Solutions aux exercices 13
cours d’introduction à la logique, printemps 2019, UniL, Philipp Blum
1. (6 points) Démontrez la validité des arguments à l’aide de la méthode des arbres.Solution: (a) «∀x(F x→ ¬Gx),∀x(F x∧Hx)|=∃x¬(Gx)» est prouvé par l’arbre suivant :
a✓ ∀x(F x→ ¬Gx)
a✓ ∀x(F x∧Hx)
a✓ ¬∃x¬(Gx)
✓ F a→ ¬Ga
¬F a
✓F a∧Ha
F a Ha▽
¬Ga
✓F a∧Ha
F a Ha
✓¬¬Ga Ga▽
Nous devons faire, tout au début, la présupposition que notre domaine de discours contient au moins un individu, et instancier la quantification universelle avec une constante («a») qui ne figure pas dans les prémisses.
(b) «∃x(F xb)→ ∀x(Gx),∀x(F ax)|=∀x(Hxc→Gx)» a la preuve suivante par la méthode des arbres :
✓∃x(F xb)→ ∀x(Gx)
b✓ ∀x(F ax)
d✓¬∀x(Hxc→Gx)
a✓¬∃x(F xb)
✓¬(Hdc→Gd)
¬HdcGd
F ab
¬F ab
▽
d✓∀x(Gx)
✓¬(Hdc→Gd)
¬HdcGd
Gd▽
(c) «∃x(F x),∃x(Gx)|=∃x(∃y(F y)∧Gx)» est prouvé par l’arbre suivant :
a✓∃xF x
b✓∃xGx
b✓¬∃x(∃yF y∧Gx)
F a
Gb
✓¬(∃y(F y)∧Gb)
a✓¬∃y(F y)
¬F a
▽
¬Gb
▽
(d) «∀x∃y(F xy→Gbx),∀x∀y(F yx)|=∃x(Gxx)» se prouve ainsi :
b✓ ∀x∃y(F xy→Gbx)
c✓∀x∀y(F yx)
b✓¬∃x(Gxx)
c✓∃y(F by→Gbb)
✓F bc→Gbb
¬F bc
b✓∀y(F yc)
F bc▽
Gbb
¬Gbb
▽
(e) «Ga→ ∀x(F x),∃x(F x)→Ga|=∀x(Ga↔F x)» est prouvé par l’arbre suivant :
✓ Ga→ ∀x(F x)
✓∃x(F x)→Ga
b✓¬∀x(Ga↔F x)
¬Ga
b✓¬∃x(F x)
✓¬(Ga↔F b)
¬GaF b
▽
¬Ga F b
¬F b
▽ Ga▽
b✓∀x(F x)
b✓¬∃x(F x)
✓¬(Ga↔F b)
¬GaF b
F b▽
¬Ga F b
¬F b
▽
Ga
✓¬(Ga↔F b)
¬GaF b
F b▽
¬Ga F b▽
(f) « ∀x(F x ↔ Gx),∀x(Hx ↔ Ix),∃x(Ix∧ ∀y(F y → J y))|= ∃x(Hx∧ ∀y(J y∨ ¬Gy)) » admet la preuve suivante :
b✓ ∀x(F x↔Gx)
a✓ ∀x(Hx↔Ix)
a✓ ∃x(Ix∧ ∀y(F y→J y))
b✓ ¬∃x(Hx∧ ∀y(J y∨ ¬Gy))
✓Ia∧ ∀y(F y→J y)
Ia
b✓∀y(F y→J y)
✓¬(Ha∧ ∀y(J y∨ ¬Gy))
¬Ha
✓ Ha↔Ia
Ha Ia▽
¬Ha
¬Ia
▽
b✓¬∀y(J y∨ ¬Gy)
✓¬(J b∨ ¬Gb)
¬J b
✓¬¬Gb Gb
✓F b↔Gb
F b Gb
✓F b→J b
¬F b
▽ J b
▽
¬F b
¬Gb
▽
2. (2 points) Déterminez lesquelles des formules suivantes sont logiquement équivalentes à «¬∀x(F x∨ Gx)» :
(a) «∃x(¬F x∧ ¬Gx) » est équivalentà « ¬∀x(F x∨Gx) » : il faut utiliser les dualités entre le quantificateur existentiel et universel («¬∀ ≡ ∃¬ ») et entre la conjonction et la disjonction (loi de Morgan : «¬∨
≡∧
¬»).
(b) «∃x¬(F x∧Gx)» n’est pas équivalent à «¬∀x(F x∨Gx)» :F et Gpeuvent être exclusifs (et «∃x¬(F x∧Gx)» donc vrai) et en même temps exhaustifs (et «¬∀x(F x∨ Gx)» donc faux).
(c) «¬∀ ∨ ¬∀ » n’est pas équivalentà «¬∀ ∨ » : il se peut que soit
(d) «∃x(¬F x∨ ¬Gx) » n’est pas équivalent à « ¬∀x(F x∨Gx)» : qu’il ait une chose qui n’est pas à la foisF et Gne signifie pas encore qu’il n’y ait aucune chose qui n’est pas au moins un des deux.
(e) «∀x(¬F x∨Gx)» n’est pas équivalentà «¬∀x(F x∨Gx)» : elle est vrai si rien n’est F, d’où il ne s’ensuit pas qu’au moins une chose doit êtreG.
(f) «¬∀x(F x→ ¬Gx)» n’est pas équivalentà «¬∀x(F x∨Gx)» : s’il y a quelque chose qui soit n’est pasF soit n’est pasGest tout à fait compatible avec le fait qu’il y ait une chose qui est ni l’un ni l’autre – en fait, il peut s’agir de la même chose !
(g) «¬∀x(¬F x→Gx)» est équivalentà «¬∀x(F x∨Gx)», puisque «¬F x→Gx» est équivalent à «¬¬F x∨Gx».
(h) «∃x¬(F x∨Gx)» est équivalentà «¬∀x(F x∨Gx)» par la dualité des quantificateurs.
(i) «∃x¬F x∧ ∃x¬Gx» n’est pas équivalentà «¬∀x(F x∨Gx)» parce que la vérité de la première formule ne requiert la vérité que d’un seul des conjoints de la deuxième.
(j) « ∃x¬(¬Gx→F x)» est équivalent à «¬∀x(F x∨Gx)» par la dualité des quantifi- cateurs et l’interdéfinissabilité de l’implication avec la disjonction.
3. (12 points) Prouvons les suivants par la méthode de la déduction naturelle : (a) les relations vides sont symétriques et asymétriques :
¬∃x∃y(Rxy)⊢ ∀x∀y(Rxy→Ryx)∧ ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) Nous prouvons le premier conjoint comme suit :
1 ¬∃x∃y(Rxy) =:A ⊢ ¬∃x∃y(Rxy) prémisse 2 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx) ⊢∗¬∀x∀y(Rxy→Ryx) supposition
3 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx) ⊢∗∃x¬∀y(Rxy→Ryx) conversion∃/∀de (2) 4 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx) ⊢∗∃x∃y¬(Rxy→Ryx) conversion∃/∀de (3) 5 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx) ⊢∗∃y¬(Ray→Rya) de (4) avec (SE) 6 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx) ⊢∗¬(Rab→Rba) de (5) avec (SE) 7 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx),¬Rba ⊢∗¬Rba supposition
8 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx),¬Rba ⊢∗∀x¬∃y(Rxy) conversion∃/∀de (1) 9 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx),¬Rba ⊢∗∀x∀y¬(Rxy) conversion∃/∀de (8) 10 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx),¬Rba ⊢∗∀y¬(Ray) de (9) avec (SU) 11 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx),¬Rba ⊢∗¬Rab de (10) avec (SU) 12 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx) ⊢∗¬Rba→ ¬Rab de (11) avec (PC) 13 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx), Rab ⊢∗Rab supposition
14 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx), Rab ⊢∗Rba de (12) et (13) par (MT) 15 A,¬∀x∀y(Rxy→Ryx) ⊢∗Rab→Rba de (13) et (14) par (PC) 16 ¬∃x∃y(Rxy) ⊢ ∀x∀y(Rxy→Ryx) de (2), (6) et (13) avec (RAA)
(b) toute relation asymétrique est anti-symétrique :
∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx)⊢ ∀x∀y((x̸≖y∧Rxy)→ ¬Ryx)
Nous le prouvons comme suit, simplement rajoutant la condition de non-identité à l’an- técédent de l’implication :
1 ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) =:A ⊢ ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) prémisse
2 A ⊢ ∀y(Ray→ ¬Rya) de (1) avec (SU)
3 A ⊢(Rab→ ¬Rba) de (3) avec (SU)
4 A, a̸≖b∧Rab ⊢∗a̸≖b∧Rab supposition 5 A, a̸≖b∧Rab ⊢∗Rab de (4) avec (∧E) 6 A, a̸≖b∧Rab ⊢∗¬Rba de (5) et (3) avec (MP)
7 A ⊢(a̸≖b∧Rab)→ ¬Rba de (5) et (6) avec (PC)
8 A ⊢ ∀y((a̸≖y∧Ray)→ ¬Rya) de (7) avec (GU)
9 ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) ⊢ ∀x∀y((x̸≖y∧Rxy)→ ¬Ryx) de (8) avec (GU) (c) toute relation asymétrique est irréflexive :
∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx)⊢ ∀x¬Rxx Nous le prouvons comme suit :
1 ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) ⊢ ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) prémisse
2 ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) ⊢ ∀y(Ray→ ¬Rya) de (1) avec (SU) 3 ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) ⊢Raa→ ¬Raa de (2) avec (SU) 4 ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx), Raa ⊢∗Raa supposition
5 ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx), Raa ⊢∗¬Raa de (3) et (4) avec (MP) 6 ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) ⊢ ¬Raa de (4), (4) et (5) avec (RAA) 7 ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) ⊢ ∀x¬Rxx de (6) avec (GU)
(d) toute relation irréflexive et transitive est asymétrique :
∀x¬Rxx,∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz)⊢ ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx)
Nous le prouvons comme suit, avec∀x¬Rxx=:Aet∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz) =:B:
1 A,B ⊢ ∀x¬Rxx prémisse
2 A,B ⊢ ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz) prémisse
3 A,B ⊢ ∀y∀z((Ray∧Ryz)→Raz) de (2) avec (SU) 4 A,B ⊢ ∀z((Rab∧Rbz)→Raz) de (3) avec (SU)
5 A,B ⊢(Rab∧Rba)→Raa de (3) avec (SU)
6 A,B ⊢ ¬Raa de (1) avec (SU)
7 A,B ⊢ ¬(Rab∧Rba) de (6) et (5) avec (MT)
8 A,B, Rab ⊢∗Rab supposition 9 A,B, Rab, Rba ⊢∗Rba supposition
10 A,B, Rab, Rba ⊢∗Rab∧Rba de (8) et (9) par (∧I) 11 A,B, Rab ⊢∗¬Rba de (9), (7) et (10) par (RAA)
12 A,B ⊢Rab→ ¬Rba de (8) et (11) par (PC)
13 A,B ⊢ ∀y(Ray→ ¬Rya) de (12) par (GU)
Nous le prouvons comme suit, avec∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→ ¬Rxz) =:A: 1 A ⊢ ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→ ¬Rxz) prémisse 2 A ⊢ ∀y∀z((Ray∧Ryz)→ ¬Raz) de (1) par (SU) 3 A ⊢ ∀z((Raa∧Raz)→ ¬Raz) de (2) par (SU)
4 A ⊢(Raa∧Raa)→ ¬Raa) de (3) par (SU)
5 A, Raa ⊢∗Raa supposition
6 A, Raa ⊢∗Raa∧Raa de (5) et (5) par (∧I) 7 A, Raa ⊢∗¬Raa de (5) et (4) par (MP)
8 A ⊢ ¬Raa de (5), (5) et (7) par (RAA)
9 A ⊢ ∀x¬Rxx de (8) par (GU)
(f) toute relation sérielle, transitive et symétrique est réflexive :
∀x∃yRxy,∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz),∀x∀y(Rxy→Ryx)⊢ ∀xRxx
Nous le prouvons comme suit, avec∀x∃yRxy=:A,∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz) =:B et ∀x∀y(Rxy→Ryx) =:C :
1 A,B,C ⊢ ∀x∃yRxy prémisse
2 A,B,C ⊢ ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz) prémisse 3 A,B,C ⊢ ∀x∀y(Rxy→Ryx) prémisse
4 A,B,C ⊢ ∃yRay de (1) avec (SU)
5 A,B,C, Rab ⊢∗Rab supposition 6 A,B,C, Rab ⊢∗∀y(Ray→Rya) de (3) avec (SU) 7 A,B,C, Rab ⊢∗Rab→Rba de (6) avec (SU) 8 A,B,C, Rab ⊢∗Rba de (5) et (7) avec (MP) 9 A,B,C, Rab ⊢∗Rab∧Rba de (6) et (8) avec (∧I) 10 A,B,C, Rab ⊢∗∀y∀z((Ray∧Ryz)→Raz) de (2) avec (SU) 11 A,B,C, Rab ⊢∗∀z((Rab∧Rbz)→Raz) de (10) avec (SU) 12 A,B,C, Rab ⊢∗(Rab∧Rba)→Raa de (11) avec (SU) 13 A,B,C, Rab ⊢∗Raa de (9) et (12) avec (MP) 14 A,B,C, Rab ⊢∗∀xRxx de (13) avec (GU)
15 A,B,C ⊢ ∀xRxx de (14), (5) et (4) avec (SE)
(g) si une relation est transitive, elle est irréflexive ssi elle est asymétrique ;
∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz)⊢ ∀x¬Rxx↔ ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx)
Nous prouvons la première partie comme suit, avec∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz) =:A:
1 A ⊢ ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz) prémisse
2 A,∀x¬Rxx ⊢∗∀x¬Rxx supposition
3 A,∀x¬Rxx, Rab ⊢∗Rab supposition
4 A,∀x¬Rxx, Rab, Rba ⊢∗Rba supposition
5 A,∀x¬Rxx, Rab, Rba ⊢∗Rab∧Rba de (3) et (4) par (∧I) 6 A,∀x¬Rxx, Rab, Rba ⊢∗∀y∀z((Ray∧Ryz)→Raz) de (1) par (SU) 7 A,∀x¬Rxx, Rab, Rba ⊢∗∀z((Rab∧Rbz)→Raz) de (6) par (SU) 8 A,∀x¬Rxx, Rab, Rba ⊢∗(Rab∧Rba)→Raa de (7) par (SU) 9 A,∀x¬Rxx, Rab, Rba ⊢∗Raa de (5) et (8) par (MP) 10 A,∀x¬Rxx, Rab, Rba ⊢∗¬Raa de (2) par (SU)
11 A,∀x¬Rxx, Rab ⊢∗¬Rba de (4), (9) et (10) par (RAA) 12 A,∀x¬Rxx ⊢∗Rab→ ¬Rba de (3) et (11) par (PC) 13 A,∀x¬Rxx ⊢∗∀y(Ray→ ¬Rya) de (12) par (GU) 14 A,∀x¬Rxx ⊢∗∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) de (13) par (GU) 15 A ⊢ ∀x¬Rxx→ ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) de (2) et (14) par (PC)
Nous prouvons la deuxième partie comme suit, avec le mêmeAet∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) =:
B:
1 A ⊢ ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz) prémisse 2 A,B ⊢∗∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) supposition
3 A,B,¬∀x¬Rxx ⊢∗¬∀x¬Rxx supposition
4 A,B,¬∀x¬Rxx ⊢∗∃Rxx ∃/ ∀conversion de (3)
5 A,B,¬∀x¬Rxx, Raa ⊢∗Raa supposition 6 A,B,¬∀x¬Rxx, Raa ⊢∗∀y(Ray→ ¬Rya) de (2) par(SU) 7 A,B,¬∀x¬Rxx, Raa ⊢∗Raa→ ¬Raa de (6) par(SU) 8 A,B,¬∀x¬Rxx, Raa ⊢∗¬Raa de (5) et (7) par(MP) 9 A,B, Raa ⊢∗¬¬∀x¬Rxx de (3), (5) et (8) par (RAA)
10 A,B ⊢∗¬¬∀x¬Rxx de (4), (5) et (9) par (SE)
11 A,B ⊢∗∀x¬Rxx de (11) par (DN)
12 A ⊢ ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx)→ ∀x¬Rxx de (2) et (11) par (PC) (h) aucune relation intransitive est réflexive
∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→ ¬Rxz)⊢ ¬∀xRxx
Nous le prouvons comme suit, avec∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→ ¬Rxz) =:A: 1 A ⊢ ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→ ¬Rxz) prémisse
2 A,∀xRxx ⊢∗∀xRxx supposition
3 A,∀xRxx ⊢∗Raa de (2) par (SU)
4 A,∀xRxx ⊢∗∀y∀z((Ray∧Ryz)→ ¬Raz) de (1) par (SU) 5 A,∀xRxx ⊢∗∀z((Raa∧Raz)→ ¬Raz) de (4) par (SU) 6 A,∀xRxx ⊢∗(Raa∧Raa)→ ¬Raa de (5) par (SU)
7 A,∀xRxx ⊢∗Raa∧Raa de (3) et (3) par (∧I)
8 A,∀ ⊢∗¬ de (7) et (6) par (MP)
Ceci s’ensuit de (c) et est prouvé de la même manière : si toute relation asymétrique est irréflexive, elle ne peut pas être non-réflexive, parce que pour être non-réflexive elle devrait être ni réflexive ni irréflexive.
(j) aucune relation est transitive, réflexive et asymétrique ;
∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz),∀xRxx⊢ ¬∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx)
La réflexivité exclut déjà l’asymétrie :
1 ∀xRxx ⊢ ∀xRxx prémisse
2 ∀xRxx,∀x∀y(Rxy → ¬Ryx) ⊢∗∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) supposition 3 ∀xRxx,∀x∀y(Rxy → ¬Ryx) ⊢∗Raa de (1) par (SU) 4 ∀xRxx,∀x∀y(Rxy → ¬Ryx) ⊢∗∀y(Ray→ ¬Rya) de (2) par (SU) 5 ∀xRxx,∀x∀y(Rxy → ¬Ryx) ⊢∗Raa→ ¬Raa de (4) par (SU) 6 ∀xRxx,∀x∀y(Rxy → ¬Ryx) ⊢∗¬Raa de (3) et (5) par (MP) 7 ∀xRxx ⊢ ¬∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) de (2), (3) et (6) par (RAA) (k) aucune relation est transitive, non-symétrique et irréflexive ;
∀x∀y∀z((Rxy ∧Ryz) → Rxz),¬∀x∀y(Rxy → Ryx),¬∀x∀y(Rxy → ¬Ryx) ⊢
¬∀x¬Rxx
Par (g), une relation transitive et irréflexive doit être asymétrique ; elle ne peut donc pas être non-symétrique (ni symétrique ni asymétrique).
(l) si une relation est transitive et intransitive, alors elle est asymétrique.
∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz) → Rxz),∀x∀y∀z((Rxy ∧Ryz) → ¬Rxz) ⊢ ∀x∀y(Rxy →
¬Ryx)
Nous le prouvons comme suit, avec∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz) =:Aet∀x∀y∀z((Rxy∧ Ryz)→ ¬Rxz) =:B:
1 A,B ⊢ ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz) prémisse 2 A,B ⊢ ∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→ ¬Rxz) prémisse 3 A,B,¬∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) =:C ⊢∗¬∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) supposition
4 A,B,C ⊢∗∃x¬∀y(Rxy→ ¬Ryx) conversion∀/ ∃de (3)
5 A,B,C ⊢∗∃x∃y¬(Rxy→ ¬Ryx) conversion∀/ ∃de (4)
6 A,B,C,∃y¬(Ray→ ¬Rya) =:D ⊢∗∃y¬(Ray→ ¬Rya) supposition 7 A,B,C,D,¬(Rab→ ¬Rba) =:E ⊢∗¬(Rab→ ¬Rba) supposition 8 A,B,C,D,E ⊢∗∀y∀z((Ray∧Ryz)→Raz) de (1) avec (SU) 9 A,B,C,D,E ⊢∗∀z((Rab∧Rbz)→Raz) de (8) avec (SU) 10 A,B,C,D,E ⊢∗(Rab∧Rba)→Raa de (9) avec (SU) 11 A,B,C,D,E ⊢∗∀y∀z((Ray∧Ryz)→ ¬Raz) de (2) avec (SU) 12 A,B,C,D,E ⊢∗∀z((Rab∧Rbz)→ ¬Raz) de (11) avec (SU) 13 A,B,C,D,E ⊢∗(Rab∧Rba)→ ¬Raa de (12) avec (SU) 14 A,B,C,D,E, Rab∧Rba ⊢∗Rab∧Rba supposition
15 A,B,C,D,E, Rab∧Rba ⊢∗Raa de (10) et (14) avec (MP) 16 A,B,C,D,E, Rab∧Rba ⊢∗¬Raa de (13) et (14) avec (MP)
17 A,B,C,D,E ⊢∗¬(Rab∧Rba) de (14), (15) et (16) avec (RAA)
18 A,B,C,D,E, Rab ⊢∗Rab supposition 19 A,B,C,D,E, Rab,¬¬Rba ⊢∗¬¬Rba supposition 20 A,B,C,D,E, Rab,¬¬Rba ⊢∗Rba de (19) avec (DN) 21 A,B,C,D,E, Rab,¬¬Rba ⊢∗Rab∧Rba de (18) et (20) avec (∧I) 22 A,B,C,D,E, Rab ⊢∗¬Rba de (19), (17) et (21) avec (RAA)
23 A,B,C,D,E ⊢∗Rab→ ¬Rba de (18) et (22) par (PC)
24 A,B,C,E ⊢∗¬∃y¬(Ray→ ¬Rya) de (6), (7) et (23) par (RAA)
25 A,B,C ⊢∗¬∃y¬(Ray→ ¬Rya) de (6), (7) et (24) par (SE)
26 A,B ⊢ ∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx) de (3), (6) et (24) par (RAA)
