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SENS DE L'ESPACE
deuxième année
En avant, les maths!
Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques
MINILEÇON
2 e
année
RÉSUMÉ
Dans cette minileçon, l’élève sera en mesure de composer et décomposer des figures planes en utilisant divers matériels de manipulation. Il pourra aussi montrer que l’aire d’une figure est conservée, peu importe la façon dont les parties sont organisées.
PISTES D’OBSERVATION L’élève :
• montre sa compréhension du concept de l’aire;
• compose des figures planes à l’aide d’autres figures planes et de matériel de manipulation;
• décompose des figures planes en plus petites figures planes en utilisant du matériel de manipulation.
MATÉRIEL
• annexe pour tangram à découper ou trousse de tangram;
• mosaïques géométriques;
• logiciel interactif de géométrie;
• figures planes régulières et irrégulières.
CONCEPTS MATHÉMATIQUES
Le concept mathématique nommé ci-dessous sera abordé dans cette minileçon.
Une explication de celui-ci se trouve dans la section Concepts mathématiques.
Domaine d’étude Concept mathématique
Sens de l'espace Composition et décomposition des figures planes
PARTIE 1 – EXPLORATION GUIDÉE
Déroulement
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Consulter, au besoin, la fiche Composition et décomposition des figures planes de la section Concepts mathématiques afin de revoir avec les élèves les liens entre la composition et la décomposition de figures planes en vue de les aider à réaliser l’activité.-
Présenter aux élèves l’Exemple 1, soit la composition et la décomposition d’une figure tridimensionnelle de la vie quotidienne à l’aide de figures planes et la composition et décomposition de figures planes. L’élève compare aussi l’aire de différentes formes composées des mêmes figures planes.-
Allouer aux élèves le temps requis pour effectuer le travail. À cette étape-ci, l’élève découvre diverses stratégies pour composer et décomposer des figures planes et des structures tridimensionnelles.-
Demander à quelques élèves de faire part au groupe-classe de leur solution et d’expliquer les stratégies utilisées pour composer et décomposer des figures planes et des structures tridimensionnelles. Inviter les autres élèves à poser des questions afin de vérifier leur compréhension.-
À la suite des discussions, s’assurer que les élèves établissent des liens entre l’aire des surfaces de figures planes composées et décomposées.Note : Au besoin, consulter le corrigé de la partie 1 pour obtenir des exemples de stratégies.
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Encourager les élèves à améliorer leur travail en y ajoutant les éléments manquants.-
Au besoin, présenter aux élèves l’Exemple 2, soit la composition et la décomposition de figures planes et d’une figure tridimensionnelle.CORRIGÉ
EXEMPLE 1
a) Carolina et Joël utilisent des mosaïques géométriques ainsi que le système de pointage ci-dessous afin de créer des figures.
Carolina crée une figure ayant une valeur de 26 points. Elle utilise 2 hexagones, 4 trapèzes et 1 losange. À l’aide des mêmes mosaïques géométriques, crée une figure différente. Que peux-tu déterminer au sujet de la surface de la figure de Carolina et de la tienne?
STRATÉGIE
Composer à l’aide de mosaïques géométriques
Pour construire sa figure, Carolina a utilisé 2 hexagones, 4 trapèzes et 1 losange.
Puisque j’utilise les mêmes mosaïques disposées selon les directives, l’aire des 2 figures est identique même si la forme est différente. Ma forme ressemble à un canard qui ouvre ses ailes.
b) Joël crée une figure ayant une somme de 26 points lui aussi. Quelles mosaïques géométriques a-t-il utilisées pour composer son dessin? Est-ce que la figure est symétrique? Comment le sais-tu?
STRATÉGIE
Décomposer et composer à l’aide de mosaïques géométriques
Je décide de superposer les mosaïques sur la silhouette comme stratégie.
Tout d’abord, je vois qu’en haut, la silhouette est de forme hexagonale. Je place donc un hexagone dessus. Je place ensuite 2 carrés l’un au-dessus de l’autre sous l’hexagone. De chaque côté des carrés, je place 2 losanges en faisant des rotations afin de demeurer à l’intérieur du contour de la silhouette. Finalement, j’ajoute un triangle de chaque côté de la figure aligné avec le bout du premier losange en haut.
Je trouve ensuite la somme des mosaïques géométriques pour m’assurer qu’elle représente 26 points.
Le carré est égal à 5 et je sais que le double de 5 est 10.
J’ajoute ensuite la valeur de l’hexagone qui est 6, ce qui est égal à 10 + 6 = 16.
Je dois par la suite additionner les 4 losanges qui ont une valeur de 2. Je sais que le double de 2 est 4 et le double de 4 est 8. Les losanges ont donc une valeur de 8.
J’ajoute la valeur des losanges, ce qui est égal à 16 + 8 = 24.
Je dois finalement ajouter la valeur des 2 triangles. Un triangle a une valeur de 1, ce qui veut dire que les 2 triangles ont une valeur de 2. J’ajoute 2 à 24, ce qui est égal à une valeur totale de 26, soit 24 + 2 = 26.
La forme de Joël a donc la même valeur que celle de Carolina. Elle est aussi symétrique, car avec un miroir placé sur l’axe de symétrie, les 2 côtés de la figure sont identiques.
c) De combien de losanges bleus Carolina aurait-elle besoin pour remplacer les hexagones jaunes? Est-ce que la somme de sa figure serait la même?
STRATÉGIE
Composer et décomposer à l’aide de mosaïques géométriques
J’utilise un logiciel informatique pour manipuler les mosaïques géométriques.
Tout d’abord, je superpose un losange sur l’hexagone pour savoir de combien de losanges j’ai besoin pour composer un hexagone. Je m’aperçois que j’ai besoin de 3 losanges pour faire un hexagone.
Si je voulais décomposer les 2 hexagones en losanges dans la figure de Carolina, j’aurais donc besoin de 6 losanges.
Par la suite je compare le pointage d’un hexagone avec la somme de points des losanges qui le remplacent, car ce sont les seules figures qui changent. L’hexagone vaut 6 points et 3 losanges valent 2 points chacun, ce qui est aussi égal à 6 points, soit 2 + 2 +2 = 6.
La somme de la figure est donc la même. L’aire des 2 figures reste pareille, même si les mosaïques géométriques utilisées pour les composer changent.
d) Cette forme en bleu est composée des 3 figures planes irrégulières ci-dessous.
Nomme les figures planes et agence-les afin qu’elles puissent avoir la même silhouette que la forme bleue.
STRATÉGIE
Composer à l’aide de figures planes irrégulières
La figure verte est un pentagone, la figure bleue est un quadrilatère et la figure orange est un triangle. J’ai fait des rotations des 3 figures planes à l’intérieur de la silhouette pour les agencer dans la forme bleue.
EXEMPLE 2
a) Kamal aimerait fabriquer un bracelet pour sa sœur en créant un motif sur du cuir. Dans son motif, il aimerait reproduire des losanges de différentes tailles. En utilisant des mosaïques géométriques, construis 3 losanges de tailles différentes.
STRATÉGIE
Composer à l’aide de mosaïques géométriques
Voici mes 3 losanges. Pour le premier, j’ai utilisé 2 triangles et 2 trapèzes.
Pour le deuxième, j’ai utilisé 2 triangles, 2 losanges et 4 trapèzes.
Pour le troisième, j’ai utilisé 4 losanges.
Je remarque qu’un losange peut être décomposé à l’aide de différentes combinaisons de mosaïques géométriques.
b) Quelles mosaïques géométriques pourrais-tu utiliser pour décomposer
un hexagone? Visualise les possibilités; ensuite, démontre différentes façons.
Que remarques-tu?
STRATÉGIE
Décomposer à l’aide de mosaïques géométriques L’hexagone :
Voici quelques possibilités.
En premier, je visualise des possibilités en faisant des rotations et en jumelant différentes mosaïques mentalement. Ensuite, j’utilise un logiciel informatique pour décomposer l’hexagone à l’aide de trapèzes, de triangles et de losanges.
Voici quelques décompositions possibles :
Je remarque que l’aire de l’hexagone jaune et l’aire de ses décompositions sont les mêmes puisqu’elles couvrent la même surface.
c) Le casse-tête du tangram a été inventé en Chine il y a environ 200 ans. Compose la forme d’un animal en utilisant les 7 pièces de tangram. Explique le lien entre la surface de ton animal et la surface des pièces de tangram qui le composent.
STRATÉGIE
Composer à l’aide de tangrams
J’ai composé un oiseau à l’aide des 7 pièces de tangram, soit 2 grands triangles, 2 petits triangles, 1 triangle moyen, 1 carré et 1 parallélogramme.
Chaque pièce de tangram utilisée a une aire distincte. Lorsque je les assemble pour créer une autre forme, je remarque que l’aire de cette nouvelle forme est la même que la combinaison des aires de tous les tangrams.
PARTIE 2 – PRATIQUE AUTONOME
Déroulement
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Au besoin, demander aux élèves de faire quelques exercices de la section À ton tour!. Ces exercices peuvent servir de billet de sortie ou autre.-
Recueillir les preuves d’apprentissage des élèves et les interpréter pour déterminer leurs points forts et cibler les prochaines étapes en vue de les aider à s’améliorer.Note : Consulter le corrigé de la partie 2, s’il y a lieu.
CORRIGÉ
1. En utilisant les mosaïques géométriques, décompose le triangle de 2 différentes façons. Que remarques-tu?
Le premier triangle est composé de 3 triangles et de 1 hexagone.
Le deuxième triangle est composé de 3 losanges et de 3 triangles.
Même si les triangles sont composés de différentes figures planes, l’aire est la même, car la grandeur de la surface est identique.
2. À l’aide de pièces de tangrams, construis le plus de carrés différents possible.
1.
4.
7.
2.
5.
3.
6.
8.
3. Décompose ce triangle en utilisant toutes les pièces d’un tangram.
Je prends les 7 pièces d’un tangram et je les assemble, en faisant des rotations, jusqu’à ce que j’obtienne un triangle identique au modèle.
Je remarque qu’un triangle peut être décomposé en plusieurs figures planes
4. Décompose la forme sur le géoplan avec des figures planes et nomme-les.
Que remarques-tu au sujet de la surface de la forme et de sa décomposition?
J’ai décomposé la forme avec les figures planes suivantes : 1. triangle
2. carré
3. quadrilatère 4. heptagone 5. trapèze
Je remarque que l’aire des 2 formes est identique, même si la deuxième forme est décomposée, car la surface utilisée est la même.
ANNEXE DES TANGRAMS
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2 e
année
SENS DE L'ESPACE
En avant, les maths!
Une approche renouvelée pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques
MINILEÇON
Version de l’élève
deuxième année
PARTIE 1 – EXPLORATION GUIDÉE
EXEMPLE 1
a) Carolina et Joël utilisent des mosaïques géométriques ainsi que le système de pointage ci-dessous afin de créer des figures.
Carolina crée une figure ayant une valeur de 26 points. Elle utilise 2 hexagones, 4 trapèzes et 1 losange. À l’aide des mêmes mosaïques géométriques, crée une figure différente. Que peux-tu déterminer au sujet de la surface de la figure de Carolina et de la tienne?
b) Joël crée une figure ayant une somme de 26 points lui aussi. Quelles mosaïques géométriques a-t-il utilisées pour composer son dessin? Est-ce que la figure est symétrique? Comment le sais-tu?
c) De combien de losanges bleus Carolina aurait-elle besoin pour remplacer les hexagones jaunes? Est-ce que la somme de sa figure serait la même?
d) Cette forme en bleu est composée des 3 figures planes irrégulières ci-dessous.
Nomme les figures planes et agence-les afin qu’elles puissent avoir la même silhouette que la forme bleue.
TA STRATÉGIE
EXEMPLE 2
a) Kamal aimerait fabriquer un bracelet pour sa sœur en créant un motif sur du cuir. Dans son motif, il aimerait reproduire des losanges de différentes tailles. En utilisant des mosaïques géométriques, construis 3 losanges de tailles différentes.
b) Quelles mosaïques géométriques pourrais-tu utiliser pour décomposer
un hexagone? Visualise les possibilités; ensuite, démontre différentes façons.
Que remarques-tu?
c) Le casse-tête du tangram a été inventé en Chine il y a environ 200 ans. Compose la forme d’un animal en utilisant les 7 pièces de tangram. Explique le lien entre la surface de ton animal et la surface des pièces de tangram qui le composent.
TA STRATÉGIE
PARTIE 2 – PRATIQUE AUTONOME
À ton tour!
1. En utilisant les mosaïques géométriques, décompose le triangle de 2 différentes façons. Que remarques-tu?
TA STRATÉGIE
2. À l’aide de pièces de tangrams, construis le plus de carrés différents possible.
TA STRATÉGIE
3. Décompose ce triangle en utilisant toutes les pièces d’un tangram.
TA STRATÉGIE
4. Décompose la forme sur le géoplan avec des figures planes et nomme-les.
Que remarques-tu au sujet de la surface de la forme et de sa décomposition?
TA STRATÉGIE
