Solutions au deuxième examen probatoire
cours d’introduction à la logique, printemps 2019, UniL, Philipp Blum
1. (3 points) La police arrête trois suspects : Maria, Sam et Jonathan. Ils font des témoignages suivantes :
1. Maria : « Jonathan est innocent, mais Sam ne l’est pas. »
2. Sam : « Si Maria n’est pas innocente, alors Jonathan ne l’est pas non plus. » 3. Jonathan : « Je suis innocent, mais un des deux autres ne l’est pas. »
Abbrégeant « Maria est innocente » par «p», « Sam est innocent » par «q» et « Jonathan est innocent » par «r», répondez aux questions données.
Solution: Un point pour la formalisation, un demi-point pour le tables de vérite, un demi- point pour deux réponses correcte, un point pour le reste.
(a) Exprimez les trois témoignages comme formules de la logique propositionnelle et en faites les tables de vérité.
(a) Maria : «r∧ ¬q» (b) Sam : «¬p→ ¬r»
(c) Jonathan : «r∧(¬p∨ ¬q)»
p q r ¬p ¬q ¬r ¬p∨ ¬q r∧ ¬q ¬p→ ¬r r∧(¬p∨ ¬q)
V V V F F F F F V F
V V F F F V F F V F
V F V F V F V V V V
V F F F V V V F V F
F V V V F F V F F V
F V F V F V V F V F
F F V V V F V V F V
F F F V V V V F V F
(b) (i) Les trois témoignages sont consistants parce que les trois reçoivent « V » à la troisième ligne.
(ii) La table montre quele témoignage de Jonathan s’ensuit de celui de Maria.
(iii) Si tout le monde est innocent, nous sommes dans la première ligne du tableau. Dans ce cas, Maria et Jonathanont menti.
(iv) Si les trois témoignages sont vrais, nous sommes dans la troisième ligne du tableau.
AlorsMaria et Jonathan sont innocents, mais Sam ne l’est pas.
(v) Si les innocents ont dit la vérité et les autres ont menti, nous stipulons que la valeur de vérité du témoignage de Maria correspond à celui de “p”, celle du témoignage de Sam à celle de “q” et celle du témoignage de Jonathan à celle de “r”. Nous sommes donc dans la sixième ligne du tableau etSam est innocent et Maria et Jonathan ne le sont pas.
2. (2 points) Formulez en français, de la manière la plus élégante possible, les formules suivantes.
Il est permis, et même recommendé, de s’écarter de la traduction littérale : (a) «p∧q »
(b) «p→q»
(c) «(p→q)∧(r→q)» (d) «p∨q »
(e) «(p∧q)↔r» (f) «¬p→ ¬q» (g) «(p∧q)∨r» (h) «p→(q∨r)»
(i) «¬¬p»
(j) «(¬p→q)∧(p→r)»
3. (2 points) Formulez, en français, les conversion des implications suivantes (a conversion de
«p→q» est « ¬q→ ¬p») :
(a) « Si tu ne finis pas ton assiette, tu n’auras pas de dessert. » (b) « Si tu finis ton assiette, tu auras un bonbon. »
(c) « Si tu étudies la logique, tu seras heureux et sage. » (d) « Si 2+2=5, alors les poules ont des dents. »
(e) « S’il gagne son paris, je mange mon chapeau. »
(f) « S’il n’est pas revenu après trois jours, j’alerte les secours. »
(g) « Si tu es logicien dans l’âme, cet exercice n’est pas difficile pour toi. » 4. (2 points) Déterminez lesquelles des phrases données ont la même table de vérité.
Solution : Un point par paire.
(a) Les tables de vérité pour «(p∧ ¬q)∧r» et pour «p∧(¬q∧r)» sont les suivantes : p q r ¬q p∧ ¬q (p∧ ¬q)∧r (¬q∧r) p∧(¬q∧r)
V V V F F F F F
V V F F F F F F
V F V V V V V V
V F F V V F F F
F V V F F F F F
F V F F F F F F
F F V V F F V F
F F F V F F F F
La sixième et la huitième colonne sont identiques : les deux propositions ont alors la même table de vérité.
(b) Les tables de vérité pour «¬(p∨q)» et pour «¬p∨ ¬q» sont les suivantes : p q p∨q ¬(p∨q) ¬p ¬q ¬p∨ ¬q
V V V F F F F
V F V F F V V
F V V F V F V
La quatrième et la septième colonne ne sont pas identiques : les deux propositions n’ont pas la même table de vérité.
5. (1 point) L’arbre pour «p∧(q↔r), ¬p∨(q→ ¬r) ⊢p→ ¬r» :
✓ p∧(q↔r)
✓ ¬p∨(q→ ¬r)
✓ ¬(p→ ¬r)
✓ ¬¬pr
r
✓ q→ ¬r ¬p
▽
¬q ¬r
✓q↔r ▽
q
r ¬q
¬r
▽ ▽
6. (2 points) Formulez des règles de transformation d’arbres pour la barre de Sheffer et justifiez intuitivement leur validité.
Solution: Rappelons-nous que la table de vérité de la barre de Sheffer est la suivante : p q p|q
V V F
V F V
F V V
F F V
Nous voyons que «p|q» est équivalent (logiquement) à «¬(p∧q)». L’arbre de⌜¬(ϕ∧ψ)⌝:
⌜¬(ϕ∧ψ)⌝
⌜¬ϕ⌝ ⌜¬ψ⌝
Nous avons donc comme règles de transformation pour⌜ϕ|ψ⌝ et pour⌜¬(ϕ|ψ)⌝:
⌜ϕ|ψ⌝
⌜¬ϕ⌝ ⌜¬ψ⌝
⌜¬(ϕ|ψ)⌝
ϕ ψ
7. (2 points) Montrez de quelle manière définir « ∧», « →» et «↔» en termes de «∨» et de «¬».
Solution:
ϕ∧ψ :⇐⇒ ¬(¬ϕ∨ ¬ψ) ϕ→ψ :⇐⇒ ¬(ϕ∧ ¬ψ)
ou : :⇐⇒ ¬ϕ∨ψ
ϕ↔ψ :⇐⇒ ¬(ϕ∧ ¬ψ)∧ ¬(¬ϕ∧ψ) ou : :⇐⇒ ¬(¬ϕ∨ ¬ψ)∨ ¬(ϕ∨ψ) ou : :⇐⇒ ¬(¬(¬ϕ∨ψ)∨ ¬(ϕ∨ ¬ψ)) 8. (2 points) Montrer que les phrases suivantes sont des tautologies :
(a) ((p1→q1)∧(p2→q2)∧ ¬(q1∧q2)∧(p1∨p2))→((q1→p1)∧(q2→p2))
(b) ((p1→q1)∧(p2→q2)∧(p3→q3)∧¬(q1∧q2)∧¬(q2∧q3)∧¬(q1∧q3)∧(p1∨p2∨p3))→ ((q1→p1)∧(q2→p2)∧(q3→p3))
9. (2 points) (encore de Smullyan,The Riddle of Scheherazade) Les phrases qui ne peuvent pas être assertées véridiquement par tout le monde.Solution. Voici des exemples :
(a) « Je suis une femme »– dite par une Lausannoise, la phrase est vraie, dite par un Genevois, elle est fausse. Elle ne peut pas être dite dans les deux autres cas.
(b) « Je suis soit une Lausannoise soit un Genevois »– dite par une Lausannoise, la phrase est vraie ; dite par une Genevoise, elle est fausse. Elle ne peut pas être dite par des hommes.
(c) « Je ne suis pas un Lausannois »– vraie si dite par une Lausannoise, mais faux pour le Lausannois, et vraie – et donc non-disables – pour les Genevois de tout sexe.
(d) « Je suis pas Genevois »– les Lausannois ne peuvent pas la dire parce qu’elle serait fausse (et ils ne mentent jamais), le Genevois ne peut pas la dire parce qu’elle ne serait pas fausse (et il ment toujours).
10. (2 points) Formulez les lois de distributivité et utilisez des tables de vérité pour montrer qu’elles sont correctes.
Solution:
Les lois de distributivité disent que :
• toute formule qui a la même forme que «p∨(q∧r)» est équivalente logiquement à une formule qui a la même forme que «(p∨q)∧(p∨r)».
• toute formule qui a la même forme que «p∧(q∨r)» est équivalente logiquement à une formule qui a la même forme que «(p∧q)∨(p∧r)».
Une autre manière de dire la même chose :
⌜ϕ∨(ψ∧χ)⌝ ⇐⇒ ⌜(ϕ∨ψ)∧(ϕ∨χ)⌝
⌜ ∧ ∨ ⌝ ⇐⇒ ⌜ ∧ ∨ ∧ ⌝
Les tables de vérité sont les suivantes :
p q r q∧r p∨(q∧r) p∨q p∨r (p∨q)∧(p∨r) (p∨(q∧r))↔ ((p∨q)∧(p∨r))
V V V V V V V V V
V V F F V V V V V
V F V F V V V V V
V F F F V V V V V
F V V V V V V V V
F V F F F V F F V
F F V F F F V F V
F F F F F F F F V
p q r q∨r p∧(q∨r) p∧q p∧r (p∧q)∨(p∧r) (p∧(q∨r))↔ ((p∧q)∨(p∧r))
V V V V V V V V V
V V F V V V F V V
V F V V V F V V V
V F F F F F F F V
F V V V F F F F V
F V F V F F F F V
F F V V F F F F V
F F F F F F F F V
