Correction
Dossier N ◦ 5 T STMG
Boîte à outils mathématiques
Suites arithmétiques
Information
Une suitearithmétiqueet une suite définie par récurrence par le procédé suivant On passe d’un terme à l’autre en ajoutant le même nombre. (Qui peut-être négatif)
u0 u1 u2 u3 · · ·
+R +R +R +R
Plus précisément :
On dit qu’une suite (un) est une suite arithmétiquesi et seulement si existe un nombre réel R tel que pour tout entier natureln, on ait : un+1=un+R .
Le nombre R est appeléraisonde la suite.
Pour bien démarrer
Intro 1 : Retrouver une formule
On considère la suite arithmétique (un)n≥0 de premier termeu0= 5 et de raison 3.
1 Compléter :
u0 = 5 ; u1= 8 ; u2= 11 ; u3= 14 ; u4= 17 ; u5= 21
2 Pour passer deu0à u5 on a ajouté 5 fois la raison.
3 Pour passer de u0 àu100on ajoute 100 fois la raison.
On a donc : u100= 5 + 3×100 = 305 4 On considère un nombre entiern.
Pour passer de u0 àun on ajoutenfois la raison.
On peut donc écrire :
u
n= 5 + 3 × n
Intro 2 : Retrouver une formule (BIS)
On considère la suite arithmétique (vn)n≥0 de premier termeu0= 120 et de raison−7.
1 Compléter :
v0 = 120 ; v1 = 113 ; v2 = 106 ; v3 = 99 ; v4= 92 ; v5= 85
2 Pour passer de v0 àv100 on ajoute 100sfois la raison.
On a donc : v100= 120 + 100×(−5) =−380
3 On considère un nombre entiern.
On peut donc écrire :
v
n= 120 + n × (7−) = 120 − 7n
1
Intro 3 : Une formule générale
Compléter la propriété générale suivante :
Propriété : Expression de u
nen fonction de n
On considère la suitearithmétique(un) de premier terme u0 et de raisonR.
Pour passer de u0 àun on ajoutenfois par la raison On a donc :
u
n= u
0+ n × R
Entraînement et apprentissage
Exercice 4 :
Dans chacun des cas suivants, (un) est une suite arithmé- tique de raisonr.
Écrire (un) en fonction de n.
1 u0= 3 etR=−3 : un= 3−3n
2 u0=−1000 etR= 250 : un =−1000 + 250n
3 u1=1
3 etR=−3 : un= 1
3 −3(n−1)
4 u4= 0 etR= 1
2 : un= 0 +1
2 ×(n−4) = n−4 2
Suites géométriques
Information
Une suite géométrique et une suite définie par récurrence par le procédé suivant
On passe d’un terme à l’autre en multipliant par le même nombre.(Qui peut-être négatif)
u0 u1 u2 u3 ·
×Q ×Q ×Q ×Q
Plus précisément :
On dit qu’une suite (un) est une suite géométrique si et seulement si existe un nombre réel Qtel que pour tout entier natureln, on ait : un+1=un×Q .
Le nombreQest appelé raisonde la suite.
2
Pour bien démarrer
Intro 5 : Retrouver une formule
On considère la suite géométrique (un)n≥0 de premier termeu0= 2 et de raison 1,5.
1 Compléter :
u0 = 2 ; u1 = 3 ; u2 = 4,5 ; u3 = 6,75 ; u4= 10,125 ; u5= 15,18750
2 Pour passer de u0 à u5 on a multiplié 5s fois par la raison.
3 Pour passer de u0 à u100 on multiplie 100 fois par la raison.
On a donc : u100= 2×1,5100 4 On considère un nombre entiern.
On peut donc écrire :
u
n= 2 × 1, 5
nIntro 6 : Retrouver une formule (BIS)
On considère la suite géométrique (vn)n≥0 de premier termeu0= 120 et de raison 0,75.
1 Compléter :
v0 = 120 ; v1 = 90 ; v2 = 67,5 ; v3 = 101,25 ; v4= 151,875 ; v5= 227,81250
2 Pour passer de v0 à v100 on multiplie 100 fois par la raison.
On a donc : v100= 120×0,75100 3 On considère un nombre entiern.
On peut donc écrire :
v
n= 120 × 0, 75
nBoîte à outils mathématiques
Cours 7 : Une formule générale
Compléter la propriété générale suivante :
Propriété : Expression de u
nen fonction de n
On considère la suite (un) géométrique de premier terme u0 et de raisonR.
Pour passer de u0 à un on multiplie nfois par la rai- son .
On a donc : un=u0×Rn
Entraînement et apprentissage
Exercice 8 :
Dans chacun des cas suivants, (un) est une suite géomé- trique de raisonQ. Exprimer (un) en fonction den.
1 (un) définie par u0 = 1
2 et sa raison Q = 3 un=1
2 ×3n
2 (un) définie par u0 = −3 et sa raison Q = 0,02 un=−3×0,02ns
3 (un) définie par u1 = −1 000 et sa raison Q = 1 10
un=−1000×
1
10 n−1
4 (un) définie par par u0 = 7 et sa raison Q = 9 un= 7×9n
3
4
