L1 Sciences et Techniques – SV – 2017 Mathématiques MB11

Mathématiques MB11

Thierry Champion

Ces notes de cours sont en partie reprises de celles

proposées par G loria Faccanoni pour le module

M11.

1 Éléments de logique

1.1 Notions de logique

Définition 1. Une assertion est un énoncé auquel on peut attribuer sans ambiguité une valeur de vérité : soit “Vrai” (noté V), soit “Faux” (noté F).

Exemple 1. • “1+1=2” est une assertion, sa valeur de vérité est Vrai.

• “1+1=7” est une assertion, sa valeur de vérité est Faux.

• “cet énoncé est faux” n’est pas une assertion.

Remarque 1. Le fait qu’une assertion ne puisse pas avoir une autre valeur que V ou F est en général désigné comme le “tiers exclu”.

Définition 2. Une proposition est un énoncé contenant une (ou plusieurs) variable(s) appartenant à un (ou des) ensemble(s) qui a la propriété que lorsqu’on remplace chacune des variables par un élément de l’ensemble correspondant cet énoncé devient une assertion, c’est- à-dire qu’on peut lui attribuer la valeur vrai ou faux.

Notation 1. On note en général P (x) une proposition dont la variable est x : on rappelle ainsi que la valeur de vérité de P dépend de la valeur de x. Lorsque P (x) est vraie on dit que P (x) est vérifiée, ou bien que x vérifie P .

Exemple 2. Pour en entier n, les énoncés P (n) =”n + 1 = 2”, Q(n) =”n est un multiple de 2” et R(n, k) =”n + k = 3”sont des propositions.

Remarque 2. La valeur de vérité d’une proposition dépend de sa (ses) variable(s) : elle peut donc être vraie ou fausse selon les valeurs de celle(s)-ci.

1.2 Connecteurs logiques

Les connecteurs logiques usuels sont : non, et, ou, ⇒ et ⇔. Ils permettent de créer, à partir d’une (ou deux) proposition(s), un nouvelle proposition dont la valeur de vérité dépend des valeurs de vérité de la (ou des) propostion(s) la constituant.

Définition 3. La négation de la proposition P est la proposition notée non(P ) qui est vraie

lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.

Notation 2. La proposition non(P ) est aussi notée ¬P .

On représente les valeurs de vérités de non(P ) en fonction de celles de P dans une table de vérité, qui est un tableau de la forme suivante :

P non(P )

V F

F V

Exemple 3. Pour P = “k est un multiple de 2”, la négation est non(P ) =”k n’est pas un multiple de 2”. Qu’en est-il pour la proposition "n = 2" et la proposition "il y a de la pomme dans ce mélange" ?

Remarque 3. A noter que non(non(P )) a la même valeur de vérité que P .

Définition 4. La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée “P et Q”

qui est vraie lorsque les deux propositions P et Q sont vraies simultanément, et qui est fausse dans tous les autres cas.

Notation 3. La proposition P et Q est aussi notée P ∧ Q.

La table de vérité de la conjonction est :

P Q P et Q

V V V

V F F

F V F

F F F

Exemple 4. Si on considère la proposition P = “a = b” et la proposition Q = “b = c”, alors la proposition “P et Q” est “a = b = c”.

Exemple 5. Si on considère la proposition P = “k est un multiple de 2” et la proposition Q =

“k est un multiple de 3”, alors la proposition “P et Q” est “k est un multiple de 6”.

Définition 5. La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition notée “P ou Q”

qui est vraie si au moins une des deux propositions P et Q est vraie, et qui est fausse quand les deux propositions P et Q sont fausses simultanément.

Notation 4. La proposition “P ou Q” est aussi notée P ∨ Q.

La table de vérité de la disjonction est :

P Q P ou Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Remarque 4. Dans le langage courant, la disjonction “ou” est en général exclusive : l’expression

“fromage ou dessert” signifie qu’on a droit soit à l’un, soit à l’autre, mais pas aux deux en même temps. Le connecteur “ou” logique est pour sa part inclusif : dans l’expression “je me tais ou je vais au tableau”, on peut se taire et aller au tableau...

Remarque 5. Si on veut exprimer une disjonction exclusive “soit P soit Q” (donc l’un ou l’autre, pas les deux en même temps), on peut utiliser la proposition : “(P et non(Q)) ou (non(P ) et Q)”.

Exemple 6. On reprend l’exemple 5 : quelle est la valeur de vérité de “(P ou Q)(8)” (qui signifie

“P (8) ou Q(8)”), “(P ou Q)(9)”, “(P ou Q)(10)”, “(P ou Q)(11)”, “(P ou Q)(12)” ?

Définition 6. L’implication de la proposition P vers la proposition Q est la proposition notée “P ⇒ Q” qui est fausse lorsque P est vraie et Q est fausse, et qui est vraie dans tous les autres cas.

Notation 5. La proposition “P ⇒ Q” se lit “P implique Q”, “si P alors Q”, “P entraîne Q”, “P est une condition suffisante pour Q”, “Q est une condition nécessaire de P ”.

La table de vérité de l’implication est :

P Q P ⇒ Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Remarque 6. L’implication “Q ⇒ P ” de la proposition Q vers la proposition P est appelée implication réciproque de l’implication “P ⇒ Q” (qu’on appelle “implication directe” dans ce cas).

Remarque 7. Lorsque l’implication “P ⇒ Q” est vraie et que P est vraie, on peut en déduire que Q est vraie : ce fait est à la base de nombreux syllogismes. Par contre lorsque l’implication

“P ⇒ Q” est vraie et que Q est vraie on ne peut rien en déduire sur la vérité de P . Par exemple, la proposition “(1=0) ⇒ (0=0)” est vraie et 0 = 0 est vraie mais 1 = 0 est fausse.

Exemple 7. Le postulat de Descartes, “je pense donc je suis”, peut se réécrire “je pense ⇒ je suis”.

Définition 7. L’équivalence des deux propositions P et Q est la propostion notée P ⇔ Q qui est vraie quand les deux propositions P et Q sont simultanément vraies ou simultanément fausses, et qui est fausse dans les autres cas.

Remarque 8. La notation P ⇔ Q se lit “P et Q sont équivalentes”, “P équivaut à Q”, “P si

et seulement si Q” ou encore “P est une condition nécessaire et suffisante pour Q”.

La table de vérité de l’équivalence est :

P Q P ⇔ Q

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemple 8. La proposition “(1=1) ⇔ (0=0)” est vraie, la proposition “(1=0) ⇔ (2=0)” est vraie, par contre la proposition “(1=0) ⇔ (0=0)” est fausse.

Exemple 9. Illustration de l’emploi de l’équivalence de deux propositions pour la résolution du sytème suivant par la méthode du pivot de Gaus :



 

 

x − y − z = 3 2x + 3y + 2z = 1 x + 2y + z = 0

Cette résolution se fait en écrivant des systèmes équivalents, obtenus par transformation selon la méthode du pivot de Gauss : à chaque étape on choisit une ligne parmi celles non encore utilisées, on choisit un pivot dans cette ligne, qu’on élimine des autres lignes non encore utilisées (par substitution ou addition de lignes) et on recommence jusqu’à obtenir un système triangulaire.

On résoud alors le système triangulaire et on vérifie qu’on a vraiment trouvé une solution en revenant au système initial.

1.3 Equivalence logique

Définition 8. Deux propositions P et Q sont logiquement équivalentes si P est vraie lorsque Q est vraie, et si P est fausse lorsque Q est fausse. Cette relation est notée P ≡ Q.

1.1. Propriété– Caractérisation de l’équivalence logique.

Deux propositions P et Q sont logiquement équivalentes si et seulement si elles ont la même table de vérité.

Remarque 9. L’équivalence logique de deux propositions P et Q est une relation entre ces

deux propositions : cela ne forme pas une nouvelle proposition (comme l’équivalence vue plus

haut).

1.2. Propriété– Equivalences logiques usuelles.

Soit trois propositions P , Q et R, alors les propositions suivantes son logiquement équivalentes :

a) Double négation : non(non(P )) ≡ P b) non(P et Q) ≡ non(P ) ou non(Q)

c) non(P ou Q) ≡ non(P ) et non(Q) d) P et (Q ou R) ≡ (P et Q) ou (P et R)

e) P ou (Q et R) ≡ (P ou Q) et (P ou R) f) L’équivalence est une double implication :

P ⇔ Q ≡ (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P ) g) Autre définition de l’implication :

P ⇒ Q ≡ non(P ) ou Q h) Contraposée :

P ⇒ Q ≡ non(Q) ⇒ non(P ) i) non(P ⇒ Q) ≡ P et non(Q).

Exemple 10. On traite les exemples suivants : “non(k est un multiple de 2 et k est un multiple de 3)”, “non(fromage et dessert)”, “non(je me tais ou je vais au tableau)”. Contraposée et négation des implications : “si je me suis rasé le matin alors j’ai l’air réveillé”, “si on veut (alors) on peut”, “(k

est impair) ⇒ (k est impair)”.

Remarque 10. La contraposée (point h) ci-dessus) est donc une réécriture de l’implication : elle permet parfois de simplifier l’énoncé, par exemple : la contraposée de “(k

est impair) ⇒ (k est impair)” est “(k est pair) ⇒ (k

est pair)”. Elle exprime aussi le fait suivant : dire que “P est une condition suffisante pour Q” (c’est-à-dire P ⇒ Q) est logiquement équivalent à dire que “non(P ) est une condition nécessaire pour non(Q)” (c’est-à-dire non(Q) ⇒ non(P )).

1.4 Quantificateurs logiques

Définition 9. Soit P (x) une proposition dépendant de la variable x. Le quantificateur

universel, noté ∀, permet de former la proposition “∀x ∈ X, P (x)” qui est vraie lorsque P (x)

est vraie pour tous les éléments x de X, et qui est fausse si P (x) est fausse pour au moins un

élément x de X.

Remarque 11. “∀x ∈ X, P (x)” se lit “pour tout x dans X la proposition P (x) est vérifiée”, ou “tout élément x de X vérifie P ” ou “quel que soit x dans X la proposition P (x) est vérifiée”.

Définition 10. Soit P (x) une proposition dépendant de la variable x. Le quantificateur existentiel, noté ∃, permet de former la proposition “∃x ∈ X, P (x)” qui est vraie lorsque P (x) est vraie pour au moins un élément x de X, et qui est fausse si P (x) est fausse pour tous les éléments de X.

Remarque 12. “∃x ∈ X, P (x)” se lit “il existe x dans X tel que la proposition P (x) est vérifiée”, ou “il existe x dans X qui vérifie P ”.

Exemple 11. On considère la proposition P (x) = ”x ≥ 0”. Alors la proposition “∀x ∈ R , x ≥ 0” est fausse et la proposition “∃x ∈ R , x ≥ 0” est vraie.

1.3. Propriété– Négation des quantificateurs.

Soit une proposition P , alors on a les équivalences logiques : non(∀x ∈ X, P (x)) ≡ ∃x ∈ X, non(P (x)), non(∃x ∈ X, P (x)) ≡ ∀x ∈ X, non(P (x)).

Exemple 12. La proposition “∀x ∈ R , x ≥ 0” est fausse et sa négation “∃x ∈ R , x < 0” est vraie.

Exemple 13. La proposition “∀x ≥ 0, x ≥ 1” est fausse et sa négation “∃x ≥ 0, x < 1” est vraie.

Exemple 14. La négation de “toutes les pommes du panier sont vertes” est “il y a une pomme dans le panier qui n’est pas verte” : la négation de “Tous (. . . )” n’est pas “Aucun (. . . )” mais plutôt “Il existe au moins un pour lequel on n’a pas (. . .)”.

Exercice 1 (examen deuxième session 2013). On considère la proposition : “si tous les insectes ont six pattes alors les araignées ne sont pas des insectes”. Écrire la contraposée et la négation de cette proposition.

Remarque 13. Par convention, la proposition “∀x ∈ ∅, P (x)” est toujours vraie (il n’ y a

rien à vérifier puisque l’ensemble vide n’a pas d’éléments) et la proposition “∃x ∈ ∅, P (x)” est

toujours fausse (il n’existe aucun élément dans l’ensemble vide)

1.4. Propriété– Utilisation des quantificateurs.

Soit une proposition P (x, y ) dépendant de deux variables, alors on a les équivalences logiques :

∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, P (x, y) ≡ ∀y ∈ Y, ∀x ∈ X, P (x, y)

∃x ∈ X, ∃y ∈ Y, P (x, y) ≡ ∃y ∈ Y, ∃x ∈ X, P (x, y)

Remarque 14. Par contre, la proposition “∀x ∈ X, ∃y ∈ Y, P (x, y)” signifie que pour tout x il existe une valeur y (qui dépend a priori de x) telle que P (x, y) est vérifiée, alors que

“∃y ∈ Y, ∀x ∈ X, P (x, y)” signifie qu’il existe une valeur de y telle que P (x, y) est vérifiée pour toutes les valeurs de x dans X.

Exemple 15. Rappel sur les ensembles N , Z , Q et R . On considère les deux propositions

“∀x ∈ Z , ∃y ∈ Z , y = x + 1” et “∃y ∈ Z , ∀x ∈ Z , y = x + 1”. Que dire par ailleurs de la proposition “∀x ∈ N , ∃y ∈ N , y = x + 1” ?

1.5 Techniques de démonstration

1.5.1 Preuve directe d’une implication.

Soit P et Q deux propositions données. Démontrer l’implication “P ⇒ Q” consiste à vérifier / démontrer que cette implication est vraie. La preuve directe de l’implication P ⇒ Q consiste à supposer que P est vraie et à démontrer (par un raisonnement déductif) que Q est vraie : dans ce cas cela montre que l’implication P ⇒ Q est vraie (rappelons que quand P est fausse cette implication est de toute manière vraie).

Exemple 16. On démontre par preuve directe que pour tout entier naturel k ∈ N l’implication suivante est vérifiée :

k est impair ⇒ k

est impair

1.5.2 Preuve par contraposée d’une implication.

Soit P et Q deux propositions données. Démontrer l’implication “P ⇒ Q” par la contra- posée (ou par contraposition) consiste à démontrer que sa contraposée non(Q) ⇒ non(P ) est vraie (pour cela, on emploie la preuve directe). Rappellons qu’une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes, donc elle sont vraies (ou fausses) simulanément : en ce sens il revient au même de démontrer l’une ou l’autre.

Exemple 17. On démontre par la contraposée que pour tout entier naturel k ∈ N l’implication suivante est vérifiée :

k

est pair ⇒ k est pair

1.5.3 Preuve par l’absurde.

Soit P une proposition. La démonstration par l’absurde de P consiste à supposer que P est fausse et à en déduire une absurdité, une contradiction.

Exemple 18. La preuve classique de l’irrationnalité de √

2, qui remonte à Euclide, est une preuve par l’absurde.

1.5.4 Preuve par récurrence.

Soit k un entier (en général positif) et P une proposition, faire une démonstration par récurrence de la proposition

∀n ≥ k, P (n) consiste à procéder en deux étapes :

• initialisation : on vérifie P (k) (on démontre que P (k) est vraie),

• hérédité : on fixe n ≥ k et on suppose que P (n) est vraie, on démontre alors que P (n + 1) est aussi vraie.

Ces deux étapes suffisent à démontrer ∀n ≥ k, P (n).

Exemple 19. Soit a un nombre réel différent de 0 et 1, on considère la suite géométrique (x

) de raison a :

( x

fixé

∀n ≥ 0, x

= ax

alors x

= a

x

pour tout n ≥ 0.

1.6 Lien avec la théorie des ensembles

On rappelle d’abord quelques ensembles classiques :

• l’ensemble des entiers naturels est noté : N

• l’ensemble des entiers relatifs : Z

• l’ensemble des nombres rationnels : Q

• l’ensemble des nombres réels : R = −]∞, +∞[

• l’ensemble des nombres réels positifs : R

= [0, +∞[

• l’ensemble des nombres réels strictement positifs : R

= ]0, +∞[

Le vocadulaire de base de la théorie des ensembles est le suivant :

Notation 6. La proposition “x ∈ X” se lit “x est un élément de X”, “x appartient à X”

ou “x est dans X”. L’ensemble vide ∅ est l’ensemble n’ayant aucun élément.

Définition 11. Soit A et B deux ensembles.

• Inclusion : A est inclus dans B, noté A ⊂ B, si tout élément de A est aussi un élément de B.

• Egalité : A et B sont égaux, noté A = B, s’ils ont les mêmes éléments.

• Complémentaire : le complémentaire de A dans B est l’ensemble noté B \ A composé des éléments de B qui ne sont pas dans A.

• Intersection : l’intersection de A et B est l’ensemble noté A ∩ B composé des éléments qui appartiennent à la fois à A et B.

• Réunion : la réunion de A et B est l’ensemble noté A ∪ B composé des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux simultanément.

Notation 7. La notation “A ⊂ B” se lit aussi “A est une partie de B”. La notation “A ∩ B”

se lit “A inter B”, et la notation “A ∪ B” se lit “A union B”.

Notation 8. La notation “B \ A” se lit aussi “B moins A”, et est parfois notée {

(A), voire A si A ⊂ B et qu’on n’éprouve pas la nécéssité de préciser B .

Exemple 20. On considère les ensembles A = [−1, 2[ et B = [0, 3]. A-t-on A ⊂ B ou B ⊂ A ? Expliciter A ∩ B et A ∪ B, A \ B et B \ A.

On peut réécrire ces relations et opérations sur les ensembles de la manière suivante : 1.5. Propriété– Ensembles et quantificateurs.

Soit A et B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques : A ⊂ B ≡ ∀a ∈ A, a ∈ B,

A = B ≡ (A ⊂ B) et (B ⊂ A), A ⊂ B ≡ (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B ), A = B ≡ (x ∈ A) ⇔ (x ∈ B), x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) et (x / ∈ B) x ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ B) x ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ou (x ∈ B)

Remarque 15. L’interprétation en termes de quantificateurs des propositions “ A ∩B” et “ A∪

B” est à rapprocher de leur lecture en termes d’événements dans le domaine des probabilités, où “ A ∩ B” se lit “A et B ” et “ A ∪ B” se lit “A ou B”

Exemple 21. Un exemple classique d’utilisation des équivalences logiques précédentes est la démonstration des identités suivantes :

{

( A ∪ B) = {

A ∩ {

B ; {

( A ∩ B) = {

A ∪ {

B .

On peut l’appliquer par exemple pour A = [−1, 2[ , B = [0, 3] et E = R .

2 Fonctions numériques usuelles

2.1 Fonctions numériques

Définition 12 (Fonction numérique). Une fonction numérique f est un procédé qui à tout nombre réel x d’un sous-ensemble D

de R associe un unique nombre réel noté f (x). En général, ce procédé est donné sous la forme suivante :

f : D

→ R x 7→ f (x) L’ensemble D

est appelé ensemble de définition de f .

Remarque 16. • Une fonction f est donc la donnée à la fois du procédé qui permet de calculer sa valeur en un point donné mais aussi de l’ensemble de définition D

sur lequel ce procédé est défini.

• Ne pas confondre la fonction f et le nombre réel f (x).

Exemple 22. • Pour deux nombres réels a et b fixés, on peut définir la fonction affine f : x 7→ a x + b sur D

= R .

• La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x| est définie sur D

= R .

• La fonction partie entière E : x 7→ E(x) est définie sur D

= R .

• La fonction inverse f : x 7→

est définie sur D

= R

= R \ {0}.

Définition 13 (Image et antécédent). Soit f une fonction numérique définie sur l’ensemble D

. Si x est un élément de D

alors le nombre réel f (x) est appelé image de x par f . L’ensemble

f(D

) = {f (x) : x ∈ D

}

qui regroupe toutes les images par f des éléments x de D

est appelé ensemble image de f.

Soit y un nombre réel, on appelle antécédent de y par f tout réel x de D

tel que f (x) = y.

Exercice 2. Donner les ensembles image des fonctions suivantes :

• La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x| définie sur D

= R .

• La fonction partie entière E : x 7→ E(x) définie sur D

= R .

• La fonction inverse f : x 7→

définie sur D

= R

.

Remarque 17. Un réel peut n’avoir aucun antécédent, peut en avoir un seul, ou plusieurs..

voire une infinité.

Exercice 3. Donner des exemples pour chacun des 4 cas de la remarque précédente.

Définition 14 (Restriction d’une fonction). Soient f une fonction numérique définie sur D

. Soit A un sous-ensemble de D

, on appelle restriction de f à A la fonction notée f

définie sur D

= A par f

(x) = f(x) pour tout x ∈ A.

Exemple 23. Expression de la restriction de la fonction valeur absolue |·| : x 7→ |x| à l’ensemble des nombres réels négatifs R

= ] − ∞, 0].

2.2 Graphe d’une fonction numérique – définition

Définition 15 (Graphe d’une fonction). Soit f une fonction numérique définie sur un en- semble D

, on appelle graphe de f (ou courbe représentative de f) l’ensemble des points (x, f (x)) du plan dont l’abscisse x est un élément de D

et l’ordonnée est l’image f(x) de x par f. Cet ensemble est en général noté graph(f ) ou C

:

graph(f) = {(x, f(x))|x ∈ D

}.

L’équation y = f (x) est appelée équation cartésienne du graphe (ou de la courbe représenta- tive) de f.

Remarque 18. On peut facilement lire l’image d’un réel ainsi que ses antécédents à partir du graphe de la fonction. En particulier, le(s) antécédent(s) d’un réel z par f sont les abscisses des points d’intersection de la droite y = z avec le graphe de f qui a pour équation y = f (x) :

x

y y = x

y = 3

y = √ 3 y = − √

3

Exemple 24 (Puissance entière). Soit n un entier naturel non nul. La fonction “puissance n-ième” est la fonction x 7→ x

définie sur R . Tracé des graphes dans les cas n = 2, n = 3, n pair et n impair grands.

Exemple 25 (Fonction inverse). Tracé du graphe de la fonction inverse f : x 7→

définie sur

D

= R

.

2.3 Réciproque, composition des fonctions

Définition 16 (Réciproque). Soit f une fonction numérique définie sur D

.

• Soit A un sous-ensemble de D

, alors l’image directe de A par f est l’ensemble noté f(A) regroupant toutes les images f(x) des éléments x de A :

f (A) = {f (x) : x ∈ A}

• Soit B un sous-ensemble de R , alors l’image réciproque de B par f est l’ensemble noté f

(B) regroupant tous les antécédents des éléments y de B :

f

(B) = {x : f(x) ∈ B}

Exercice 4. • Donner les images directe et réciproque de l’ensemble [1, 2] par la fonction x 7→

définie sur R .

• Donner les images directe et réciproque de l’ensemble [0, 2] par la fonction x 7→ x

définie sur R .

Remarque 19. La notation f

ne définit pas une fonction numérique : mathématiquement, c’est une application de l’ensemble des parties (ou sous-ensembles) de l’ensemble R à valeurs dans l’ensemble des parties de R . Par exemple, f

({0}) est l’ensemble des antécédents du nombre 0 par f , qui peut être vide ou avoir un ou plusieurs éléments.

Définition 17 (Composée de fonctions). Soient f : D

→ R et g : D

→ R deux fonctions numériques. La fonction composée de f par g est la fonction numérique notée g ◦ f (on lit

“g rond f”) définie sur f

(D

) par g ◦ f : x 7→ g(f(x)) :

f

(D

) D

R

x f (x) g(f (x))

f g

g ◦ f

Exercice 5. Déterminer les fontions g ◦ f et f ◦ g dans les cas suivants :

• f : x 7→ x

et g : x 7→ x + 1 définies sur R .

• f : x 7→ x

et g : x 7→ 2 x définies sur R .

• f : x 7→ x

et g : x 7→ √

x définies sur R

.

Définition 18 (Injectivité, surjectivité, bijectivité). Soit f une fonction numérique définie

sur D

. On note A une partie de D

et B une partie de R .

• On dit que f est injective sur A si les images par f de deux éléments distincts x 6= x

de A sont distinctes : f (x) 6= f (x

).

On dit que f est injective si elle est injective sur son ensemble de définition D

.

• On dit que f est surjective dans B si tout élément y de B a au moins un antécédent x par f , c’est-à-dire que pour tout élément y de B il existe x tel que f (x) = y.

• On dit que f est bijective de A dans B si elle est à la fois injective sur A et surjective dans B.

2.1. Propriété – Injectivité et bijectivité.

Soit f une fonction numérique définie sur D

, A une partie de D

et B une partie de R .

La fonction f est injective sur A si et seulement si tout réel y au plus un antécédent par f dans A.

La fonction f est surjective dans B si et seulement si tout réel y de B a au moins un antécédent par f.

La fonction f est bijective de A dans B si et seulement si tout élément y de B a exactement un antécédent dans A.

Exemple 26. A partir de son graphe, on voit que la fonction x 7→ x

n’est pas injective sur R mais est injective sur R

= [0, +∞[ , elle est surjective dans R

, et donc bijective de R

dans R

. De même, la fonction x 7→ x

est bijective de R

dans R

.

Définition 19 (Fonction réciproque). Si f est bijective de D

sur son image f (D

) alors le procédé qui à tout élément y de f(D

) associe son unique antécédent x par f définit une fonction numérique qu’on note f

et qui est appelée fonction réciproque ou inverse de f .

2.2. Propriété – Fonction réciproque.

Lorsque f est bijective sur son ensemble de définition D

, le graphe de sa fonction réciproque est le symétrique de celui de f par rapport à la droite y = x.

De plus, on sait que pour tout élément x de l’ensemble de définition D

de f on a

f

◦ f(x) = f

(f (x)) = x,

et pour tout élément x de l’ensemble de définition f (D

) de f

on a f ◦ f

(x) = f (f

((x)) = x.

Exemple 27. Fonction réciproque de la fonction racine carrée x 7→ √

x définie sur R

.

Remarque 20. Le graphe de la fonction réciproque de f s’obtient en prenant le symétrique de celui de f par rapport à la droite y = x.

2.4 Logarithme Népérien et fonction exponentielle

Définition 20 (Logarithme Népérien). On appelle Logarithme Népérien, noté ln, l’unique fonction définie sur R

= ]0, +∞[ qui vaut 0 en x = 1 et dont la dérivée sur ]0, +∞[ est la fonction inverse x 7→

:

ln(1) = 0 et ln

(x) = 1

x pour tout x > 0 Le graphe de la fonction ln est :

x y

y = ln(x)

e

1

2.3. Propriété – Logarithme Népérien.

• La fonction ln est une bijection strictement croissante de R

= ]0, +∞[ dans R .

• Il existe un unique réel e tel que ln(e) = 1, et e ' 2, 72.

• Pour tous réels a > 0 et b > 0 : ln (a b) = ln(a) + ln(b), ln

a b

= ln(a) − ln(b).

• Pour tout réel a > 0 et tout entier relatif n ∈ Z : ln(a

) = n ln(a)

et en particulier

ln(a

) = ln

1 a

= − ln(a)

Exercice 6. Calculer ou simplifier les expressions suivantes : ln(e

); ln(1000); ln(24) − ln(8); ln

1 e

.

La fonction Logarithme Népérien est le logarithme le plus couramment utilisé en mathéma- tiques, en raison de l’expression simple de sa dérivée, cependant en sciences on utilise souvent le Logarithme en base 2 (principalement en informatique) et le Logarithme en base 10 (sciences physiques). Ces fonctions sont définies de la manière suivante :

Définition 21 (Logarithme en base a). Soit a 6= 1 un nombre réel strictement positif fixé.

On appelle Logarithme en base a, noté log

, la fonction définie sur R

par log

: x 7→ log

(x) = ln(x)

ln(a) .

Exemple 28. Ainsi le Logarithme en base 2 est la fonction log

: x 7→ log

(x) =

. Le

Logarithme en base 10 est la fonction log

: x 7→ log

(x) =

, elle est aussi parfois

simplement notée log.

Le Logarithme en base a a les mêmes propriétés que le Logarithme Népérien : 2.4. Propriété – Logarithme en base a.

• La fonction log

est une bijection de R

= ]0, +∞[ dans R .

• On a :

log

(1) = 0 et log

(a) = 1

• Pour tous réels c > 0 et d > 0 :

log

(c d) = log

(c) + log

(d), log

c d

= log

(c) − log

(d).

• Pour tout réel c > 0 et tout entier relatif n ∈ Z : log

(c

) = n log

(c) et en particulier

log

(c

) = log

1 c

= − ln(c)

Exemple 29. Simplifier :

a) log

(4) − log

(2) b) log

(8) − log

(0, 5) c) log

(1)+log

(1)+log

(10)

La principale raison d’employer cette fonction est la propriété suivante 2.5. Propriété – Logarithme en base a bis.

• Pour tout réel c > 0 on a

log

(a c) = log

(c) + 1

• On suppose que a > 1. Dans ce cas, pour tout réel c > 0 on a : n est la partie entière de log

(c) (c’est-à-dire n ≤ log

(c) <

n + 1) si et seulement si

a

≤ c < a

Exemple 30. Dans le cas du Logarithme en base 10, c’est-à-dire a = 10, on obtient log

(10 c) = log

(c) + 1,

et la partie entière de log

(c) est le nombre entier n tel que

10

≤ c < 10

ou autrement dit tel que c est dans l’intervalle [10

, 10

[ : cet intervalle contient tous les nombres qui s’écrivent (en écriture décimale, qui est l’écriture usuelle des nombres) avec n + 1 chiffres au-dessus de la virgule.

Exemple 31. Le pH d’une solution est donné par la formule pH = − log

([H

])

où [H

] est la concentration en ions [H

O

]. Lorsque le pH d’une solution augmente de 1 unité, cela signifie que la concentration [H

] a été divisée par 10. De plus, lorsque le pH vaut 7 (ce qui correspond au pH neutre) cela signifie que la concentration [H

] est égale à 10

(en mol · l

).

Définition 22 (Exponentielle). La fonction exponentielle, notée exp, est l’unique fonc- tion définie sur R qui vaut 1 en x = 0 et qui est égale à sa dérivée sur R :

exp(0) = 1 et exp

(x) = exp(x) pour tout réel x 2.6. Propriété – Fonction exponentielle.

• La fonction exp est la fonction réciproque de la fonction ln : c’est une bijection strictement croissante de R dans R

= ]0, +∞[ , et pour tout x, ln(exp(x)) = x et pour tout x > 0, exp(ln(x)) = x.

• En particulier exp(1) = e.

• Pour tous réels a et b :

exp(a + b) = exp(a) exp(b), exp(a − b) = exp(a)

exp(b) , exp(−a) = 1 exp(a)

• Pour tout réel a et tout entier relatif n ∈ Z : exp(n a) = exp(a)

Puisque exp est la fonction réciproque de la fonction ln, son graphe est le symétrique de

celui de ln par rapport à la droite d’équation y = x :

x

y y = exp(x)

e

1 1

Exemple 32. Calculs de exp(2x), exp(x

) et exp(2 ln(2)) (deux méthodes pour ce dernier).

Notation 9. Pour tout nombre réel a strictement positif et pour tout nombre réel b on pose a

= exp(b ln(a)).

Puisque ln(e) = 1, cela permet de donner une autre notation pour la fonction exponentielle : pour tout réel x, exp(x) = e

.

Remarque 21. Cette notation est bien compatible avec celle des fonctions puissances, au sens que pour tout réel x > 0 et pour tout entier n > 0 on a

x

= exp(n ln(x)) = e

= x × x . . . × x

| {z }

n f ois

.

Exemple 33. Calcul de x

, 2

et x

.

2.7. Propriété – Racine n-ième.

Pour tout entier n > 0, la fonction définie sur R

= [0, +∞[ par x 7→ x

=

( e

si x > 0,

0 si x = 0

est la fonction réciproque de la fonction x 7→ x

définie sur R

, autrement dit c’est la fonction racine n-ième :

x

=

√ x.

2.8. Propriété – Règles de calcul.

Pour tous réels a > 0 et b > 0 et tous réels c et d on a a

= 1,

a

= a

a

, a

= a

a

,

a b

= a

b

, (a

)

= a

.

On peut maintenant définir les fonctions puissances et exponentielle de base a.

Définition 23. Soit a un nombre réel, la fonction puissance a est définie sur R

= ]0, +∞[

par

x 7→ x

= e

.

Lorsque a > 0, on définit en général ces fonctions sur R

= [0, +∞[ en ajoutant la valeur 0 en x = 0, c’est-à-dire 0

= 0.

Les graphes de ces fonctions, selon le paramètre a, sont :

x y

a < 0 a = 0 0 < a < 1 a = 1 a > 1

1

1

Définition 24. Soit a un nombre réel strictement positif, la fonction exponentielle de base a est définie sur R par

x 7→ a

= e

.

Remarque 22. La fonction exponentielle correspond au cas a = e.

Les graphes de ces fonctions, selon le paramètre a, sont :

x

y a > 1

0 < a < 1

2.5 Tracés en échelle logarithmique et semi-logarithmique

Lorsqu’on veut représenter une fonction ou des données, on emploie généralement une échelle linéaire sur l’axe des abscisses ainsi que sur l’axe des ordonnées, c’est-à-dire que la progression entre deux graduations est constante, comme par exemple dans le tracé :

x y

0 1 2 3 4 5 6

100 200 300 400 500

y = 100 + 50 ∗ x

Par contre, lorsque les données ou la fonction à représenter ont des valeurs très disparates,

avec une grande amplitude, ce type de représentation n’est plus adaptée. On emploie alors

sur le(s) axe(s) pour le(s)quel(s) l’amplitude des valeurs est trop grande une échelle de type logarithmique, c’est à dire que chaque graduation correspond au logarithme (en général le logarithme en base 10) du nombre indiqué. Lorsqu’on utilise une échelle linéraire sur l’un des deux axes et logarithmique sur l’autre on parle de tracé en échelle semi-logarithmique, lorsqu’on utilise une échelle logarithmique sur chacun des deux axes on parle de tracé en échelle logarithmique.

Remarque 23. On rappelle quelques valeurs de log

:

0,001 0,01 0,1 1 2 3 4 8 10 100 1000 10

log

-3 -2 -1 0 0,3 0,5 0,6 0,9 1 2 3 6

Par conséquent, si on utilise une échelle logarithmique sur un axe il est gradué de la manière suivante :

0, 100 0, 01 10 1 1 0, 0, 2 20 02 2 3 0, 0, 4 40 04 4 6 0, 0, 8 80 08 8

Exemple 34. Par exemple, si on s’intéresse à la croissance d’une population de bactéries dont le nombre d’individus N (t) est régi par la loi suivante pendant les dix premières secondes de culture :

N (t) = 200 e

alors les valeurs de cette fonction vont de N (0) = 200 à N (10) ' 4, 4 × 10

en passant par

N(6) ' 80000 et si on utilise le tracé en échelle semi-logarithmique (linéaire en abscisses et

logarithmique en ordonnées) on obtient :

t y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

200

10

10

10

10

10

10

y = N (t)

Cela revient en fait à tracer le graphe de la fonction t 7→ log

(N (t)).

2.6 Graphe d’une fonction numérique – transformations

Des modifications simples de la fonction f engendrent des modifications plus ou moins compliquées du graphe de f , en voici quelques exemples.

2.9. Propriété – Graphe d’une restriction.

Le graphe de la restriction de f à A est obtenu à partir du graphe de f en ne conservant que les points du graphe de f dont l’abscisse est dans A :

x y

graph(f )

x y

graph(f

)

A

Exemple 35. Tracé du graphe de la restriction de la fonction inverse à l’ensemble R

= ]0, +∞[

des nombres réels strictement positifs.

2.10. Propriété – Translation verticale.

Soit c un nombre réel fixé et f une fonction numérique définie sur D

. Le graphe de la fonction g : x 7→ g(x) = f (x) + c, qui est définie sur D

= D

, s’obtient en déplaçant le graphe de f de c unités vers le haut dans le cas où c > 0, ou en le déplaçant de c unités vers le bas dans le cas où c < 0 :

x y

y = f(x) y = f(x) + 1

Exercice 7. Tracer du graphe de la fonction x 7→

+ 1 définie sur R

. 2.11. Propriété – Translation horizontale.

Soit c un nombre réel fixé et f une fonction numérique définie sur D

. Le graphe de la fonction g : x 7→ g(x) = f (x + c) définie sur D

= D

− c = {x − c : x ∈ D

} s’obtient en déplaçant le graphe de f de c unités vers la gauche dans le cas où c > 0, ou en le déplaçantde c unités vers la droite dans le cas où c < 0 :

x y y = f(x + 1) y = f(x)

Exercice 8. Tracer le graphe de la fonction x 7→ (x − 1)

− 2 définie sur R .

Forme canonique de a x

+ b x + c et racines.

2.12. Propriété – Dilatation ou contraction verticale.

Soit a un nombre réel fixé non nul et f une fonction numérique définie sur D

. Le graphe de la fonction g : x 7→ g(x) = a f(x) définie sur D

= D

s’obtient par contraction ou dilatation du graphe de f suivant l’axe y des ordonnées d’un facteur a lorsque a > 0. Lorsque a < 0, il s’obtient par contraction ou dilatation du graphe de f suivant l’axe y d’un facteur |a| après une symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

x y

y = f(x) y = 2f(x)

x y

y = f(x)

y = −

f (x)

Exercice 9. On rappelle que la fonction gaussienne est définie sur R par f : x 7→ e

:

x y

y = f (x)

Tracer les graphes des fonctions x 7→ 2 f (x) et x 7→ −f(x).

2.13. Propriété – Dilatation ou contraction horizontale.

Soit a un nombre réel fixé non nul et f une fonction numérique définie sur D

. Le graphe de la fonction g : x 7→ g(x) = f(a x) définie sur D

= {

: x ∈ D

} s’obtient par contraction ou dilatation du graphe de f suivant l’axe x des abscisses d’un facteur

lorsque a > 0. Lorsque a < 0, il s’obtient par contraction ou dilatation du graphe de f suivant l’axe x d’un facteur

après une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

x y

y = f(x)

y = f(2x)

x y

y = f(x) y = f

−

x

Exercice 10. Tracer le graphe de la fonction x 7→ f (2x) − 2 pour la fonction gaussienne.

Tracer le graphe de la fonction x 7→ f (−

) pour la fonction inverse (deux méthodes).

Pour certaines fonctions les transformations précédentes aboutissent au même graphe. C’est par exemple le cas des fonctions constantes sur R , dont le graphe ne change pas par translation horizontale.

On a aussi le cas des fonctions paires et impaires :

Définition 25 (Parité). Soit f une fonction numérique définie sur D

, on dit que

• f est une fonction paire si pour tout réel x de D

on a f (−x) = f (x) ;

• f est une fonction impaire si pour tout réel x de D

on a f(−x) = −f (x).

2.14. Propriété – Graphe des fonctions paires et impaires.

Une fonction est paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l’axe y des ordonnées.

Une fonction est impaire si et seulement son graphe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple 36. Lorsque l’entier n est pair la fonction x 7→ x

est paire, lorsque n est impair la fonction x 7→ x

est impaire. La fonction inverse est impaire.

2.7 Fonctions circulaires

Définition 26. Le cercle trigonométrique, ou cercle unité, est le cercle centré en l’ori-

gine (point de coordonnées (0, 0)) et de rayon 1 dans un repère orthonormé.

Définition 27. Les fonctions cosinus, notée cos, et sinus, notée sin, sont définies sur R de la manière suivante. Etant donné un nombre réel x, on construit le point M du cercle trigonométrique obtenu en parcourant le cercle trigonométrique dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) à partir du point (1, 0) sur une distance x si x ≥ 0, et dans le sens inverse sur une distance |x| si x < 0. La valeur cos(x) est alors l’abscisse de M, et sin(x) est son ordonnée.

Les graphes de ces fonctions sont :

x y

1

2

π

−2π −π 0

1

−1

y = cos(x)

y = sin(x)

Remarque 24. Grâce au théorème de Pythagore on trouve que pour tout réel x on a cos(x)

+ sin(x)

= 1

et on peut ainsi calculer les valeurs suivantes : cos

π 6

=

√ 3 2 ; sin

π 6

= 1

2 ; cos

π 4

= sin

π 4

=

√ 2 2 ; cos

π 3

= 1 2 ; sin

π 3

=

√ 3 2 ;

A noter que

correspond à 30 degrés (radians),

correspond à 45 degrés et

correspond à 60 degrés.

Remarque 25. Grâce au théorème de Thales, si le triangle ABC est rectangle en B alors on obtient :

cos BAC [ = AB

AC = côté adjacent hypoténuse sin BAC [ = BC

AC = côté opposé hypoténuse

A partir de la définition sur le cercle trigonométrique on obtient aussi le formulaire suivant.

2.15. Propriété – Formulaire trigonométrique.

Pour tous réels x et y on a les identités suivantes :

cos(π − x) = − cos(x); sin(π − x) = sin(x);

cos(π + x) = − cos(x); sin(π + x) = − sin(x);

cos

π 2 − x

= sin(x); sin

π 2 − x

= cos(x);

cos

π 2 + x

= − sin(x); sin

π 2 + x

= cos(x);

cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y);

sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y);

et en particulier :

cos(2x) = 2 cos(x)

− 1; sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).

Définition 28. La fonction tangente, notée tan, est définie pour tous les réels x dans R \ ⁿ

+ kπ : k ∈ Z

o (c’est-à-dire les réels x qui ne sont pas de la forme

+ kπ avec k entier relatif) par la formule

tan(x) = sin(x) cos(x) Le graphe de la fonction tangente est :

x y

−

−π −

0

π

y = tan(x)

Remarque 26. On déduit des formules de la remarque 25 que si le triangle ABC est rectangle en B alors :

tan BAC [ = BC

AB = côté opposé

côté adjacent

3 Suites numériques

3.1 Introduction

Définition 29. Une suite numérique est une famille de nombres réels indexée par l’en- semble des entiers naturels.

Notation 10. La suite (x

)

, qu’on peut aussi écrire (x

)

, est la suite dont le premier terme est x

, le deuxième terme est x

, et cetera...

La notation (y

)

désigne la suite (x

)

dont le terme de rang n est x

= y

.

Remarque 27. Mathématiquement, on peut considérer qu’une suite (x

)

est la fonction numérique f définie sur N qui associe à l’entier n le nombre x

, c’est-à-dire f :

(

N → R n 7→ x

.

Exemple 37. • suite constante : soit b un nombre réel fixé, la suite (x

)

= (b)

dont tous les termes sont égaux à b est désignée comme étant la suite constante égale à b. On a donc : ∀n ∈ N , x

= b.

• suite arithmétique : soit a un réel non nul et b un réel fixé, la suite (x

)

= (a n + b)

est la suite arithmétique de raison a et de premier terme b.

• suite géométrique : soit q un réel différent de 0 et de 1, et soit c un réel non nul, alors la suite (x

)

= (c q

)

est la suite géométrique de raison q et de premier terme c.

• suite harmonique : la suite harmonique est la suite (x

)

dont le terme de rang n est donné par la formule

x

= 1 + 1 2 + 1

3 + . . . + 1 n =

n

X

k=1

1 k . 3.1. Propriété– Suites arithmétiques.

Soit a un réel non nul et b un réel fixé, alors on a l’équivalence

∀n ∈ N , x

= a n + b ⇔

( x

= b,

∀n ∈ N , x

= x

+ a,

autrement dit la suite arithmétique de raison a et de premier terme b est

caractérisée par le fait que pour tout entier n le terme x

de rang n + 1

s’obtient à partir du terme x

de rang n en lui additionnant la constante

a.

Exemple 38. On suppose qu’une population microbienne est composée de 1000 individus à l’instant 0, et que chaque heure cette population augmente de 100 individus. Combien compte- t-elle d’individus au bout de 10 heures ? Au bout de 1000 heures ?

3.2. Propriété– Suites géométriques.

Soit q un réel différent de 0 et de 1, et c un réel non nul, alors on a l’équivalence

∀n ∈ N , x

= c q

⇔

( x

= c,

∀n ∈ N , x

= q x

,

autrement dit la suite géométrique de raison q et de premier terme c est caractérisée par le fait que pour tout entier n le terme x

de rang n + 1 s’obtient à partir du terme x

de rang n en le multipliant par la constante q.

Remarque 28. La raison q de la suite géométrique (x

)

= (c q

)

est donc égal au quotient

n

de deux termes consécutifs de cette suite.

Exemple 39. On suppose qu’une population microbienne est composée de 1000 individus à l’instant 0, et que chaque heure cette population augmente de 2%. Combien compte-t-elle d’individus au bout de 10 heures ? Au bout de 1000 heures ?

3.2 Limite d’une suite

Définition 30. On dit d’une suite numérique (x

)

qu’elle admet une limite dans les trois cas suivants :

• soit l un nombre réel, on dit que la suite (x

)

tend vers l si on a

∀ε > 0, ∃k ∈ N , ∀n ≥ k, |x

− l| ≤ ε,

autrement dit la suite (x

)

converge vers l si pour tout réel ε > 0 il existe un rang k à partir duquel tous les termes x

de rang n supérieur à k sont dans l’intervalle [l − ε, l + ε].

Le nombre l est alors appelé limite de la suite (x

)

. On note alors

n→+∞

lim x

= l

• on dit que la suite (x

)

tend vers +∞ si on a

∀M ∈ R , ∃k ∈ N , ∀n ≥ k, x

≥ M,

autrement dit la suite (x

)

tend vers +∞ si pour tout réel M il existe un rang k à partir duquel tous les termes x

de rang n supérieur à k sont dans l’intervalle [M, +∞[ . On note alors

n→+∞

lim x

= +∞