ⊢ Ha∧Ca prémisse 3 ∀x(Hx→Bx), Ha∧Ca ⊢ Ha→Ba de (1) par (SU) 4 ∀x(Hx→Bx), Ha∧Ca ⊢ Ha de (2) par (∧E) 5 ∀x(Hx→Bx), Ha∧Ca ⊢ Ba de (3) et (4) par (MP) 6 ∀x(Hx→Bx), Ha∧Ca ⊢ Ca de (2) par (∧E) 7 ∀x(Hx→Bx), Ha∧Ca ⊢ Ca∧Ba de (5) et (6) par (∧I) 8 ∀x(Hx→Bx), Ha∧Ca ⊢ ∃x(Cx∧Bx) de (7) par (GE)
(b) « Aucun canard ne danse le tango. Aucun officier ne s’abstient de danser le tango. Tous les habitants de ma grange sont des canards. Donc aucun habitant de ma grange n’est un officier. » est formalisée comme suit :
(a) Aucun canard ne danse le tango. ¬∃x(xest un canard∧xdanse le tango) (b) Aucun officier ne s’abstient de danser le tango. ¬∃x(xest un officier∧ ¬(xdanse le tango)) (c) Tous les habitants de ma grange sont des canards. ∀x(xhabite ma grange→ xest un canard) (d) Aucun habitant de ma grange est un officier. ¬∃x(xhabite ma grange∧xest un officier)
Nous prouvons la validité de cette inférence comme suit (on abrégeant « ¬∃x(Cx∧ T x),¬∃x(Ox∧ ¬T x),∀x(Gx→Cx)» par «A,B,C» respectivment) :
1 A,B,C ⊢ ¬∃x(Cx∧T x) prémisse
2 A,B,C ⊢ ¬∃x(Ox∧ ¬T x) prémisse
3 A,B,C ⊢ ∀x(Gx→Cx) prémisse
4 A,B,C,∃x(Gx∧Ox) ⊢∗∃x(Gx∧Ox) supposition 5 A,B,C,∃x(Gx∧Ox), Ga∧Oa ⊢∗Ga∧Oa supposition 6 A,B,C,∃x(Gx∧Ox), Ga∧Oa ⊢∗Ga de (5) par (∧E) 7 A,B,C,∃x(Gx∧Ox), Ga∧Oa ⊢∗Ga→Ca de (3) par (SU) 8 A,B,C,∃x(Gx∧Ox), Ga∧Oa ⊢∗Ca de (6) et (7) par (MP) 9 A,B,C,∃x(Gx∧Ox), Ga∧Oa, T a ⊢∗T a supposition
10 A,B,C,∃x(Gx∧Ox), Ga∧Oa, T a ⊢∗Ca∧T a de (8) et (9) par (∧I) 11 A,B,C,∃x(Gx∧Ox), Ga∧Oa, T a ⊢∗∃x(Cx∧T x) de (10) par (GE)
12 A,B,C,∃x(Gx∧Ox), Ga∧Oa ⊢∗¬T a de (9), (1) et (11) par (RAA) 13 A,B,C,∃x(Gx∧Ox), Ga∧Oa ⊢∗Oa de (5) par (∧E)
14 A,B,C,∃x(Gx∧Ox), Ga∧Oa ⊢∗Oa∧ ¬T a de (12) et (13) par (∧I) 15 A,B,C,∃x(Gx∧Ox), Ga∧Oa ⊢∗∃x(Ox∧ ¬T x) de (14) par (GE)
16 A,B,C,∃x(Gx∧Ox) ⊢∗∃x(Ox∧ ¬T x) de (4), (5) et (15) par (SE) 17 A,B,C ⊢ ¬∃x(Gx∧Ox) de (4), (15) et (2) par (RAA)
(c) « Quelques femmes adorent Léo. Tous les hommes adorent toute femme. Puisque Léo est un homme, il y a quelqu’un qui adore et qui est adoré par Léo. » se formalise comme suit :
(a) Quelques femmes adorent Léo. ∃x(xest une femme∧xadorea)
(b) Tous les hommes adorent toute femme. ∀x∀y((xest un homme∧yest une femme)→xadorey)
(c) Léo est un homme. aest un homme.
(d) Quelqu’un adore et est adoré par Léo. ∃x(xadorea∧aadorex)
Nous prouvons la validité de cette inférence comme suit (on abrégeant « ∃x(F x∧ Axa),∀x∀y((Hx∧F y)→Axy), Ha» par «A,B,C» respectivement) :
1 A,B,C ⊢ ∃x(F x∧Axa) prémisse
2 A,B,C ⊢ ∀x∀y((Hx∧F y)→Axy) prémisse
3 A,B,C ⊢ Ha prémisse
4 A,B,C, F b∧Aba ⊢∗F b∧Aba supposition 5 A,B,C, F b∧Aba ⊢∗∀y((Ha∧F y)→Aay) de (2) avec (SU) 6 A,B,C, F b∧Aba ⊢∗(Ha∧F b)→Aab de (5) avec (SU) 7 A,B,C, F b∧Aba ⊢∗F b de (4) avec (∧E) 8 A,B,C, F b∧Aba ⊢∗Ha∧F b de (3) et (7) avec (∧I) 9 A,B,C, F b∧Aba ⊢∗Aab de (6) et (8) avec (MP) 10 A,B,C, F b∧Aba ⊢∗Aba de (4) avec (∧E) 11 A,B,C, F b∧Aba ⊢∗Aba∧Aab de (9) et (10) avec (∧I) 12 A,B,C, F b∧Aba ⊢∗∃x(Axa∧Aax) de (11) avec (GE)
13 A,B,C ⊢ ∃x(Axa∧Aax) de (1), (4) et (12) avec (SE) (d) « Certains n’aiment personne, et personne n’aime quelqu’un qui ne s’aime pas lui-même.
Donc il y a quelques-uns que personne n’aime. » se formalise comme suit :
(a) Certains n’aiment personne. ∃x¬∃y(xaimey)
(b) Personne n’aime quelqu’un qui ne s’aime pas lui-même. ¬∃x∃y(xaimey∧ ¬(yaimey)) (c) Il y a quelques-uns que personne n’aime. ∃y¬∃x(xaimey)
Nous prouvons la validité de cette inférence comme suit (on abrégeant «∃x¬∃y(Rxy)» ,
«¬∃x∃y(Rxy∧¬Ryy)» et «¬∃y¬∃x(Rxy)» par «A» , «B» et «C» respectivement) :
1 A,B ⊢ ∃x¬∃y(Rxy) prémisse
2 A,B ⊢ ¬∃x∃y(Rxy∧ ¬Ryy) prémisse
3 A,B,C ⊢∗¬∃y¬∃x(Rxy) supposition
4 A,B,C,¬∃y(Ray) ⊢∗¬∃y(Ray) supposition 5 A,B,C,¬∃y(Ray),¬∃x(Rxa) ⊢∗¬∃x(Rxa) supposition 6 A,B,C,¬∃y(Ray),¬∃x(Rxa) ⊢∗∃y¬∃x(Rxy) de (5) par (GE)
7 A,B,C,¬∃y(Ray) ⊢∗¬¬∃x(Rxa) de (5), (6) et (3) par (RAA) 8 A,B,C,¬∃y(Ray) ⊢∗∃x(Rxa) de (7) par (DN)
9 A,B,C,¬∃y(Ray), Rba ⊢∗Rba supposition 10 A,B,C,¬∃y(Ray), Rba, Raa ⊢∗Raa supposition 11 A,B,C,¬∃y(Ray), Rba, Raa ⊢∗∃y(Ray) de (10) par (GE)
12 A,B,C,¬∃y(Ray), Rba ⊢∗¬Raa de (10), (11) et (4) par (RAA) 13 A,B,C,¬∃y(Ray), Rba ⊢∗Rba∧ ¬Raa de (9) et (12) par (∧I)
14 A,B,C,¬∃y(Ray), Rba ⊢∗∃y(Rby∧ ¬Ryy) de (13) par (GE) 15 A,B,C,¬∃y(Ray), Rba ⊢∗∃x∃y(Rxy∧ ¬Ryy) de (14) par (GE)
16 A,B,C,¬∃y(Ray) ⊢∗∃x∃y(Rxy∧ ¬Ryy) de (8), (9) et (15) par (SE) 17 A,B,C ⊢∗∃x∃y(Rxy∧ ¬Ryy) de (8), (9) et (16) par (SE) 18 A,B ⊢ ¬¬∃y¬∃x(Rxy) de (3), (17) et (2) par (RAA)
19 A,B ⊢ ∃y¬∃x(Rxy) de (18) par (DN)
(e) « Laura a visité tous les pays de l’Union Européenne sauf les pays méditerraniens. L’Italie est un pays de l’Union Européenne, mais n’a encore jamais été visité par Laura. Donc l’Italie doit être un pays méditerranien. » se formalise comme suit :
(a) L. a visité tt les pays de l’U.E. sauf les pays M. ∀x((xest UE∧¬(xest M))→aa visitéx) (b) L’I. est un p. de l’U.E. jamais visité par L. best un pays UE∧¬(best un pays M) (c) L’Italie doit être un pays méditerranien. best un pays M.
Nous prouvons la validité de cette inférence comme suit, abrégeant «∀x((U x∧ ¬M x)→ V ax)» par «A» :
1 A, U b∧ ¬V ab ⊢ ∀x((U x∧ ¬M x)→V ax) prémisse 2 A, U b∧ ¬V ab ⊢ U b∧ ¬V ab prémisse 3 A, U b∧ ¬V ab,¬M b ⊢∗¬M b supposition 4 A, U b∧ ¬V ab,¬M b ⊢∗U b de (2) avec (∧E) 5 A, U b∧ ¬V ab,¬M b ⊢∗¬V ab de (2) avec (∧E) 6 A, U b∧ ¬V ab,¬M b ⊢∗U b∧ ¬M b de (3) et (4) avec (∧I) 7 A, U b∧ ¬V ab,¬M b ⊢∗(U b∧ ¬M b)→V ab de (1) avec (SU) 8 A, U b∧ ¬V ab,¬M b ⊢∗V ab de (6) et (7) avec (MP) 9 A, U b∧ ¬V ab ⊢ ¬¬M b de (3), (5) et (8) avec (RAA) 10 A, U b∧ ¬V ab ⊢ M b de (9) avec (DN)
(f) « Certains critiquent tout argument invalide. Personne ne critique un argument convain- cant. Donc aucun argument invalide est convaincant. » se formalise comme suit :
(a) Certains critiquent tout argument invalide. ∃x∀y(yinvalide→xcritiquey) (b) Personne ne critique un argument convaincant. ¬∃x∃y(yconvaincant∧xcritiquey) (c) Aucun argument invalide est convaincant. ¬∃x(xest convaincant∧xest invalide)
Nous prouvons la validité de cette inférence comme suit (on abrégeant « ∃x∀y(Iy → Cxy)» par «A» , «¬∃x∃y(Ky∧Cxy)» par «B» et «∃x(Ix∧Kx)» par «C» ) :
1 A,B ⊢ ∃x∀y(Iy→Cxy) prémisse
2 A,B ⊢ ¬∃x∃y(Ky∧Cxy) prémisse
3 A,B,C ⊢∗∃x(Ix∧Kx) supposition
4 A,B,C, Ia∧Ka ⊢∗Ia∧Ka supposition 5 A,B,C, Ia∧Ka,∀y(Iy→Cby) ⊢∗∀y(Iy→Cby) supposition 6 A,B,C, Ia∧Ka,∀y(Iy→Cby) ⊢∗Ia→Cba de (5) par (SU) 7 A,B,C, Ia∧Ka,∀y(Iy→Cby) ⊢∗Ia de (4) avec (∧E) 8 A,B,C, Ia∧Ka,∀y(Iy→Cby) ⊢∗Ka de (4) avec (∧E) 9 A,B,C, Ia∧Ka,∀y(Iy→Cby) ⊢∗Cba de (6) et (7) avec (MP) 10 A,B,C, Ia∧Ka,∀y(Iy→Cby) ⊢∗Ka∧Cba de (8) et (9) avec (∧I) 11 A,B,C, Ia∧Ka,∀y(Iy→Cby) ⊢∗∃x(Kx∧Cbx) de (10) avec (GE) 12 A,B,C, Ia∧Ka,∀y(Iy→Cby) ⊢∗∃y∃x(Kx∧Cyx) de (11) avec (GE)
13 A,B,C, Ia∧Ka ⊢∗∃y∃x(Kx∧Cyx) de (1), (5) et (12) et avec (SE) 14 A,B,C ⊢∗∃y∃x(Kx∧Cyx) de (3), (4) et (13) et avec (SE) 15 A,B ⊢ ¬∃x(Ix∧Kx) de (3), (2) et (14) et avec (RAA) 2. (3 points) A l’aide de la méthode des arbres, prouvez les phrases données.
Solution:
(a) Un arbre pour «∃x∀y∃z(Sxyz)→ ∀y∃x∃z (Sxyz)» :
✓ ¬(∃x∀y∃z (Sxyz)→ ∀y∃x∃z (Sxyz)))
✓a ∃x∀y∃z (Sxyz)
✓a,b ¬∀y∃x∃z (Sxyz)
✓a,b ∀y∃z(Sayz)
✓a,b ¬∃x∃z(Sxay)
✓a,b ∃z(Saaz)
✓a¬∃z(Saaz)Saaa
¬Saaa
▽
✓b¬∃Saabz(Saaz)
¬Saab
▽
✓a ¬∃x∃z(Sxby)
✓a,b,c ∃z(Sabz)
✓a¬∃z(Sabz)Saba
¬Saba
▽
✓b¬∃Sabbz(Sabz)
¬Sabb
▽
✓c¬∃Sabcz(Sabz)
¬Sabc
▽ La difficulté avec cet arbre est qu’il faut trouver les instanciations ‘justes’, c’est-à-dire des instanciations qui mènent à des contradictions. Sans cela, il serait nécessaire de dessiner un arbre extrêment grand. Pour cet exercice, il est utile de se rappeler qu’une branche d’un arbre se ferme si elle contient n’importe quelle paire d’une proposition et de sa négation. On aurait donc aussi pu se contenter de l’arbre suivant :
✓ ¬(∃x∀y∃z(Sxyz)→ ∀y∃x∃z(Sxyz)))
✓a ∃x∀y∃z(Sxyz)
✓a,b ¬∀y∃x∃z (Sxyz)
✓a,b ∀y∃z(Sayz)
¬∃x∃z(Sxay)
∃z(Saaz)
¬∃z(Saaz)
▽
¬∃x∃z(Sxby)
∃z(Sabz)
¬∃z(Sabz)
▽ Avec la nouvelle méthode,
l’arbre aurait été le suivant :
✓ ¬(∃x∀y∃z (Sxyz)→ ∀y∃x∃z (Sxyz))
✓a ∃x∀y∃z (Sxyz)
✓b ¬∀y∃x∃z(Sxyz)
✓b ∀y∃z (Sayz)
✓a ¬∃x∃z(Sxbz)
∃z(Sabz)
¬∃z(Sabz)
▽
«∀y∃z(Sayz)» est l’instanciation de la quantification existentielle et «¬∃x∃z(Sxbz)» celle de la négation de la quantification universelle. La nouvelle constante « b » est ensuite utilisée pour instancier « ∀y∃z(Sayz) », ce qui nous donne « ∃z(Sabz) ». Mais « a », nous donne également «¬∃z(Sabz)», comme instanciation de «¬∃x∃z(Sxby)». Nous avons donc une contradiction et fermons la (seule) branche.
(b) Un arbre pour «∀x(F x→Gx)→(∃x(F x)→ ∃x(Gx))» :
✓ ¬(∀x(F x→Gx)→(∃x(F x)→ ∃x(Gx)))
✓ ∀x(F x→Gx)
✓ ¬(∃x(F x)→ ∃x(Gx))
✓∃x(F x)
✓¬∃x(Gx)
¬F aGa
✓F a→Ga
¬F a
▽
Ga
▽
(c) Un arbre pour «(∀x(F x→Hx)∧ ∀x(Gx→Hx)∧ ∀x(F x∨Gx))→ ∀x(Hx)» :
✓¬((∀x(F x→Hx)∧ ∀x(Gx→Hx)∧ ∀x(F x∨Gx))→ ∀x(Hx))
✓ ∀x(F x→Hx)
✓ ∀x(Gx→Hx)
✓ ∀x(F x∨Gx)
✓ ¬∀x(Hx)
¬Ha
✓ F a∨Ga
✓F aF a→Ha
¬F a
▽
Ha
▽
✓ GaGa→Ha
¬Ga
▽
Ha
▽
3. (3 points) Par la méthode de la déduction naturelle, prouvez les séquents donnés.
(a) Une preuve de «∀x((F x∨Gx)→Hx), ∀x¬(Hx)⊢ ∀x¬(F x)» : 1 ∀x((F x∨Gx)→Hx),∀x¬(Hx) ⊢ ∀x((F x∨Gx)→Hx) prémisse 2 ∀x((F x∨Gx)→Hx),∀x¬(Hx) ⊢ ∀x¬(Hx) prémisse
3 ∀x((F x∨Gx)→Hx),∀x¬(Hx) ⊢ (F a∨Ga)→Ha de (1) avec (SU) 4 ∀x((F x∨Gx)→Hx),∀x¬(Hx) ⊢ ¬Ha de (2) avec (SU) 5 ∀x((F x∨Gx)→Hx),∀x¬(Hx) ⊢ ¬(F a∨Ga) de (4) et (5) avec (MT) 6 ∀x((F x∨Gx)→Hx),∀x¬(Hx) F a ⊢∗ F a supposition
7 ∀x((F x∨Gx)→Hx),∀x¬(Hx) F a ⊢∗ F a∨Ga de (6) avec (∨I)
8 ∀x((F x∨Gx)→Hx),∀x¬(Hx) ⊢ ¬F a de (6), (5) et (7) avec (RAA) 9 ∀x((F x∨Gx)→Hx),∀x¬(Hx) ⊢ ∀x¬(F x) de (8) avec (GU)
(b) Une preuve de «∃x(F x∧Gx)⊢ ∃x(F x)∧ ∃x(Gx)» serait la suivante : 1 ∃x(F x∧Gx) ⊢ ∃x(F x∧Gx)) prémisse 2 ∃x(F x∧Gx) F a∧Ga ⊢∗ F a∧Ga supposition 3 ∃x(F x∧Gx) F a∧Ga ⊢∗ F a de (2) avec (∧E) 4 ∃x(F x∧Gx) F a∧Ga ⊢∗ ∃x(F x) de (3) avec (GE) 5 ∃x(F x∧Gx) F a∧Ga ⊢∗ Ga de (2) avec (∧E) 6 ∃x(F x∧Gx) F a∧Ga ⊢∗ ∃x(Gx) de (5) avec (GE) 7 ∃x(F x∧Gx) F a∧Ga ⊢∗ ∃x(F x)∧ ∃x(Gx) de (4) et (6) avec (∧I) 8 ∃x(F x∧Gx) ⊢ ∃x(F x)∧ ∃x(Gx) de (1), (2) et (7) avec (SE)
(c) Une preuve de « ∀x(F x→F a)⊢ ∃x(F x)→F a» serait la suivante : 1 ∀x(F x→F a) ⊢ ∀x(F x→F a) prémisse 2 ∀x(F x→F a) ∃x(F x) ⊢∗ ∃x(F x) supposition 3 ∀x(F x→F a) ∃x(F x), F b ⊢∗ F b supposition 4 ∀x(F x→F a) ∃x(F x), F b ⊢∗ F b→F a de (1) avec (SU) 5 ∀x(F x→F a) ∃x(F x), F b ⊢∗ F a de (3) et (4) avec (MP) 6 ∀x(F x→F a) ∃x(F x) ⊢∗ F a de (2), (3) et (5) avec (SE) 7 ∀x(F x→F a) ⊢ ∃x(F x)→F a de (2) et (6) avec (PC) 4. (8 points) Nous prouvons les équivalences comme suit :
Solution:
(a1) Une preuve de «∃x(F x∧Gx)⊢ ¬∀x(F x→ ¬Gx)» par la déduction naturelle :
1 ∃x(F x∧Gx) ⊢ ∃x(F x∧Gx) prémisse
2 ∃x(F x∧Gx), F a∧Ga ⊢∗ F a∧Ga supposition 3 ∃x(F x∧Gx), F a∧Ga,∀x(F x→ ¬Gx) ⊢∗ ∀x(F x→ ¬Gx) supposition 4 ∃x(F x∧Gx), F a∧Ga,∀x(F x→ ¬Gx) ⊢∗ F a→ ¬Ga de (2) par (SU) 5 ∃x(F x∧Gx), F a∧Ga,∀x(F x→ ¬Gx) ⊢∗ F a de (3) par (∧E) 6 ∃x(F x∧Gx), F a∧Ga,∀x(F x→ ¬Gx) ⊢∗ ¬Ga de (4) et (5) par (MP) 7 ∃x(F x∧Gx), F a∧Ga,∀x(F x→ ¬Gx) ⊢∗ Ga de (3) par (∧E)
8 ∃x(F x∧Gx), F a∧Ga ⊢∗ ¬∀x(F x→ ¬Gx) de (3), (6) et (7) par (RAA) 9 ∃x(F x∧Gx) ⊢ ¬∀x(F x→ ¬Gx) de (2) et (8) par (SU)
(a1) Une preuve de «∃x(F x∧Gx)⊢ ¬∀x(F x→ ¬Gx)» par la méthode des arbres :
✓ ¬(∃x(F x∧Gx)→ ¬∀x(F x→ ¬Gx))
✓a ∃x(F x∧Gx)
✓ ¬¬∀x(F x→ ¬Gx)
✓a ∀x(F x→ ¬Gx)
✓ F a∧Ga
✓ F a→ ¬Ga
F a Ga
¬F a
▽
¬Ga
▽
(a2) Une preuve de «¬∀x(F x→ ¬Gx)⊢ ∃x(F x∧Gx)» par la déduction naturelle : 1 ¬∀x(F x→ ¬Gx) ⊢ ¬∀x(F x→ ¬Gx) prémisse
2 ¬∀x(F x→ ¬Gx),¬∃x(F x∧Gx) ⊢∗ ¬∃x(F x∧Gx) supposition 3 ¬∀x(F x→ ¬Gx),¬∃x(F x∧Gx), F a∧Ga ⊢∗ F a∧Ga supposition 4 ¬∀x(F x→ ¬Gx),¬∃x(F x∧Gx), F a∧Ga ⊢∗ ∃x(F x∧Gx) de (3) par (GE)
5 ¬∀x(F x→ ¬Gx),¬∃x(F x∧Gx) ⊢∗ ¬(F a∧Ga) de (3) et (4) par (RAA) 6 ¬∀x(F x→ ¬Gx),¬∃x(F x∧Gx), F a ⊢∗ F a supposition
7 ¬∀x(F x→ ¬Gx),¬∃x(F x∧Gx), F a, Ga ⊢∗ Ga supposition
8 ¬∀x(F x→ ¬Gx),¬∃x(F x∧Gx), F a, Ga ⊢∗ F a∧Ga de (6) et (7) par (∧I) 9 ¬∀x(F x→ ¬Gx),¬∃x(F x∧Gx), F a ⊢∗ ¬Ga de (7), (3) et (8) par (RAA) 10 ¬∀x(F x→ ¬Gx),¬∃x(F x∧Gx) ⊢∗ F a→ ¬Ga de (6) et (9) par (PC) 11 ¬∀x(F x→ ¬Gx),¬∃x(F x∧Gx) ⊢∗ ∀x(F x→ ¬Gx) de (10) par (GU)
12 ¬∀x(F x→ ¬Gx) ⊢ ¬¬∃x(F x∧Gx) de (2), (1) et (11) par (RAA) 13 ¬∀x(F x→ ¬Gx) ⊢ ∃x(F x∧Gx) de (13) par (DN)
(a2) Une preuve de «¬∀x(F x→ ¬Gx)⊢ ∃x(F x∧Gx)» par la méthode des arbres :
✓ ¬(∀x(F x→ ¬Gx)→ ∃x(F x∧Gx))
✓a ¬∀x(F x→ ¬Gx)
✓a ¬∃x(F x∧Gx)
✓ ¬(F a→ ¬Ga)
✓ ¬(F a∧Ga)
¬¬F aGa
¬F a
▽
¬Ga
▽
(b1) Une preuve de «∀x(F x→ ∃y(Gxy))⊢ ∀x∃y(F x→Gxy)» par la déduction naturelle : 1 ∀x(F x→ ∃y(Gxy)) ⊢ ∀x(F x→ ∃y(Gxy)) prémisse 2 ∀x(F x→ ∃y(Gxy)) ⊢ F a→ ∃y(Gay) de (1) par (SU) 3 ∀x(F x→ ∃y(Gxy)),¬∃y(F a→Gay) ⊢∗ ¬∃y(F a→Gay) supposition 4 ∀x(F x→ ∃y(Gxy)),¬∃y(F a→Gay), F a→Gab ⊢∗ F a→Gab supposition 5 ∀x(F x→ ∃y(Gxy)),¬∃y(F a→Gay), F a→Gab ⊢∗ ∃y(F a→Gay) de (4) par (GE)
6 ∀x(F x→ ∃y(Gxy)),¬∃y(F a→Gay) ⊢∗ ¬(F a→Gab) de (4), (3) et (5) par (RAA) 7 ∀x(F x→ ∃y(Gxy)) ⊢ ¬¬∃y(F a→Gay) de (4), (6) et (3) par (RAA) 8 ∀x(F x→ ∃y(Gxy)) ⊢ ∃y(F a→Gay) de (7) par (DN)
9 ∀x(F x→ ∃y(Gxy)) ⊢ ∀x∃y(F x→Gxy) de (8) par (GU)
(b1) Une preuve de «∀x(F x→ ∃y(Gxy))⊢ ∀x∃y(F x→Gxy)» par la méthode des arbres :
✓ ¬(∀x(F x→ ∃y(Gxy))→ ∀x∃y(F x→Gxy))
✓a ∀x(F x→ ∃y(Gxy))
✓a ¬∀x∃y(F x→Gxy)
✓a ¬∃y(F a→Gay)
✓ F a→ ∃y(Gay)
✓(F a→Gaa)
¬F a Gaa
¬F a
▽ ¬∃y(Gay)
¬Gaa
▽
(b2) Une preuve de «∀x∃y(F x→Gxy)⊢ ∀x(F x→ ∃y(Gxy))» par la déduction naturelle : 1 ∀x∃y(F x→Gxy) ⊢ ∀x∃y(F x→Gxy) prémisse
2 ∀x∃y(F x→Gxy) ⊢ ∃y(F a→Gay) de (1) par (SU) 3 ∀x∃y(F x→Gxy), F a→Gab ⊢∗ F a→Gab supposition 4 ∀x∃y(F x→Gxy), F a→Gab, F a ⊢∗ F a supposition
5 ∀x∃y(F x→Gxy), F a→Gab, F a ⊢∗ Gab de (3) et (4) par (MP) 6 ∀x∃y(F x→Gxy), F a→Gab, F a ⊢∗ ∃y(Gay) de (5) par (GE) 7 ∀x∃y(F x→Gxy), F a→Gab ⊢∗ F a→ ∃y(Gay) de (4) et (6) par (PC) 8 ∀x∃y(F x→Gxy) ⊢ F a→ ∃y(Gay) de (3) et (7) par (SE) 9 ∀x∃y(F x→Gxy) ⊢ ∀x(F x→ ∃y(Gxy)) de (8) par (GU)
(b2) Une preuve de «∀x∃y(F x→Gxy)⊢ ∀x(F x→ ∃y(Gxy))» par la méthode des arbres :
✓ ¬(∀x∃y(F x→Gxy)→ ∀x(F x→ ∃y(Gxy)))
✓a ∀x∃y(F x→Gxy)
✓a ¬∀x(F x→ ∃y(Gxy))
✓a ¬(F a→ ∃y(Gay))
✓a,b ∃y(F a→Gay)
✓(F a→Gab)
✓F aa,b¬∃y(Gay)
¬F a ¬Gab Gaa
