Deuxième examen probatoire
cours d’introduction à la logique, UniL, Philipp Blum à rendre le mercredi 17 avril 2019, avant 8h30
Nom(s) :
Points obtenus (dans 10 questions avec un total de 20 points) :
1. (3 points) La police arrête trois suspects : Maria, Sam et Jonathan. Ils font des témoignages suivantes :
1. Maria : « Jonathan est innocent, mais Sam ne l’est pas. »
2. Sam : « Si Maria n’est pas innocente, alors Jonathan ne l’est pas non plus. » 3. Jonathan : « Je suis innocent, mais un des deux autres ne l’est pas. »
Abbrégeant « Maria est innocente » par «p», « Sam est innocent » par «q» et « Jonathan est innocent » par «r»,
(a) exprimez les trois témoignages comme formules de la logique propositionnelle et en faites les tables de vérité.
(b) utilisez ces tables de vérités pour déterminer (i) si les trois témoignages sont consistants ;
(ii) si un des témoignages est une conséquence logique d’un autre ; (iii) qui a menti si les trois sont innocents ;
(iv) qui est innocent si les trois témoignages sont vrais ;
(v) qui est innocent et qui est coupable si les innocents ont dit la vérité et les coupables ont menti.
2. (2 points) Formulez en français, de la manière la plus élégante possible, les formules suivantes.
Il est permis, et même recommendé, de s’écarter de la traduction littérale : (a) «p∧q »
(b) «p→q»
(c) «(p→q)∧(r→q)» (d) «p∨q »
(e) «(p∧q)↔r» (f) «¬p→ ¬q» (g) «(p∧q)∨r» (h) «p→(q∨r)»
(i) «¬¬p»
(j) «(¬p→q)∧(p→r)»
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3. (2 points) Formulez, en français, les conversion des implications suivantes (a conversion de
«p→q» est « ¬q→ ¬p») :
(a) « Si tu ne finis pas ton assiette, tu n’auras pas de dessert. » (b) « Si tu finis ton assiette, tu auras un bonbon. »
(c) « Si tu étudies la logique, tu seras heureux et sage. » (d) « Si 2+2=5, alors les poules ont des dents. »
(e) « S’il gagne son paris, je mange mon chapeau. »
(f) « S’il n’est pas revenu après trois jours, j’alerte les secours. »
(g) « Si tu es logicien dans l’âme, cet exercice n’est pas difficile pour toi. » 4. (2 points) Déterminez lesquelles des phrases données ont la même table de vérité :
(a) «(p∧ ¬q)∧r» et «p∧(¬q∧r)» (b) «¬(p∨q)» et « ¬p∨ ¬q»
5. (1 point) Montrez à l’aide de la méthode des arbres que l’inférence suivante est logiquement valide :
p∧(q↔r)
¬p∨(q→ ¬r) p→ ¬r
6. (2 points) Formulez deux règles de transformation d’arbres pour la barre de Sheffer et justi- fiez intuitivement leur validité.
7. (2 points) Montrez de quelle manière définir « ∧», « →» et «↔» en termes de «∨» et de «¬».
8. (2 points) Formulez les lois de distributivité et utilisez des tables de vérité pour montrer qu’elles sont correctes.
9. (2 points) Montrer que les phrases suivantes sont des tautologies :
(a) ((p1→q1)∧(p2→q2)∧ ¬(q1∧q2)∧(p1∨p2))→((q1→p1)∧(q2→p2))
(b) ((p1→q1)∧(p2→q2)∧(p3→q3)∧¬(q1∧q2)∧¬(q2∧q3)∧¬(q1∧q3)∧(p1∨p2∨p3))→ ((q1→p1)∧(q2→p2)∧(q3→p3))
10. (2 points) Retournons à l’expérience de pensée de la 6ème question de la 5ème série, au sujet des menteurs genevois et des honnêtes Lausannois.
(a) Quelle assertion pourrait être faite par une femme Lausannoise ou un homme Genevois, mais ne peut pas être faite par un homme Lausannois ou une femme Genevoise ? (b) Quelle assertion pourrait être faite par toute femme, Lausannoise ou Genevoise, mais
ne peut pas être faite par n’importe quel homme, Lausannois ou Genevois ?
(c) Quelle assertion ne peut être faite que par une femme Lausannoise, mais ne peut pas être faite ni par un homme Lausannois ni par un ou une Genevois·e ?
(d) Quelle assertion ne peut être faite que par une femme Genevoise ?
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