3.1 Introduction
Définition 29. Une suite numérique est une famille de nombres réels indexée par l’en-semble des entiers naturels.
Notation 10. La suite(xn)n∈N, qu’on peut aussi écrire(xn)n≥0, est la suite dont le premier terme est x0, le deuxième terme est x1, et cetera...
La notation (yn)n≥1 désigne la suite (xn)n≥0 dont le terme de rang n est xn=yn+1.
Remarque 27. Mathématiquement, on peut considérer qu’une suite (xn)n∈N est la fonction numériquef définie sur N qui associe à l’entiern le nombrexn, c’est-à-dire f :
(
N → R n 7→ xn .
Exemple 37. • suite constante : soit b un nombre réel fixé, la suite (xn)n∈N = (b)n∈N
dont tous les termes sont égaux à b est désignée comme étant la suite constante égale à b. On a donc : ∀n ∈N, xn =b.
• suite arithmétique : soit a un réel non nul et b un réel fixé, la suite (xn)n∈N = (a n+b)n∈N est la suite arithmétique de raison a et de premier terme b.
• suite géométrique : soit q un réel différent de 0 et de 1, et soitcun réel non nul, alors la suite (xn)n∈N = (c qn)n∈N est la suite géométrique de raison q et de premier terme c.
• suite harmonique : la suite harmonique est la suite (xn)n≥1 dont le terme de rang n est donné par la formule
xn= 1 + 1 2+ 1
3+. . .+ 1 n =
n
X
k=1
1 k. 3.1. Propriété– Suites arithmétiques.
Soit a un réel non nul et b un réel fixé, alors on a l’équivalence
∀n∈N, xn=a n+b ⇔
( x0 =b,
∀n ∈N, xn+1 =xn+a,
autrement dit la suite arithmétique de raisona et de premier terme best caractérisée par le fait que pour tout entiern le termexn+1 de rangn+ 1 s’obtient à partir du terme xnde rangn en lui additionnant la constante a.
Exemple 38. On suppose qu’une population microbienne est composée de 1000 individus à l’instant 0, et que chaque heure cette population augmente de 100 individus. Combien compte-t-elle d’individus au bout de 10 heures ? Au bout de 1000 heures ?
3.2. Propriété– Suites géométriques.
Soit q un réel différent de 0 et de 1, et c un réel non nul, alors on a l’équivalence
∀n∈N, xn=c qn ⇔
( x0 =c,
∀n∈N, xn+1 =q xn,
autrement dit la suite géométrique de raison q et de premier termecest caractérisée par le fait que pour tout entiern le termexn+1 de rangn+ 1 s’obtient à partir du termexnde rangnen le multipliant par la constante q.
Remarque 28. La raison q de la suite géométrique (xn)n∈N = (c qn)n≥0 est donc égal au quotient xxn+1
n de deux termes consécutifs de cette suite.
Exemple 39. On suppose qu’une population microbienne est composée de 1000 individus à l’instant 0, et que chaque heure cette population augmente de 2%. Combien compte-t-elle d’individus au bout de 10 heures ? Au bout de 1000 heures ?
3.2 Limite d’une suite
Définition 30. On dit d’une suite numérique (xn)n∈N qu’elle admet une limite dans les trois cas suivants :
• soit l un nombre réel, on dit que la suite (xn)n∈N tend vers l si on a
∀ε >0, ∃k∈N, ∀n≥k, |xn−l| ≤ε,
autrement dit la suite (xn)n∈N converge vers l si pour tout réel ε >0 il existe un rang k à partir duquel tous les termesxn de rangn supérieur àk sont dans l’intervalle [l−ε, l+ε].
Le nombre l est alors appelé limitede la suite (xn)n∈N. On note alors
n→+∞lim xn =l
• on dit que la suite (xn)n∈N tend vers +∞ si on a
∀M ∈R, ∃k ∈N, ∀n ≥k, xn ≥M,
autrement dit la suite (xn)n∈N tend vers +∞ si pour tout réel M il existe un rang k à partir duquel tous les termes xn de rangn supérieur à k sont dans l’intervalle [M,+∞[. On note alors
n→+∞lim xn = +∞
• on dit que la suite (xn)n∈N tend vers −∞ si on a
∀M ∈R, ∃k ∈N, ∀n ≥k, xn ≤M,
autrement dit la suite (xn)n∈N tend vers −∞ si pour tout réel M il existe un rang k à partir duquel tous les termes xn de rang n supérieur à k sont dans l’intervalle ]− ∞, M].
On note alors
n→+∞lim xn=−∞
Définition 31. Lorsque la suite (xn)n∈N n’admet pas de limite, on dit qu’elle est diver-gente.
Notation 11. Au lieu de “la suite (xn)n∈N tend vers l” on peut aussi dire “la suite (xn)n∈N
converge vers l” ou “la suite (xn)n∈N admet l pour limite”.
Au lieu de “la suite (xn)n∈N tend vers +∞” on peut aussi dire “la suite (xn)n∈N diverge vers +∞” ou “la suite (xn)n∈N admet +∞ pour limite” (idem pour −∞).
Exemple 40. On considère les suites (n1)n≥1 et (n)n∈N.
Notation 12. Par convention, on utilisera par la suite les identités suivantes :
∀l ∈R, l+ (+∞) = +∞ et l+ (−∞) =−∞; (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) =−∞
∀l > 0, l×(+∞) = +∞ et l×(−∞) = −∞; ∀l < 0, l×(+∞) =−∞ et l×(−∞) = +∞;
(+∞)×(+∞) = +∞; (−∞)×(−∞) = +∞; (+∞)×(−∞) = −∞
∀l ∈R, l
+∞ = 0 et l
−∞ = 0.
Par contre, les quantités suivantes n’ont a priori pas de sens : (+∞) + (−∞), 0×(±∞), ±∞±∞,
0 0.
3.3. Propriété – opérations sur les limites.
Soit (xn)n∈N et (yn)n∈N admettant chacune une limite (réelle, +∞ ou
−∞). Alors on obtient les égalités suivantes, à condition que la quantité de droite existe :
• lim
n→+∞(xn+yn) = lim
n→+∞xn+ lim
n→+∞yn
• lim
n→+∞(xn×yn) = lim
n→+∞xn× lim
n→+∞yn
• lim
n→+∞
xn
yn = limn→+∞xn limn→+∞yn
• siϕ:N→Nest strictement croissante alors lim
n→+∞xϕ(n) = lim
n→+∞xn
Exemple 41. On considère plusieurs combinaisons à partir des suites (n)n∈N, (2n)n∈N. 3.4. Propriété – comparaison des limites.
Soit (xn)n∈Net (yn)n∈Ndeux suites numériques pour lesquelles on a xn ≤ yn à partir d’un certain rang, ce qui signifie :
∃n0 ∈N, ∀n≥n0, xn≤yn Alors on a les propriétés suivantes :
• si chacune de ces deux suites admet une limite (réelle, +∞ou−∞) alors
n→+∞lim xn ≤ lim
n→+∞yn
• si lim
n→+∞xn= +∞alors (yn)n∈N tend vers +∞ : lim
n→+∞yn = +∞.
• si lim
n→+∞yn =−∞ alors (xn)n∈N tend vers −∞ : lim
n→+∞xn =−∞.
Remarque 29. Attention : le passage à la limite ne conserve pas l’inégalité stricte, c’est-à-dire qu’on peut avoirxn < yn à partir d’un certain rang et lim
n→+∞xn = lim
n→+∞yn. Par exemple : pour tout entier n∈N on a 0< 1
n+ 1 mais lim
n→+∞0 = lim
n→+∞
1
n+ 1 = 0.
Exemple 42. On considère la suite (xn)n≥1 de terme généralxn = 1+ 1
√2+. . .+ 1
√n =
n
X
i=1
√1 k.
Exemple 43. On considère la suite (an)n∈N pour a >1.
3.3 Suites arithmético-géométriques
Définition 32. Une suite (xn)n∈N est dite arithmético-géométrique si elle est définie par un processus itératif de la forme :
( x0 =b
pour tout n ≥0, xn+1 =q xn+a où a, b et q sont des réels fixés.
On a les cas particuliers suivants :
• Lorsque q= 1, la suite (xn)n∈N ainsi obtenue est une suite arithmétique de raison a.
• Lorsque a = 0, q 6= 0 et q 6= 1, la suite (xn)n∈N obtenue est une suite géométrique de raisonq.
Pour chacun de ces cas particuliers, on peut calculer la limite de la suite (xn)n∈N (quand elle existe) et la somme desn+ 1 premiers termes selon les règles suivantes :
3.5. Propriété – Cas des suites arithmétiques.
Soit (xn)n∈N la suite arithmétique donnée par le processus itératif
( x0 =b
3.6. Propriété – Cas des suites géométriques.
Soit (xn)n∈N la suite géométrique donnée par le processus itératif
( x0 =b
Exemple 45. Calculer la somme 1 + 1
Exemple 46. Une population microbienne augmente de 10% toutes les heures. On l’observe initialement avec 200 individus. Combien d’heures s’écouleront pour atteindre 10000 individus ?
Le cas général est le suivant :
3.7. Propriété – Cas des suites arithmético-géométriques.
Soit (xn)n∈N la suite arithmético-géométrique donnée par le processus itératif On a les limites classiques :
• Quotient de deux polynômes :
n→+∞lim autrement dit la limite du quotient de deux polynômes est celle de la limite du quotient des deux termes de plus haut degré :
n→+∞lim
• limites associées aux fonctions ln et exp :
• limites associées aux fonctions cos et sin :
n→+∞lim n sin
Définition 33. Une suite (xn)n∈N est dite croisssante à partir du rang n0 si
∀n ≥n0, xn+1 ≥xn.
Une suite (xn)n∈N est dite décroisssante à partir du rang n0 si
∀n ≥n0, xn+1 ≤xn.
Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante à partir d’un certain rang.
Exemple 47. Cas des suites arithmétiques et géométriques.
Définition 34. Soit M un nombre réel. Une suite(xn)n∈N est ditemajorée par M si tous ses termes sont inférieurs ou égaux à M :
∀n∈N, xn≤M.
La suite (xn)n∈N est dite minorée par M si tous ses termes sont supérieurs ou égaux à M :
∀n∈N, xn≥M.
La suite(xn)n∈Nest dite bornéesi elle est à la fois minorée et majorée, c’est-à-dire qu’il existe un réel A tel que
∀n ∈N, |xn| ≤A.
Exemple 48. Exemple de la suite (1 + (−1)n)n∈N.
3.8. Théorème – Limites des suites monotones.
Soit (xn)n∈N une suite croissante à partir d’un certain rang. On a alors l’alternative :
• Soit la suite (xn)n∈Nest majorée par un réelM, auquel cas la suite (xn)n∈N admet une limite finie et
n→+∞lim xn ≤ M
• Soit la suite (xn)n∈N n’est pas majorée, auquel cas la suite (xn)n∈N
tend vers +∞.
Dans le cas où la suite (xn)n∈N est décroissante à partir d’un certain rang on obtient
• Soit la suite (xn)n∈Nest minorée par un réelM, auquel cas la suite (xn)n∈N admet une limite finie et
n→+∞lim xn ≥ M
• Soit la suite (xn)n∈N n’est pas minorée, auquel cas la suite (xn)n∈N
tend vers −∞.
Exemple 49. Rappel : si n≥1, on note n! le produit les entiers de 1 àn : n! = 1×2× · · · ×n
Par convention, on pose 0! = 1. On démontre que la suite (xn)n∈N de terme généralxn=
n
X
k=1
1 k!
est convergente.
3.4.3 Théorème des gendarmes
On a le résultat d’encadrement suivant : 3.9. Théorème – dit “des gendarmes”.
Soit (xn)n∈N, (yn)n∈N et (zn)n∈N trois suites numériques pour lesquelles on a xn ≤yn≤zn à partir d’un certain rang, c’est-à-dire :
∃n0 ∈N, ∀n≥n0, xn≤yn≤zn
On suppose que les deux suites (xn)n∈N et (zn)n∈N convergent vers une limite finie l ∈R :
n→+∞lim xn= lim
n→+∞zn=l Alors la suite (yn)n∈N converge vers l : lim
n→+∞yn=l.
Exemple 50. On considère la suite (−1)n n
!
n∈N
. 3.4.4 Suites récurrentes
Définition 35. Une suite (xn)n∈N est dite récurrente si il existe une fonction numérique f : R → R telle que (xn)n∈N est définie par le processus itératif (ou relation de récurrence) suivant :
( x0 fixé
pour tout n≥0, xn+1 =f(xn).
Exemple 51. La suite arithmétique de premier terme b et de raison a est caractérisée par la relation de récurrence
( x0 = b
pour toutn ≥0, xn+1 =xn+a et c’est donc une suite récurrente associée à la fonction f :x7→x+a.
3.10. Théorème – Limite d’une suite récurrente.
Soit (xn)n∈N une suite récurrente définie par le processus xn+1 =f(xn).
On suppose que la suite (xn)n∈N tend vers une limite finie l et que f est continue au point l. Alors on a forcément que l est un point fixe de f, c’est-à-dire f(l) = l.
Remarque 30. On verra plus loin dans le cours une condition sur la dérivée de f qui assure que la suite (xn)n∈N tend vers une limite finie.
Exemple 52. La méthode de Héron pour calculer la racine carrée d’un nombre a >0 consiste à calculer les termes de la suite récurrente associée à la fonctionf(x) = 1
2
x+ a x
.
Exemple 53. On abordera les exemples de dynamique des populations suivants : si on note par pn le nombre d’individus d’une population donnée à un instant n, les modélisations classiques de l’évolution depn en fonction de n amènent à considérer les cas des suites récurrentes
( p0 = b
pour toutn ≥0, pn+1 =f(pn) associées aux fonctions :
x7→a x; x7→ a x
e+x; x7→a x(e−x); x7→ a x e+x2.
Dans l’étude des suites récurrentes, la représentation graphique de la fonction permet s’illus-trer le comportement prédit théoriquement. Si on reprend les exemples précédents, dans le cas où
f : x7→a x(1−x)
on a par exemple pour les cas a= 2,6 et a = 3,4 les représentations suivantes :
x y
y = 2,6x(1−x)
x y
y= 3,4x(1−x) On a alors les comportements suivants :
x y
y = 2,6x(1−x)
x y
y= 3,4x(1−x)