Minoration effective de la hauteur des points d'une courbe de $G_m^2$ définie sur $Q$

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Preprint submitted on 8 Sep 2005

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Minoration effective de la hauteur des points d’une courbe de G_m ² définie sur Q

Corentin Pontreau

To cite this version:

Corentin Pontreau. Minoration effective de la hauteur des points d’une courbe de

définie sur

ccsd-00008554, version 1 - 8 Sep 2005

Minoration effective de la hauteur des points d’une courbe de G ² m d´efinie sur Q .

Corentin Pontreau.

2000Mathematics Subject Classification :11G50, 14G40.

R´esum´e

We are concerned here with Lehmer’s problem in dimension 2 ; we give a lower bound for the height of a non-torsion point of G²mon a non-torsion curve defined over Q, depending on the degree of the curve only. We have first been inspired by [Am-Da3] ; we develop a new approach, inherent in the dimension two (or more precisely the codimension two), and then obtain a better result where the error’s term is improved significantly, moreover we give an explicit expression for the constant.

Minoration effective de la hauteur des points d’une courbe de G ² m d´efinie sur Q .

Corentin Pontreau.

I Introduction.

Dans tout cet article nous consid´ererons le plongement naturel de Gⁿ_m := Gⁿ_m(Q) dans Pⁿ, d´efini par (α1, . . . , αn) 7→ (1 : α1 : . . . : αn), en particulier la hauteur d’un point α sera la hauteur de Weil logarithmique du point projectif correspondant, soit, sikest un corps de nombres contenantα1, . . . , αn :

h(α) := X

v∈M_k

[kv :Qv]

[k:Q] log (max{|α0|v, . . . ,|αn|v}).

De mˆeme siV est une sous-vari´et´e deGⁿ_m, nous noterons deg(V) le degr´e de son adh´erence de Zariski dans Pⁿ. Enfin, si F est un polynˆome `a coefficients alg´ebriques, nous noteronsh(F) la hauteur du point projectif d´efini par ses coefficients.

Nous utiliserons la structure naturelle de groupe commutatif (donc deZ-module) deGⁿ_mainsi, siαetld´esignent respectivement des ´el´ements deGⁿ_met deZ, alors, pour toute vari´et´eV, nous noteronsα·V :={αβ |β∈V}et [l]V :={β^l|β∈V}.

Rappelons que l’indice d’obstruction ωQ(α) d’un point α∈Gⁿ_mn’est autre que le plus petit degr´e d’une hypersurface de Gⁿ_m d´efinie sur Q passant par α. Remarquons de plus que cette quantit´e est contrˆol´ee par le degr´e du corps de d´efinition deα; en effet un argument d’alg`ebre lin´eaire nous donne l’in´egalit´e :

ωQ(α)≤n(degQ(α))^1/n (1)

(qui est d’ailleurs une ´egalit´e sin= 1). Dans [Am-Da] les auteurs proposent une conjecture (c.f.

Conjecture 1.3¹) g´en´eralisant celle deD.H. Lehmer(c.f. [Le]) en dimension sup´erieure : Conjecture 1 Pour tout entier n ≥ 1, il existe une constante c(n) > 0 telle que, pour tout α∈Gⁿ_m dont les coordonn´ees sont multiplicativement ind´ependantes, on ait :

h(α)≥ c(n) ωQ(α).

Dans le mˆeme article, ils montrent que cette conjecture est vraie `a un facteur ¡¡log¿¿ pr`es, g´en´eralisant un th´eor`eme deE. Dobrowolski(c.f.[Do]) en dimension sup´erieure. Ils poursuivent cette ´etude dans [Am-Da3] et affinent ce r´esultat :

1Dansop. cit.l’indice d’obstructionωQ(α) est not´eδ(α).

Th´eor`eme 1 SoitV une sous-vari´et´e alg´ebrique deGⁿ_m, d´efinie sur une extension cyclotomique K de Q, intersection d’hypersurfaces deGⁿ_m d´efinies surK et de degr´e au plusω.

Alors il existe une constantec^′(n)>0 (effectivement calculable) telle que l’on ait, pour tout α∈V n’appartenant `a aucune sous-vari´et´e de torsion² de V :

h(α)≥c^′(n)

ω (log(3[K:Q]ω))^−κ(n), o`u κ(n) := 2n(n+ 1)!ⁿ−1.

Remarquons qu’un point α est `a coordonn´ees multiplicativement ind´ependantes si et seule- ment s’il n’appartient `a aucune sous-vari´et´e de torsion de Gⁿ_m, auquel cas le th´eor`eme 1 nous donne la minoration :

h(α)≥ c(n)

ωQ(α)(log(3ωQ(α)))^−κ(n) ; c’est pr´ecis´ement le r´esultat obtenu dans [Am-Da2].

Notre principal r´esultat est le suivant, analogue du th´eor`eme 1 o`u l’exposant du log (κ(2) = 143) est sensiblement am´elior´e. De plus, contrairement `a ce dernier, il est compl`etement explicite : Th´eor`eme 2 Soit V une courbe de G²_m d´efinie sur Q et Q-irr´eductible de degr´eω qui ne soit pas de torsion, et soitα∈V \(G²_m)tors, on a :

h(α)≥ 1,2·10⁻¹⁶ ω

log logω^′11

logω^′13

o`u ω^′:= max{ω,16}.

Notons qu’ici l’hypoth`ese ¡¡α∈V n’appartenant `a aucune sous-vari´et´e de torsion deV¿¿ se r´eduit `a ¡¡αnon de torsion¿¿, hypoth`ese minimale puisque les points de torsion sont pr´ecis´ement les points de hauteur nulle.

F.Amorosoet S.Davidmontrent dans [Am-Da] que siα∈Gⁿ_mest un point `a coordonn´ees multiplicativement ind´ependantes, alors il existe une constanteC(n) telle que :

(h(α1). . . h(αn))^1/n≥ C(n)^1/n

D^1/n (log 3D)^−κ(n), (2)

o`u D := [Q(α) :Q] et κ(n) est la mˆeme quantit´e que dans le th´eor`eme 1. Une observation de Bilu (voir [Bi]) m`ene `a la minoration :

(h(α1). . . h(αn))^1/n≥ C(2)^1/2

D^1/2 (log 3D)^−κ(2).

En effet, si l’on applique l’in´egalit´e (2) en dimension 2 pour (α1, α2), . . . ,(αn−1, αn) et (αn, α1), on obtient :

n

Y

i=1

h(αi)

!1/n

≥ C(2)^1/2

D^1/2 (log 3D)^−κ(2).

Le th´eor`eme 2 nous permet d’expliciter la constanteC(2) et d’am´eliorer l’exposantκ(2) :

2on appellera sous-vari´et´e de torsion une r´eunion de translat´es de sous-groupes alg´ebriques deGⁿm par des points de torsion.

Corollaire I.1 Soient α ∈ Gⁿ_m et σ une permutation de {1, . . . , n} telle que, pour tout i dans {1, . . . , n}, les coordonn´eesαi etασ(i) soient multiplicativement ind´ependantes, alors :

(h(α1). . . h(αn))^1/n≥2·10⁻²¹

D^1/2 (log 3D)⁻¹³, o`u D:= [Q(α) :Q].

D`es que l’on fixe un entier n ≥ 3, ce r´esultat est moins bon que (2) lorsque D est grand, n´eanmoins il est bien meilleur pour les petites valeurs deD(rappelons queκ(n) := 2n(n+1)!<sup>n</sup>−1), de plus il est enti`erement explicite et les conditions surα sont un peu plus faibles.

Remerciements. Je tiens `a remercier Francesco Amoroso pour l’aide et le soutien qu’il m’a apport´es tout au long de ce travail. Je voudrais ´egalement tout particuli`erement remercier Federico Pellarin pour les lectures tr`es soign´ees qu’il a pu faire sur des versions pr´eliminaires de ce travail, ainsi que les nombreux conseils et remarques qu’il a pu me donner par la suite `a ce sujet.

II Sch´ ema de la preuve

Dans le paragraphe III on d´eveloppe les outils d’une d´emonstration de transcendance (lemme de Siegel, extrapolation) et au paragraphe IV, on montre des minorations explicites pour les courbes non de torsion deG²_met des points deGm. La d´emonstration du th´eor`eme 2 `a proprement parler est l’objet du paragraphe V. La strat´egie est la suivante : par l’absurde on suppose la hauteur deαpetite, on peut alors construire un polynˆome s’annulant surV avec multiplicit´e, de degr´e et de hauteur contrˆol´es via un lemme de Siegel (proposition III.4). Ensuite on extrapole dans le paragraphe V.2 en montrant, grˆace `a la proposition III.6, que ce polynˆome s’annule sur les puissancesα<sup>pq</sup>, o`upetqparcourent des ensembles de premiersP¹ etP².

Nous reprenons au paragraphe V.3 le lemme de z´eros de [Am-Da3] (th´eor`eme 2.6) ; nous obtenons ainsi une suite d´ecroissanteY1 ⊇Y2 ⊇Y3 de sous-vari´et´es de G²_m contenant des puis- sances α^pq de α. Deux de ces vari´et´es ´etant de mˆeme dimension, on obtient une sous-vari´et´e obstructriceZ, composanteQ-irr´eductible deY3ouY2contenant une puissanceα^ℓ deαet dont on contrˆole le degr´e. Deux cas se pr´esentent alors.

Si la vari´et´e obstructrice Z est de dimension 0 (paragraphe V.3.1), alorsZ est simplement l’union des conjugu´es deα. Comme iciℓ= 1, on arrive, grˆace notamment `a l’in´egalit´e (1), `a un encadrement du type :

Card(P2)ωQ(α)²≪Card(P2) deg(Z)≪(logωQ(α))^aωQ(α)² ainsi, de par nos choix de param`etres, on arrive `a une contradiction.

Dans le cas o`u la vari´et´e obstructriceZ est de dimension 1 (paragraphe V.3.2), la puissance ℓest a priori diff´erente de 1. On peut obtenir l’encadrement :

Card(P1)ωQ(α^ℓ)≪Card(P1) deg(Z)≪(logωQ(α))^bωQ(α)

ainsi l’indice d’obstruction de α^ℓ est tr`es petit par rapport `a celui α. Ceci n’´etant pas suff- isant pour conclure, dans [Am-Da3] les auteurs utilisent un argument de descente pour arriver `a une contradiction. Ici notre d´emonstration diff`ere ; des arguments plus simples nous donnent de meilleurs r´esultats. On travaille avec la hauteur normalis´ee ; on majore celle deZ en fonction de la hauteur de notre fonction auxiliaireF, sur laquelle on a un bon contrˆole :

Card(P1)²ˆh(Z)≪h(F).

Si Z n’est pas une courbe de torsion, on arrive `a une contradiction en utilisant une minoration explicite de ˆh(Z) (proposition IV.1). Dans le cas contraire, on se ram`ene dans le lemme V.3 `a une

´etude en dimension 1, auquel cas,viala proposition IV.3, on obtient une minoration deh(α).

III R´ esultats pr´ eliminaires.

III.1 Premiers exceptionnels.

Dans ce paragrapheV d´esigne une sous-vari´et´e deGⁿ_mirr´eductible sur son corps de d´efinition.

Nous allons voir que pour tout nombre premierp sauf pour certains appartenant `a un ensemble exceptionnel Ecc(V), introduit dans [Am-Da], la vari´et´e [p]V a un bon comportement, dans un sens que nous allons pr´eciser.

D´efinition III.1 On noteW1, . . . , Wk les composantesQ-irr´eductibles de V, on pose : Ecc(V) :=

l∈Z| ∃i, j, i < j ; [l](Wi) = [l]Wj) S l∈Z| ∃i; deg([l]Wi)<deg(Wi) .

La proposition 2.4 de [Am-Da] donne des informations sur cet ensemble ; nous en rappelons quelques propri´et´es.

Proposition III.1 Nous avons

Card (Ecc(V)∩ {ppremier})≤dim(V) + 1

log 2 log deg(V) .

De plus, siΛ est un ensemble fini de nombres premiers et siV n’est pas de torsion, alors : deg [

p∈Λ

[p]V

≥Card (Λ\Ecc(V))×deg(V).

Nous utiliserons dans la suite cette proposition dans le cas o`u Λ est l’ensemble des premiers dans [N/2, N], pour un certain param`etreN, d’o`u la n´ecessit´e du lemme suivant :

Lemme III.2 Pour tout r´eel x on note π(x) le nombre de premiers inf´erieurs ou ´egaux `a x.

PourN ≥41on a

π(N)−π(N/2)≥0,41 N logN.

D´emonstration - Le th´eor`eme 1 de [Ro-Sc] nous donne :

∀x≥59, x

logx+ 3x

2(logx)² ≥ π(x)> x

logx+ x 2(logx)², si on notecN := log(N/2)/log(N) on en d´eduit :

π(N)−π(N/2) > N

logN + N

2(logN)² −

N

2cNlogN + 3N 4(cNlogN)²

= N

logN

1− 1

2cN − 3 4c²_N −1

2 1

logN

Ainsi, pourN≥5000, nous avons bien l’in´egalit´e voulue et une v´erification num´erique pour

les petites valeurs deN nous permet de conclure.

III.2 Construction de la fonction auxiliaire.

On cherche ici un polynˆomeF de degr´e≤Lnul enα`a un ordre≥T. Fixons dans un premier temps quelques notations,k d´esignant un corps de nombres.

– On notera k[x] :=k[x1, . . . , xn].

– Pourµ,λ∈Nⁿ, on pose : µ

λ

:=

µ1

λ1

· · · µn

λn

. Dλ := 1

λ!

∂^λ

∂x^λ = 1 λ1!· · ·λn!

∂^λ1

∂x^λ₁¹ · · · ∂^λn

∂x^λ₂ⁿ.

– On dira que α∈Qⁿ est racine deF ∈C[x] de multiplicit´e au moins T ∈Nsi

∀λ∈Nⁿ, λ1+. . .+λn=|λ|< T =⇒ Dλ(F)(α) = 0.

– On noteraωk(α) := min

deg(F)|F ∈k[x]\{0}, F(α) = 0 etk[x]≤Llek-espace vectoriel des polynˆomes de degr´e total ≤L.

– Pour toute partieS deCⁿ on pose : Ek(S, L, T) :=

F ∈k[x]≤L | ∀β∈S, F nul en βavec multiplicit´e ≥T ¹.

Nous aurons besoin dans la suite d’encadrements pour l’indice d’obstruction ωk(α) et pour la dimension duk-espace vectorielEk({α}, L, T).

Propri´et´es III.3 Soientn∈N^∗,α∈Gⁿ_m etL, T ∈N, on a : 1. dimEk({α}, L, T)≥ ^{L−T ωk}n^(α)+n

.

1on a doncEk(S, L, T) = [P^(T)]L∪ {0}siS est une vari´et´e etPest l’id´eal de d´efinition surkde sa clˆoture projective.

2. 1≤ωQ(α)≤n[k(α) :k]^1/n. D´emonstration -

1. Soit F ∈ k[x] non nul de degr´e ωk(α) tel que F(α) = 0. Pour tout H ∈ k[x] de degr´e inf´erieur ou ´egal `aL−T ωk(α), on aF^TH∈Ek(S, L, T), de plus le sous-espace vectoriel dek[x] des polynˆomes de degr´e≤L−T ωk(α) est de dimension ^{L−T ωk}_n^(α)+n

, d’o`u le r´esultat.

2. Posonsω:= [n[k(α) :k]^1/n] et consid´erons l’application lin´eaire : k[x]≤ω −→ k(α)

P 7−→ P(α).

Remarquons que dimkk[x]≤ω= ^ω+n_n

≥n⁻ⁿ(ω+ 1)ⁿ. Or n⁻ⁿ(ω+ 1)ⁿ>[k(α) :k], cette application n’est donc pas injective, i.e. il existe P ∈ k[x]≤ω non nul tel que

P(α) = 0, doncωk(α)≤ω≤n[k(α) :k]^1/n.

Ci-dessous nous donnons la version du lemme de Siegel que nous utiliserons dans la suite (analogue `a la proposition 2.1 de [Am-Da3]).

Proposition III.4 Soient θ un r´eel >0 et E ⊂ {α ∈Gⁿ_m | h(α) ≤θ} un ensemble fini non vide. Soient k un corps de nombres et L, T ∈ N. Si Ek(E, L, T) est non r´eduit `a {0}, alors il existe un polynˆomeF ∈Ek(E, L, T)∩ O^k[x]non nul tel que :

h(F)≤ r N−r

(T +n−1) log(L+ 1) +Lθ

+ logck. (3)

o`u ck := n (_π²)^sp

|∆k|o_[k:Q]¹

, s le nombre de places complexes de k et ∆k son discriminant, N := dimkk[x]≤L etr:= dimkk[x]≤L−dimkEk(E, L, T).

D´emonstration - On reprend ici principalement les preuves de la proposition 4.2 de [Am-Da]

et du th´eor`eme 7 de [St-Va]. Fixons un ordre surEet sur Nⁿ et consid´erons la matriceA de taille Card(E)· ^T+n−1n

× ^L+nn

d´efinie par A:=

µ λ

α^µ−λ

o`u les lignes (respectivement les colonnes) sont index´ees par les couples (α,λ), o`u α∈E et λ ∈ Nⁿ est tel que |λ| ≤T −1 (respectivement par les multi-indices µ∈ Nⁿ tels que

|µ| ≤L). Autrement dit, si on pose

A:={x∈k^N, Ax= 0},

alors A =Ek(E, L, T) d’o`u r = rang(A). Soit Y une matrice N ×(N −r) `a coefficients dansktelle queAsoit l’image de l’applicationk-lin´eaire d´efinie parY. CommeEk(E, L, T) est non r´eduit `a {0}, on a rang(Y) =N−r < N ; le th´eor`eme 8 de [Bo-Va] appliqu´e `aY

montre alors qu’il existeN−r vecteurs lin´eairement ind´ependantsu1, . . . ,uN−rde k^N−r tels que, si l’on poseFi:=Yui, pouri= 1, . . . , N−r, on aitFi∈ O^Nk pour touti et :

N−r

X

j=1

h(Fj)≤logH(Y) + (N−r) logck= logH(A) + (N−r) logck ,

o`u H(A) est la hauteur (non logarithmique) du sous-espace A et H(Y) la hauteur du sous-espace engendr´e par ses lignes (d´efinies p. 499 de [St-Va]).

Remarquons que (F1, . . . , FN−r) est une une base de A, en particulier il existe F dans A ∩ O^Nk non nul tel que

(N−r)h(F)≤logH(A) + (N−r) logck, (4) nous allons montrer que ce F v´erifie bien (3).

SoitFla clˆoture galoisienne dek(E)/k, consid´erons la matrice :

B:=







 σ1A

... σRA









o`u lesσi sont les ´el´ements de Gal(F/k), et posons : B:={y∈F| By= 0}.

On a alors dimF(B) = dimk(A) etH(A) =H(B) (voir [St-Va], (2.31) page 506).

Soit ˜B une sous-matrice de B de rang maximal ( ˜B est une matrice r× ^L+nn

de rangr), par le principe de dualit´e, (voir [St-Va] p. 500, (2.2)), on a :

H(A) =H(B) =H( ˜B).

En majorantH( ˜B) par le produit des hauteurs de ses lignes (in´egalit´e de Hadamard, voir [Bo-Va], ´equation (2.6)), on obtient :

logH( ˜B)≤rlog maxn

H(b^(α,λ))|α∈Eet |λ| ≤T−1o

, (5)

o`u lesb^(α,λ) d´esignent les lignes de ˜B :

b^(α,λ)= (b^(α,λ)_µ )|µ|≤L= µ

λ

α^µ−λ

|µ|≤L

.

Soit (α,λ) un multi-indice r´ealisant ce maximum (|λ| ≤T−1), on a : X

|µ|≤L

µ λ

2

¹₂

≤ X

|µ|≤L

µ λ

=

L

X

µ1=1

· · ·

L

X

µn=1

µ1

λ1

µn

λn

=

L+ 1 λ1+ 1

· · ·

L+ 1 λn+ 1

≤(L+ 1)^T+n−1

o`u l’on a utilis´ePL µ=1

µ λ

= ^L+1_λ+1

≤(L+ 1)^λ+1.

Notons dle degr´e deF surQ, en utilisant cette in´egalit´e nous trouvons, pour toute place archim´ediennev∈ M^k,

Hv(b^(α,λ))^d= X

|µ|≤L

|b^(α,λ)_µ |²v

^dv₂

≤(L+ 1)^(T+n−1)dvmax

1,|α1|v, . . . ,|αn|v Ldv

.

Pourv∈ M^k ultram´etrique, on obtient : Hv(b^(α,λ))^d= max

|µ|≤L|b^(α,λ)_µ |^dv^v ≤max

1,|α1|v, . . . ,|αn|v Ld_v

. En faisant le produit sur toutes les places on obtient :

H(b^(α,λ))^d ≤(L+ 1)^{(T+n−1)Pv|∞dv}H(α)^Ld dlog H(b^(α,λ))

≤d(T+n−1) log(L+ 1) +dLh(α), d’o`u, en reprenant l’in´egalit´e (5)

logH( ˜B)≤r

(T +n−1) log(L+ 1) +Lθ , donc (4) devient :

h(F) ≤ 1

N−rlogH( ˜B) + logck

≤ r

N−r·

(T +n−1) log(L+ 1) +Lθ

+ logck.

Dans la suite, on utilisera cette proposition dans le casn= 2 :

Corollaire III.5 Soientα∈G²_m,T ∈N^∗,D le degr´e deQ(α)surQ, etω≥ωQ(α).

Si L = min{ 2ωT²,

(T D)^1/2(T+ 1)

}, alors il existe un polynˆome F ∈ EQ({α}, L, T)∩Z[x]

non nul tel que :

h(F)≤ 1

T−1 (T+ 1) log(L+ 1) +Lh(α) .

D´emonstration - CommeD^1/2≥ ¹2ωQ(α), on aL≥ ¹2ωQ(α)(T+ 1)T^1/2≥ωQ(α)T, en particulier EQ({α}, L, T) n’est pas r´eduit `a {0}, d’apr`es la proposition III.3. Consid´erons le polynˆomeF donn´e par la proposition III.4, on a :

h(F)≤ r

N−r (T+ 1) log(L+ 1) +Lh(α) , o`ur:= dimQ[x]≤L−dimQEQ({α}, L, T) etN := dimQ[x]≤L. On a, siL= 2ωT² :

r N−r ≤

L+2 2

L−ωT+2 2

−1 = L+ 1

L−ωT+ 1 × L+ 2 L−ωT+ 2 −1

≤

L L−ωT

2

−1 = 2T

2T−1 2

−1≤ 1 T−1.

Sinon, siL=

(T D)^1/2(T+ 1) : r

N−r ≤

T+1 2

D

L+2 2

− ^T+1₂

D = T(T+ 1)D

(L+ 1)(L+ 2)−T(T+ 1)D

≤ T(T + 1)D

(T+ 1)²T D−T(T+ 1)D = 1 T ≤ 1

T−1.

III.3 Extrapolation

Nous allons utiliser le lemme clef de Dobrowolski (c.f. [Do]) dans le cadre plus large de polynˆomes `a plusieurs variables `a coefficients dans un anneau d’entiers d’une extension cyclo- tomique deQ. Soientk/Qune extension galoisienne,pun nombre premier non ramifi´e dansket Qun id´eal premier de Ok tel que Q|p. Si l’extension k/Qest ab´elienne, alors l’automorphisme de Frob´enius associ´eφQ,p∈Gal(k/Q) ne d´epend que depet on le notera φp; on a

∀α∈ Ok, φp(α)≡α^p modpOk.

Dans tout ce paragraphe, on supposerak/Qcyclotomiqueet on notera ∆k son discriminant.

De plus α d´esignera un ´el´ement de Gⁿ_m, F la clˆoture galoisienne dek(α), et L, T deux entiers naturels. Le r´esultat qui suit correspond au th´eor`eme 2.2 de [Am-Da3] :

Th´eor`eme 3 Soit F ∈ Ek({α}, L, T)∩ Ok[x]; pour tout nombre premier p∤ ∆k et pour tout v∈ M^F divisant p, on a la majoration

|F^φp(α^p)|^v≤p^−T|F|^vmax{1,|α1|^v, . . . ,|αn|^v}^pL, o`u l’on a not´e α^p= (α^p₁, . . . , α^p_n).

Proposition III.6 Soit F ∈ Ek({α}, L, T)∩ O^k[x]. Pour tout nombre premier p ∤ ∆k, le polynˆomeF^φp est nul en α^p `a un ordre T1 v´erifiant :

T1

log(L+ 1) + logp

> Tlogp−h(F)−pLh(α)−nlog(L+ 1).

D´emonstration - Soitλ∈Nⁿ tel que|λ|=T1 et Dλ(F)^φp(α^p)6= 0 (on peut supposer T1< T). Soitv∈ M^F; on d´eduit de l’in´egalit´e

X

|µ|≤L

µ λ

≤

L+ 1 λ1+ 1

· · ·

L+ 1 λn+ 1

≤(L+ 1)^|λ|+n

et de l’in´egalit´e ultram´etrique les majorations :

|Dλ(F)^φp(α^p)|v≤







|F|v·max{1,|α1|v, . . . ,|αn|v}^pL siv∤∞et v∤p (L+ 1)^|λ|+n|F|^v·max{1,|α1|^v, . . . ,|αn|^v}^pL siv| ∞

De plus, siv|p, le th´eor`eme 3 donne :

|Dλ(F)^φp(α^p)|^v ≤p^{−(T−|λ|)}|F|^vmax{1,|α1|^v, . . . ,|αn|^v}^pL. On a, par la formule du produit :

1 = Y

v∈MF

|Dλ(F)^φp(α^p)|^[Fv^v:kv]/[F:k].

En passant au log, et en utilisant les trois majorations obtenues ci-dessus on obtient : 0≤(|λ|+n) log(L+ 1) +h(F) +pLh(α)−(T− |λ|) logp ,

soit

|λ|

log(L+ 1) + logp

> Tlogp−h(F)−pLh(α)−nlog(L+ 1).

IV Versions explicites de certaines minorations

IV.1 Une minoration pour les courbes

Dans [Am-Da2], F. Amoroso et S. David obtiennent une minoration de la hauteur d’une hypersurface deGⁿ_md´efinie surQetQ-irr´eductible qui n’est pas de torsion ; de plus notre r´esultat principal dans [P] donne une version explicite de ce r´esultat. Nous reprenons celui-ci en am´eliorant la constante pourn= 2, cas qui nous int´eresse ici.

Proposition IV.1 Soit V une courbe d´efinie surQetQ-irr´eductible deG²_mde degr´eD. Alors, siV n’est pas de torsion, on a

ˆh(V)≥5⁻⁶

log logD^′ logD^′

3

, o`u³ D^′ := max{16, D}.

Notons que si P ∈ Z[x1, x2] est irr´eductible sur Z (en particulier de contenu 1) et est une

´equation deV, alors ˆh(V) = logM(P), o`uM(P) est la mesure de Mahler deP.

Supposons l’in´egalit´e fausse pour une courbeV de degr´eD d´efinie surQ, Q-irr´eductible qui ne soit pas de torsion. D’apr`es un th´eor`eme de Zhang [Zh] on a ˆµess(V)≤D¹ˆh(V), ainsi :

ˆ

µess(V)< 1 5⁶D

log logD^′ logD^′

3

. (6)

Choix des param`etres et fonction auxiliaire

3Nous avons choisi de mettreD^′ dans le log car la fonctionx7→ _{log log(}^log(x)_x) est croissante sur [16,+∞[, et afin de pouvoir minorer log logD^′par 1 dans les calculs.

On pose













 T :=

5 logD^′ log logD^′

L:=DT² N := 5⁴(logD^′)²

log logD^′.

Nous utiliserons plusieurs fois l’in´egalit´e suivante, valable pour tous r´eelsa, b, x >0 : x^a

(logx)^b ≥ea b

b

. (7)

Notons que :

T ≥[5e]≥13, L≥T²≥169 et N ≥5⁴(ln 16)²

ln ln 16 ≥4000.

Fait IV.2 On a

N/2≥(logD^′)^1,99 et 6,1 log(L+ 1)≤Tlog(N/2).

D´emonstration - Pour la premi`ere in´egalit´e, il suffit d’utiliser (7) avec (a, b) = (0.01,1).

Pour la seconde, on a :

logL

Tlog(N/2) ≤ logD^′

Tlog(N/2) +logT T

2 log(N/2).

De plus, commeT ≥13, la premi´ere in´egalit´e du fait nous donne Tlog(N/2)≥9,2 logD^′. Ainsi, puisque N≥4000 :

logL

Tlog(N/2) ≤ 1

9,2 +log 13 13

2

log(2000)≤ 1 6,2.

Pour conclure, il suffit de remarquer que log(L+ 1)≤1,01 logL, d’o`u le r´esultat.

En appliquant la proposition III.4 `a un ensemble fini suffisamment gros de points deV de hauteur≤θ o`u

θ:= 5⁻⁶

log logD^′ logD^′

3

,

on trouve, par le mˆeme argument que celui utilis´e dans le th´eor`eme 4.1 de [Am-Da2], un polynˆome non nulF ∈Z[x], de contenu 1 et de degr´e au plusL, qui s’annule en tout point deV `a un ordre

≥T et tel que

h(F)≤ln

(T+ 2) log(L+ 1) +Lˆµess(V)o , o`u

l:=

L+2 2

− ^L−DT+2₂

L−DT+2 2

.

Extrapolation Soitpun nombre premier dans [N/2, N] et notons

ε := Tlogp−h(F)−2 log(L+ 1)−pLˆµess(V)

≥ Tlog(N/2)−(l(T + 2) + 2) log(L+ 1)−(N+l)Lµˆess(V).

La proposition III.6 nous assure, via le mˆeme argument de densit´e que dans le lemme 4.2 de [Am-Da2], que F s’annule sur [p]V si ε > 0 ; il suffit donc de montrer que notre choix de param`etres assure cette condition.

Majorons tout d’abordl : l≤ L+ 1

L−DT+ 1× L+ 2

L−DT+ 2 −1≤ L

L−DT 2

−1 = 2T−1 (T−1)² en particulier, commeT ≥13, nous obtenons :

l(T+ 2) + 2 ≤ 2T²+ 3T−2 (T−1)² + 2

= 2(T²−2T+ 1) + 7(T−1) + 3

(T−1)² + 2≤5.

Nous avons, puisquel <1 etN >100 :

ε≥TlogN/2−5 log(L+ 1)−1,01N Lˆµess(V).

Remarquons maintenant que, d’apr`es le fait IV.2 nous avons Tlog(N/2) ≥ 6,1 log(L+ 1), et d’apr`es (6) nous avonsN Lˆµess(V)<logD^′ ≤log(L+ 1), ainsiε >0.

Conclusion

Soit Λ l’ensemble des nombres premiers dans [N/2, N] ; nous avons vu que, sous l’hypoth`ese (6), F s’annulait sur [p]V pour tout premier p ∈ Λ. Comme N ≥ 4000, la proposition III.1 et le lemme III.2 nous donnent :

L≥deg [

p∈Λ

[p]V

≥ 0,4 N

logN − 2

log 2logD

D. (8)

Minorons le membre de droite : log logD^′

logN ≥ log logD^′

4 log 5 + 2 log logD^′ ≥ 3 25, d’o`u

N logN ≥3

5 logD^′ log logD^′

2

. En reportant ceci dans l’in´egalit´e (8) on obtient :

L ≥

0,4·3− 2 log 2

(log logD^′)² 5²logD^′

D

5 logD^′ log logD^′

2

≥

1,2− 2 log 2

(log log 16)² 5²log 16

L

> L d’o`u une contradiction.

IV.2 Dans les extensions d’un corps cyclotomique

F. Amoroso et U. Zannier donnent une minoration de la hauteur d’un nombre alg´ebrique en fonction de son degr´e sur une extension ab´elienne deQ(c.f. [Am-Za]) :

Th´eor`eme 4 SoientKun corps de nombres etLune extension ab´elienne deK. Alors, pour tout γ∈Q^∗\Q^∗tors, on a :

h(γ)≥ C(K) d

log log 5d log 2d

13

,

o`u d:= [L(γ) :L] etC(K)est une constante d´ependant uniquement de K.

Nous aurons besoin de ce r´esultat dans le cas particulier d’une extension cyclotomique, aussi nous nous proposons d’en montrer une version faible, mais explicite :

Proposition IV.3 Soientk=Q(ζm)un corps cyclotomique etγ∈Q^∗\Q^∗_tors, alors : h(γ)≥ 10⁻³

d

log logD logD

3

, o`u d:= [k(γ) :k],D:= [k(γ) :Q]etD≥2.

Notonsϕ(m) l’indicatrice d’Euler dem; nous pourrons supposer dans la suiteϕ(m) =D/d≥ 3⁴. En effet, supposons le contraire, en particulier [Q(γ) :Q]≤D=ϕ(m)d <3⁴d.

Si [Q(γ) :Q]≤15, alorsh(γ)≥10⁻², et si 16≤[Q(γ) :Q]<3⁴d, le th´eor`eme principal de [Vo]

nous dit que :

h(γ)≥ 1 4[Q(γ) :Q]

log log[Q(γ) :Q]

log[Q(γ) :Q]

3

. Par d´ecroissance de la fonctionx7→ ^{log log}_logx^x sur [16,+∞] on en d´eduit

h(γ)≥ 1 4D

log logD logD

3

≥ 1 324d

log logD logD

3

.

Notons toutefois qu’il est possible d’obtenir le mˆeme r´esultat sans [Vo], avec toutefois une con- stante un peu plus petite : 2.10⁻⁴ au lieu 10⁻³ (la diff´erence ´etant due `a une moins bonne majoration de log(L+ 1) dans l’extrapolation).

Choix des param`etres et fonction auxiliaire On pose



















T =

3 logD log logD

L = dT²

N = 175(logD)² log logD. Fait IV.4 Nous avons :T ≥8,L≥64,N ≥175,T ≤3D^1/4et

2,125 log(L+ 1)<3,2 logD−logϕ(m).

D´emonstration - L’in´egalit´e (7) nous donne T ≥[3e] = 8, (en particulier L≥64), et N ≥175×2e≥951. Pour montrerT ≤3D^1/4, comme logD≥logϕ(m)≥4 log 3, il suffit de remarquer que la fonctionx7→_log^x_x−e^0.25xest n´egative en 4 log 3 et de d´eriv´ee n´egative sur ]1,+∞[.

Pour la derni`ere in´egalit´e nous avons :

logL = logD−logϕ(m) + 2 logT

≤ 1,5 logD+ 2 log 3−logϕ(m) carT ≤3D^1/4. Ainsi, puisqueϕ(m)≥3⁴ il vient

logL≤1,5 logD−1

2logϕ(m).

CommeL≥64 on a log(L+ 1)<1,0038 logL, ainsi

2,125 log(L+ 1)<3,2 logD−logϕ(m).

Supposons par l’absurde :

h(γ)< 10⁻³ d

log logD logD

3

. (9)

D’apr`es la proposition III.4, il existe un polynˆomeF ∈ Ok[x] non nul, de degr´e au plusL, et nul enγ`a un ordre≥T tel que :

h(F) ≤ dT

L+ 1−dT Lh(γ) +Tlog(L+ 1)

+ logck

≤ 1

T−1 Lh(γ) +Tlog(L+ 1)

+ logϕ(m).

En effet, comme ∆k|m^ϕ(m), on ack = q2

π∆^1/ϕ(m)_k ≤q

2m

π ≤ϕ(m). Ainsi, commeT ≥8 : h(F)≤Lh(γ) + 1,125 log(L+ 1) + logϕ(m). (10)

Extrapolation

Soit maintenant p∈ [N/2, N] un nombre premier ne divisant pasm (en particulierp∤ ∆k) et soit ν est une place ne divisant pas p. Notons T1 l’ordre d’annulation de F^φp en γ^p; nous devons donc montrer T1 >0. D’apr`es la proposition III.6, on a T1

log(L+ 1) + logp

> ε o`u ε:=Tlogp−h(F)−pLh(γ)−log(L+ 1), il nous suffit ainsi de voir queεest strictement positif.

Par hypoth`ese surF on a :

ε≥Tlogp−Lh(γ) (1 +p)−2,125 log(L+ 1)−logϕ(m)

soit, d’apr`es le fait IV.4 :

ε > Tlogp−Lh(γ)(1 +p)−3,2 logD.

Nous allons voir que F^φp s’annule en γ^p, en montrant que ε > 0. Par hypoth`ese p ≥ N/2 ≥ logD1,99

(d’apr`es (7) avecx= logD,a= 0,01 etb= 1) et T ≥8, ainsi : ε > 8

9(T+ 1)1,99 log logD−3,2 logD

−Lh(γ)(1 +p)

> 2 logD−Lh(γ)(1 +N)

> 2 logD−176·3²d (logD)⁴

(log logD)³×h(γ).

Donc, d’apr`es (9), on aε >0, en particulierT1>0 etF^φp(γ^p) = 0.

Conclusion

Remarquons que siF^φp(γ^p) = 0 et siτ ∈Gal(Q/k) prolongeφ⁻¹_p , alorsF(τ(γ^p)) = 0. Notons Σ l’ensemble desτ(γ^p), o`u

– pparcourt l’ensemble des premierspde [N/2, N] ne divisant pasm, – τ ∈Gal(Q/k) prolongeφ⁻¹_p .

Sous l’hypoth`ese (10) sur la hauteur deγ, nous avons vu queF s’annule sur Σ. Pour arriver `a une contradiction, nous allons montrer que Card(Σ)>deg(F).

• Soientp1<· · ·< psles diviseurs premiers de mdans{N/2, . . . , N}, nous avons : ϕ(m)≥(p1−1)(p2−1)· · ·(ps−1)≥(N/2−1)^s,

en particulier

s≤ log(ϕ(m))

log(N/2−1) ≤logD 6 .

•Remarquons maintenant que sipest un nombre premier tel queQ(γ^p) =Q(γ), alorsk(γ^p) = k(γ) c’est-`a-dire [k(γ^p) :k] = [k(γ) :k], auquel cas les k-automorphismes deQprolongeantφ⁻¹_p sont au nombre ded= [k(γ) :k].

Ainsi, d’apr`es la proposition III.1 page 4, le nombre de premiersptels que [k(γ<sup>p</sup>) :k]<[k(γ) : k] ou tel queγ<sup>p</sup> soit ´egalσ(γ<sup>p</sup>) pour un certainσ∈Gal(Q/k),σ6=id, est inf´erieur `a :

log([Q(γ) :Q])

log 2 ≤ logD log 2.

De plus, commeγ n’est pas racine de l’unit´e,γ^pet γ^p′ ne sont pas conjugu´es si p6=p^′, d’o`u : Card(Σ)≥d×

π(N)−π(N/2)− 1

log 2+1 6

logD

soit, d’apr`es le lemme III.2 page 4 et (7) avecx= logD,a= 1 etb= 2 : Card(Σ) ≥ d

0,4 N

logN −1,7 logD

≥ d 0,4 N

logN −1,7 2

e 2

logD log logD

2! . De plus, logN≤(2 + log 175) log logD, donc :

Card(Σ)≥d

0,4·175

2 + log 175−1 logD log logD

2

, d’o`u

Card(Σ)>3²d

logD log logD

2

.

Ainsi Card(Σ)> L≥deg(F) ; en particulierF ne peut pas s’annuler sur Σ tout entier, contra-

diction avec l’hypoth`ese (9).

V D´ emonstration du th´ eor` eme principal

Si Vα d´esigne la vari´et´e de dimension z´ero d´efinie surQ par un pointα deGⁿ_m, c’est-`a-dire {σ(α)| σ∈Gal(Q/Q)}, l’in´egalit´e (1) nous dit

ωQ(α)≤n(deg(Vα))^1/n.

De fa¸con g´en´erale, si V est une vari´et´e d´efinie surQ et Q irr´eductible contenant α, il d´ecoule imm´ediatement d’un r´esultat de M. Chardin (cf. [Ch], corollaire 2, chapitre 1, page 310 et exemple 1, page 311) l’in´egalit´e :

ωQ(α)≤ndeg(V)^1/codim(V). (11)

Afin de pouvoir conclure leur d´emonstration, [Am-Da4] consid`erent des vari´et´es de diff´erentes di- mensions contenant un translat´e de la vari´et´e qu’ils ´etudient, aussi ont-ils ´et´e amen´es `a introduire l’indice d’obstruction g´en´eralis´e de poids T :

ω(T;α) := min{(Tdeg(W))^1/codim(W)},

o`u T est un r´eel > 0 et W parcourt l’ensemble des vari´et´es d´efinies sur Q et Q irr´eductibles contenant α. Notons en particulier qu’aucune hypoth`ese sur le corps de d´efinition de V n’est faite ici. Nous utiliserons cetindice d’obstruction g´en´eralis´eun peu modifi´e, en gros :

minn

2ωT, (T D)^1/2o ,

o`uDest le degr´e surQd’un pointαet leωle degr´e d’une courbeV d´efinie surQfix´ee contenant α (voir dans le choix des param`etres ci-dessous). Celui-ci dans notre cas n’est pas n´ecessaire pour retrouver la minoration du th´eor`eme 2 `a une puissance du log pr`es, n´eanmoins il permet de gagner non seulement sur la constante, mais surtout dans le terme d’erreur (sur la puissance du log).

V.1 Choix des param` etres et fonction auxiliaire

Notons Dle degr´e deQ(α) surQet posons :









 T =

"

9

logω^′ log logω^′

2#

L = minn

2ωT², h

(T D)^1/2(T + 1)io .

Notons c1:= 3,7·10⁴,c2:= 2,05·10⁹ et consid´erons les r´eelsN1, N2 suivants :















N1 := c1

logω^′2

log logω^′ N2 := c2

logω^′8

log logω^′6. Fait V.1 Nous avons :

1. T ≥[9e²] = 66 etN₁²≤N2. 2. log(L+ 1)≤4,3 logω.

3. log(N1/2)≥1,999 log logω^′ etlog(N2/2)≥7,92 log logω^′.

4. Les in´egalit´es suivantes nous permettrons de majorer le cardinal d’ensembles de premiers exceptionnels :

2

log 2logL≤0,01 N1

logN1

et 2

log 2log(N1L²)≤0,01 N2

logN2

. D´emonstration -

1. Pour la premi`ere in´egalit´e on utilise (7) aveca=b= 2. La seconde d´ecoule imm´ediatement du choix des constantes.

2. CommeT ≥66 nous avonsL+ 1≤2ω^′T²+ 1≤1,0002·2ω^′T²or : logL ≤ log 2 + logω^′+ 2 log(9/log log 16) + 4 log logω^′

≤

1 + (log 2 + 2 log 8,9 + 4 log log 16)/log 16 logω^′

≤ 4,299 logω^′ d’o`u le r´esultat.

3. Il suffit de remarquer que, d’apr`es (7) avec (a, b) = (0.001,1) puis (0.08,6) nous avons : N1

2 ≥ c1

2 ·0,001e(logω^′)^1,99 et N1

2 ≥c1

2

0,08e 6

6

(logω^′)^7,92. 4. Comme logN1≤(2 + logc1) log logω^′ on a

0,01 N1

logN1 ≥ c1

100(2 + logc1)

logω^′ log logω^′

2

≥2·4,3 logω^′ log 2

logω^′ log logω^′2

or 4,3 logω^′ ≥logLet d’apr`es (7), ^logω′

log logω^′2 ≥^e4² ≥1, d’o`u l’in´egalit´e voulue.

Enfin nous avons, puisqueN2≥N₁² : 0,01 N2

logN2 ≥0,01N1

N1

2 logN1 ≥100 N1

logN1

de plus 2

log 2log(N1L²) = 2

log 2(logN1+ 2 logL)≤ 2

log 2logN1+ 0,02 N1

logN1.

Le corollaire III.5 nous donne un polynˆomeF ∈E({α}, L, T)∩Z[x] v´erifiant : h(F)≤ 1

T−1 (T+ 1) log(L+ 1) +Lh(α) Pourj= 1,2 posonsPj:={p∈[Nj/2, Nj] premier} ∪ {1}et notons

T1:= min

p∈P1

ordα^p(F),

en particulier, comme 1∈ P1nous avonsT1≤T. Nous allons montrer le th´eor`eme 2 par l’absurde, aussi nous supposerons dans la suiteαde hauteur petite, plus pr´ecis´ement :

h(α)≤ T1logN2

10N1N2L ≤(T+ 1)

10L . (12)

On a alors :

h(F)≤ T+ 1 T−1

1 + 1

10 log(L+ 1)

log(L+ 1) ainsi, commeT ≥66 et L+ 1≥T^3/2≥500 on obtient

h(F)≤1,05 log(L+ 1).

V.2 Extrapolation

Proposition V.2 Sous l’hypoth`ese (12) sur la hauteur deα, nous avons, pour tout(p, q) dans P¹× P²,

F(α^pq) = 0.

D´emonstration - Soit (p, q) ∈ P¹× P², puisque T1 ≤ T et N1 ≥ 100 nous avons d’apr`es (12)

Lh(α)≤ T1

10N1

logN2

N2 ≤ T 1000

logN2

N2 .

Par d´ecroissance de la fonctionx7→log(x)/x, commep≤N1≤N2/2≤q≤N2il d´ecoule pLh(α)≤0,001Tlogp et pqLh(α)≤0,1T1logq. (13)

• NotonsT1,pl’ordre d’annulation de F enα^p, commeh(F)≤1,05 log(L+ 1), la proposi- tion III.6 nous donne :

T1,p log(L+ 1) + logp

>0,999Tlogp−3,05 log(L+ 1).

Deux cas apparaissent : siL+ 1≤p:

2T1,plogp >(0,999T−3,05) logp, (14) donc, comme T ≥66, on obtientT1,p≥32.

siL+ 1> p :

(2T1,p+ 3,05) log(L+ 1)>0,999Tlogp≥0,999Tlog(N1/2) (15) CommeT ≥66, on a, d’apr`es le point 2 du fait V.1 :

2T1,p+ 3,05 > 0,999T

T+ 1 (T+ 1)log(N1/2) 4,3 logω^′

> 0,999·66

67 ·9·log(N1/2) 4,3

logω^′ (log logω^′)² Soit, en utilisant les in´egalit´esN1/2≥2(log log 16)^{c1log 16 2} et _{(log log}^logω_ω^′′)² ≥ ^e4² (via (7)) :

2T1,p+ 3,05>45,05 carc1= 3,7.10⁴. Ainsi dans les deux cas on aT1,p≥22.

• Notons maintenant T2,pq l’ordre d’annulation de F en α^pq; nous avons d’apr`es (13) pLh(α^q) =pqLh(α)≤0,1T1,plogq. Comme h(F)≤1,05 log(L+ 1), de nouveau la propo- sition III.6 nous donne :

T2,pq log(L+ 1) + logq

>0,9T1,plogq−3,05 log(L+ 1).

Il nous faut ici montrer que le membre de droite de cette in´egalit´e est >0. Si L+ 1≤p, c’est ´evident, carT1,p≥22 etq ≥p. Supposons doncL+ 1> p ; comme T1,p ≥22 nous avons :

0,9T1,p>0,42(2T1+ 3,05), ainsi d’apr`es (15)

0,9T1,plog(N2/2)>0,420,999Tlog(N1/2)

log(L+ 1) log(N2/2).

D’o`u, d’apr`es les points 1,2 et 3 du fait V.1 :

0,9T1,plog(N2/2) > 0,42·0,999·⁶⁶₆₇·^1,_4,⁹⁹⁹₃ ·7,92·9 logω^′

> 13,5 logω^′. (16)

Ainsi 0,9T1,plogq >3,05·4,3 logω^′ ≥3,05 log(L+ 1).

V.3 Conclusion

Notons X1la vari´et´e d´efinie par F et posons :











X2 := \

p∈P1

[p]⁻¹X1, X3 := \

(p,q)∈P1×P2

[pq]⁻¹X1.

Notons que, puisqueP1 etP2 contiennent 1, nous avons les inclusions suivantes : X3⊂X2⊂X1.

Nous travaillons ici avec α, aussi nous ne consid´ererons que les composantes de ces vari´et´es rencontrant une puissance deα; plus pr´ecis´ement posons :

– Y1 l’union des composantesQ-irr´eductibles de X1 contenantα^pq pour au moins un (p, q) dansP¹× P²

– Y2 l’union des composantesQ-irr´eductibles de X2 contenantα^q pour au moins unq∈ P2

– Y3 l’union des composantesQ-irr´eductibles de X3 contenantα.

On a les inclusions suivantes :

α∈Y3⊂Y2⊂Y1

En particulier, deux de ces trois vari´et´es ont mˆeme dimension ce qui nous permettra de comparer leurs degr´es ou leur hauteurs normalis´ees.

V.3.1 Cas o`uY2 etY3 sont de dimension 0

SoitZ une composanteQ-irr´eductible deY3; commeZ rencontreα on a :

Z= [

σ∈Gal(Q/Q)

σ(α).

En particulier deg(Z) =D. De l’inclusion [

q∈P2

[q]Z⊆Y2 , on obtient une premi`ere in´egalit´e :

deg [

q∈P2

[q]Z

≤degY2. (17)

• SoientF1, . . . , Fr les facteursQ-irr´eductibles deF. Les composantesQ-irr´eductibles deX2

de dimension 1 sont lesZ(Fj), o`u :

Fj |gcd {F(x^p), p∈ P1} .

Quitte `a les r´eordonner, on peut supposer que 1, . . . , lsont les indicesipour lesquelsFi ne divise pas gcd {F(x^p), p ∈ P1}

. En particulier, commeY2 est de dimension z´ero par hypoth`ese, si

j∈ {l+ 1, . . . , r}, alorsFj(α^q)6= 0 pour toutq∈ P2. Choisissons maintenant un polynˆomeGde la forme

G(x) = X

p∈P1\{1}

λpF(x^p) λp∈Q

tel queG ne soit pas un diviseur de z´ero deQ[x]/( ˜F). Un tel polynˆome existe bien, il suffit en effet de remarquer que pour toutj dans{1, . . . , l}, le sous-espace vectoriel







λ∈Q^Card(P1)−1

X

p∈P1\{1}

λpF(x^p)∈(Fj)







est propre. CommeY2⊆Z( ˜F)∩Z(G) et ce dernier est de dimension 0, le th´eor`eme de B´ezout nous donne :

degY2≤deg(F) deg(G)≤N1L²≤N1DT(T + 1)².

• Consid´erons maintenant le membre de gauche de (17). Comme N2 ≥ 5000, la proposi- tion III.1 et le lemme III.2 nous donnent :

0,41 N2

logN2− 2 log 2logD

D≤deg [

q∈P2

[q]Z .

De plus, commeZ ⊂Y2, on aD≤deg(Y2)≤N1L², soit, d’apr`es le point 4 du fait V.1 : 2

log 2logD≤ 2

log 2log(N1L²)≤0,01 N2

logN2

. En reportant tout ceci dans (17) on en d´eduit

0,4N2

logN2 ≤N1T(T+ 1)².

D’o`u, en utilisant les in´egalit´es logN2≤(8 + logc2) log logω^′ etT ≥66 : 0,4c2

8 + logc2 ≤c19³ 67

66 2

, contradiction, carc1= 3,7·10⁴ etc2= 2,05·10⁹.

V.3.2 Cas o`uY1 etY2 sont de dimension 1

SoitZ une composanteQ-irr´eductible deY2 de dimension 1, et soitq∈ P² tel queα^q ∈Z.

• Supposons dans un premier temps queZ soit de torsion. SiB d´esigne [q]⁻¹Z, alorsα∈B et B est de torsion. CommeZ et Y1 sont de mˆeme dimension, on a :

deg(B)≤N2deg(Z)≤N2deg(Y1)≤N2L≤2c29²ω logω^′12

.

De plus,V ´etant irr´eductible et non de torsion, V et B n’ont pas de composante commune, le th´eor`eme de B´ezout nous donne :

D≤deg(V)·deg(B) =ωdeg(B),

o`u Dest le degr´e deα surQ. Ainsi, commeω^′≥16 : Ddeg(B)≤(2c29²)²ω³ logω^′24

≤ω^′23 logω^′24

≤ω^′47. Le lemme V.3 ci-dessous nous dit alors :

h(α)≥10⁻⁹ ω

log logω^′ logω^′

3

. ce qui nous donne bien le th´eor`eme 2.

Lemme V.3 SoitV une courbe deG²_md´efinie surQetQ-irr´eductible de degr´eω qui ne soit pas de torsion, et soit α ∈V \(G²_m)tors. S’il existe une courbe B de torsion d´efinie et irr´eductible surQcontenantα, alors :

h(α)≥ 5.10⁻⁴ ω

log(Ddeg(B)) log log(Ddeg(B))

−3

.

D´emonstration - Il existe un sous-groupe alg´ebriqueH deG²_met un θ ∈(G²_m)tors tels que :

B= [

σ∈Gal(Q/Q)

σ(θ)H.

Soient a, b∈Ztels que :

H =

(x, y)∈G²_m| x^ay^b= 1 .

Commeα∈B, il existeη∈(Gm)tors tel queα^a₁α^b₂=η. Soitγune racine b-i`eme deα1(α n’´etant pas de torsion,γ6∈(Gm)tors), on aα^b₂=ηγ^−ab. En particulier, il existeη^′∈(Gm)tors

tel que α2=η^′γ^−a. PosonsM := max{|a|,|b|}, on a : h(α) ≥ max{h(α1), h(α2)}

≥ max{h(γ^b), h(η^′γ^−a)}

≥ M ·h(γ) Consid´erons

g(t) :=t^λG(t^b, ηt^−a)∈Q(η)[t],

o`uG∈Q[x] est une ´equation de deV etλ∈Zest choisi le plus petit possible. En particulier Gest nul en αde degr´eω eta fortiori on ag(γ) = 0. Notons que, commeV n’est pas de torsion, le polynˆomeg est non nul.

Notons Dγ := [Q(η, γ) : Q] et dγ := [Q(η, γ) : Q(η)] ; l’extension Q(η)/Q ´etant cyclo- tomique, la proposition IV.3 nous dit que :

h(γ)≥10⁻³ dγ

log(Dγ) log log(Dγ)

−3

, ordγ ≤deg(g)≤2 deg(G)M = 2ωM et Dγ ≤DM, d’o`u :

h(γ)≥5.10⁻⁴ ωM

log(M D) log log(M D)

−3

,

ainsi :

h(α) ≥ M ·h(γ)

≥ 5·10⁻⁴ ω

log(M D) log log(M D)

−3

.

Pour finir, il suffit de remarquer que, comme H et B ont la mˆeme dimension, on a M ≤deg(H)≤deg(B).

•Nous supposerons dans la suite queZ n’est pas de torsion. Nous avons l’inclusion [

p∈P1

[p]Z⊆Y1.

Comme les vari´et´esZ et Y1 sont de mˆeme dimension, on en d´eduit : ˆh(Y1)≥ˆh [

p∈P1

[p]Z

Notons W1, . . . , Wl les composantes g´eom´etriquement irr´eductibles de Z. Comme Z n’est pas de torsion, le lemme 2.3 de [Am-Da] nous dit que, si (p, i) et (p^′, j) sont deux couples distincts d’´el´ements de (P¹\Ecc(Z))× {1, . . . , l}, alors les sous-vari´et´es [p]Wi et [p^′]Wj sont distinctes ; ainsi

ˆh(Y1)≥ X

p∈P1 p6∈Ecc(Z)

l

X

i=1

ˆh([p]Wi). (18)

Si W d´esigne une composante g´eom´etriquement irr´eductible deZ, il nous faut donc majorer le cardinal deEcc(Z) et ´evaluer ˆh([p]W) en fonction de ˆh(W). Rappelons que le stabilisateur deW est par d´efinition :

GW :={y∈Gⁿ_m |y·W =W}= \

y∈W

y⁻¹W,

en particulier dim(GW) ≤ dim(W) = 1. Notons ici que les premiers divisant le cardinal de GW/G⁰_W (quotient deGW par sa composante neutreG⁰_W) sont dansEcc(W)⁴. On sait de plus, d’apr`es la proposition 2.1 de [Da-Ph] que :

ˆh([p]W) = p^dim(W)+1

|ker[p]∩GW|ˆh(W),

et|ker[p]∩GW|=p^dimGW|ker[p]∩GW/G⁰_W| ≤p·|ker[p]∩GW/G⁰_W|. En particulier sip6∈Ecc(Z), auquel caspne divise pas|GW/G⁰_W|, on a :

ˆh([p]W)≥p·ˆh(W).

4cardinal qui est ind´ependant du choix de la composanteW.

La proposition III.1 et le point 4 du fait V.1 nous donnent de plus Card(Ecc(Z)∩ P¹)≤ 2 log deg(Z)

log 2 ≤ 2 logL

log 2 ≤0,01 N1

logN1

. Ainsi, en reportant ceci dans (18) :

ˆh(Y1)≥ X

p∈P1 p6∈Ecc(Z)

p·ˆh(Z)≥

π(N1)−π(N1/2)−0,01 N1

logN1

N1

2 ·ˆh(Z).

CommeN1≥5000, nous d´eduisons du lemme III.2 : ˆh(Y1)≥0,2 N₁²

logN1 ·ˆh(Z). (19)

Comme dimZ = dimY1= dimX1= 1 etZ ⊂Y1⊂X1 on a deg(Z)≤degY1≤L. La vari´et´eZ n’´etant pas de torsion, la proposition IV.1 nous dit :

ˆh(Z)≥5⁻⁶

log logL logL

3

,

de plus, l’in´egalit´e de Landauh(F) + log deg(F)≥logM(F) nous donne : 2,05 logL≥h(F) + log deg(F)≥logM(F) = ˆh(X1)≥h(Yˆ 1).

En reportant tout cela dans (19) on obtient alors 2,05 logL≥5⁻⁷ N₁²

logN1

log logL logL

3

.

Remarquons maintenant que logN1≤(2 + logc1) log logω^′et, d’apr`es le point 2 du fait V.1, que logL≤4,3 logω^′, soit

N₁²

logN1 ≥ c²₁ 2 + logc1

logω^′4

log logω^′3 >2,05·5⁷·4,3⁴· logω^′4

log logω^′3

carc1= 3,7·10⁴, contradiction.

V.3.3 Conclusion de la d´emonstration du th´eor`eme 2

L’hypoth`ese (12) est donc fausse, ainsi :

h(α)≥ T1logN2

10N1N2L.

Fait V.4 On a

T1logN2≥15 logω^′