Chapitre 4 : Fonction polynôme de degré 2

Chapitre 4 :

Fonction polynôme de degré 2

I. Fonction polynôme de degré 2

Définition :

On appelle fonction polynôme de degré 2, toute fonction f définie sur R par une expression de la forme : f(x)ax² bxc

où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec ^a0. Remarque :

Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme".

Exemples et contre-exemples : - f(x)3x² 7x3, - g(x) 1

2x²5x5

3, - h(x)42x² - _k(x)(x4)(52x) sont des fonctions polynômes de degré 2.

- _m(x)5x3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine).

- _n(x)5x⁴3x³6x8 est une fonction polynôme de degré 4.

Méthode : Déterminer l’expression d’une fonction polynôme de degré 2

Dans un repère, la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2

f

Déterminer une expression de la fonction

f.

L’écriture de la fonction correspondante est de la forme :

f x ( )  ax

 bx  c

On sait que les points O(0 ; 2), A(1 ; 5) et C( 4 ; 2) appartiennent à la courbe représentative donc pour trouver

a

b

c

soit :

Donc

donc

donc

donc

et donc

D’où

Remarque : On pourra tracer la courbe à l’aide d’une calculatrice graphique pour vérifier.

II. Variations et extremum

Propriétés :

Soit

f

f x ( )  ax

 bx  c

- Si a est positif, f est d’abord décroissante, puis croissante , f admet donc un minimum.

- Si a est négatif, f est d’abord croissante, puis décroissante, f admet donc un maximum.

a > 0 a < 0

La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.

Définition :

Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est appelé le sommet de la parabole.

Propriété :

Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que

f x ( )  ax

 bx  c

2 b

 a

Méthode : Etablir les variations d’une fonction polynôme de degré 2 Soit la fonction

f

f x ( )    x

4 x

Calculer les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction

f.

Ce sommet représente-t-il un maximum ou un minimum pour

f

Construire le tableau de variations de

f

L’abscisse du sommet S de la parabole est égale à :

 

 

  Son ordonnée est égale à :

    2

4 2 4

D’où : S(2 ; 4)

4 est un maximum pour la fonction

f.

En effet, le coefficient devant x² est négatif, f est d’abord croissante,

puis décroissante.

Tableau de variations :

III. Résolution d'une équation du second degré

Définition :

Une équation du second degré est une équation de la forme ax² bxc0 où a, b et c sont des réels avec a0.

Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax²bxc. Exemple : l'équation 3x²6x20 est une équation du second degré.

Définition :

On appelle discriminant du trinôme ax²bxc, le nombre réel, noté , égal à b²4ac. Exemple : Pour l'équation 3x²6x20 on a  = b² – 4ac = (-6)² – 4 x 3 x (-2) =60.

Propriété :

Soit  le discriminant du trinôme ax² bxc.

- Si  < 0 : L'équation ax²bxc0 n'a pas de solution réelle.

- Si  = 0 : L'équation ax²bxc0 a une unique solution : x₀   b 2a. - Si  > 0 : L'équation ax²bxc0 a deux solutions distinctes :

x₁ b 

2a et x₂  b 

2a .

Théorème et définition :

Soit f, une fonction polynôme du second degré. f peut s'écrire sous trois formes : 1) la forme développée : f (x) = ax²+bx+c ;

2) la forme factorisée : f (x) = a(x – x1 )( x – x2) ; avec x1 et x2 ses 2 racines éventuelles, 3) la forme canonique : f (x) = a( x – α)²+β ; où α =

2 b a

 et β = f(α )

Méthode : Résoudre une équation du second degré Résoudre les équations suivantes :

a) 2x² x60 b) 2x²3x9

8 0 c) _x²3x100 a) Calculons le discriminant de l'équation 2x²x60 :

a = 2, b = -1 et c = -6 donc  = b² – 4ac = (-1)² – 4 x 2 x (-6) = 49.

Comme  > 0, l'équation possède deux solutions distinctes :

x₁ b 

2a   1

 

22  3

2 x₂  b 

2a   1

 

22 2 Les solutions de l’équation 2x²x60 sont 3

2 et 2 b) Calculons le discriminant de l'équation 2x²3x9

80 : a = 2, b = -3 et c = 9

8 donc  = b² – 4ac = (-3)² – 4 x 2 x 9 8 = 0.

Comme  = 0, l'équation possède une unique solution : x₀   b

2a   3 22 3

4

c) Calculons le discriminant de l'équation _x²3x100:  = b² – 4ac = 3² – 4 x 1 x 10 = -31.

Comme  < 0, l'équation ne possède pas de solution réelle.

IV. Signe d'un trinôme

Propriété :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par f x( )ax²bx c . - Si  < 0 :

x  

f(x) Signe de a

- Si  = 0 :

- Si  > 0 :

x  ^{x1 x2} 

f(x) Signe de a O Signe de –a O Signe de a x  ^x0 

f(x) Signe de a O Signe de a

a > 0 a < 0

a > 0 a < 0

a > 0 a < 0

Méthode : Résoudre une inéquation du second degré Résoudre les équations suivantes :

a) b) c) a) Calculons le discriminant du polynôme :

a = 2, b = -1 et c = -6 donc  = b² – 4ac = (-1)² – 4 x 2 x (-6) = 49.

Comme  > 0, le polynôme possède deux racines distinctes :

x₁ b 

2a   1

 

22  3

2 x₂  b 

2a   1

 

22 2 Comme on en déduit son tableau de signe :

x 2 + O - O + Les solutions de sont donc :

b) Transformons l’inéquation afin de comparer une expression avec 0 :

Calculons le discriminant du polynôme :

a = -1, b = -5 et c = -4 donc  = b² – 4ac = Comme  > 0, le polynôme possède deux racines distinctes :

Comme on en déduit son tableau de signe :

x O O

Les solutions de sont donc : c) Transformons l’inéquation afin de comparer une expression avec 0 :

Calculons le discriminant du polynôme :

a = 8, b = -6 et c = 10 donc  = b² – 4ac = Comme  < 0, le polynôme ne possède pas de racine réelle.

Comme , on en déduit que le polynôme est strictement positif sur R . Les solutions de sont donc :

 

 