Minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes : sur la conjecture de Lang et Silverman.

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Minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes : sur la conjecture de Lang et Silverman.

Fabien Pazuki

To cite this version:

Fabien Pazuki. Minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes : sur la conjecture

de Lang et Silverman.. Mathématiques [math]. Université Sciences et Technologies - Bordeaux I,

2008. Français. �tel-00419059�

N ^◦ d'ordre : 3610

THÈSE

présentée à

L'UNIVERSITÉ BORDEAUX I

ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE par Fabien Mehdi Pazuki

POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR

SPÉCIALITÉ : Mathématiques Pures

*********************

M INORATION DE LA HAUTEUR DE NÉRON-TATE SUR LES VARIÉTÉS ABÉLIENNES : SUR LA CONJECTURE DE

LANG ET SILVERMAN

*********************

Soutenue le 4 juillet 2008 à l'Institut de Mathématiques de Bordeaux Après avis de :

G. RÉMOND Maître de conférences (HDR), Université Grenoble I Rapporteur J. H. SILVERMAN Professeur, Brown University, Providence Rapporteur Devant la commission d'examen composée de :

P. AUTISSIER Maître de conférences, Université Rennes I Y. BILU Professeur, Université Bordeaux I

H. COHEN Professeur, Université Bordeaux I Directeur

M. HINDRY Professeur, Université Paris 7 Co-Directeur

Q. LIU Professeur, Université Bordeaux I

G. RÉMOND Maître de conférences (HDR), Université Grenoble I Rapporteur

- 2008 -

abéliennes : sur la onjeture de Lang et Silverman.

Fabien Mehdi Pazuki

-2008-

Je remerie mes direteurs de thèse Henri Cohen et Mar Hindry. Henri pour m'avoir

aueilli à Bordeaux dans les meilleurs onditions possibles, pour sa puissane de travail

sur les nombres et son aide dans mes débuts d'algorithmique arithmétique. Mar pour

m'avoirfaitonnaître les problèmesde minorationde hauteur, pour savisionet ses belles

intuitions,pour sapatiene ave moilorsde ma formationde géomètre diophantien. Pour

leur gentillesse etleur amitié à tous lesdeux.

Je remerie lesrapporteurs de ma thèse, Gaël Rémond et Joseph Silverman. Joe pour

son soutien,son enthousiasmeonernantmes travauxetses onseilsélairants.Gaëlpour

son impressionnantepréisiondanslareletureetsapréieuse exigeane,laquelleapermis

d'améliorer letexte en plusieurs endroits.

Je remerie tous lesmembres de mon jury d'avoirpris letemps de se penher sur mon

travail. Meri à Qing Liu pour nos onversations sur les ourbes, à Pasal Autissier pour

nos éhanges arakeloviens et à Yuri Bilu pour ses nombreuses questions. Meri enore à

Yuri, qui aaepté ave enthousiasme d'être leprésident du jury.

Je remerie tous mes professeurs de m'avoir nourri aux mathématiques depuis

le début, M. Boislève, M. Beker, Mme Giraud, M. Dumont, Mme Bonadona. Meri à

Jean-Paul Alardet que j'ai toujours admiré pour son ourage. Meri à M. Odoux et M.

Queria. Enn meri à toute l'équipe de l'ENS-Cahan oùj'ai passé de bonnes années et

aux préparateurs de l'ENS-Cahan-Ker-Lannpour mon annéebretonne.

Meri auxlaboratoiresde théoriedes nombresde Bordeaux etde Paris6et7àCheva-

leret. Toutes les onversations et amitiés qui ontpu naître dans es endroitsm'ont donné

laforeetleourage depoursuivremalgrélesdiultésinhérentes aumétierde herheur.

Meri àmesétudiants.Pendant estrois années, ilsm'ontfaitomprendrequej'aimais

réellementle métier d'enseignantaussi.

Meri à toute ma famille pour l'amour et le soutien durant es années. Mes parents,

mes frères, ma soeur et leurs moitiés, mes grands-parents, mes onles et tantes et mes

ousins.MeriàCatherine etàLudivine dem'avoiraompagné.Grandmerià Teresade

me donner l'envie de ueillir les bons moments et la fore d'aronter les épreuves. Meri

à tous d'avoir supporté mapassion pour es êtres abstraitsqui peuplent matête etqu'on

appelleles Nombres.

Enn meriàmesamisetauxvillesquimelesontdonnés.Meri àCopenhague:Hadi,

Mar-Antoine,Thibault,Nathalie,Stephan,Lærke,Niole,Chloéettouslesautres...Meri

àVoreppe:SergeetSabine,Robin,JérémyetClaire,Anthony,FlorentetCéile,Julienet

Amandine,Nathalie,ManuetClaire.MeriàGrenoble:Anne-Charlotte,toutlegroupedu

D4,Sylvain,Olivier, Matthieu,Sorya,Hughes,Alban, Marouanne, Julien,Aurélie,Olivier

Claire,Nathalie,François,Mustapha,Yann,Hugo,Philippe.MeriàRennes:PierreetZoé,

Niolas, Guillaume,Marie, AlainetGwenola, Niolas etCéline, Vinent, Jérme. Meri à

Pise: Lua,Maro, Gabriele,Emmanuel,Corentin. Meri àBordeaux : PierreetFlorene

(et Pauline),Hervéet Jeanne (et Alie), Bertrand, Jean, Delphine et Aubin, Joanne,Liv,

Élie,Oswaldo,Pasal, Sara,NoraetDamien,CamilleetGwendal,Hubert,Vanessa,Enkil,

Anna, Céline et Frédéri (et Aude) et bien sûr le quatuor : Florent, Mourad, Matthieu,

Éri. Et meri àtous eux quej'oublie...

Le meilleur hommage que l'on puisse lui faire 'est de ontinuer.

Introdution 11

La onjeture de Lang etSilvermansur lesvariétés abéliennes . . . 13

Contenude lathèse . . . 16

1 Généralités sur les hauteurs 25 1.1 Hauteur dans un espaeprojetif . . . 27

1.2 Hauteur de Néron-Tate et hauteurs loales . . . 28

1.3 Espae de Siegel. . . 29

1.4 Hauteur d'unevariétéabélienne . . . 30

1.5 Trae arhimédienne etdisriminants . . . 35

1.6 Additivité de l'énoné. . . 37

2 Minoration de la hauteur de Néron-Tate pour les variétés abéliennes de dimension 2 39 Introdution . . . 41

2.1 Leshauteurs loales en dimension 2 . . . 43

2.1.1 Jaobienne etsurfae de Kummer . . . 43

2.1.2 Hauteurs. . . 45

2.2 Premières minorations . . . 46

2.2.1 Minorationsloales aux plaes nies . . . 47

2.2.2 Minorationsloales aux plaes arhimédiennes . . . 52

2.3 Uneautre hauteur loale arhimédienne. . . 54

2.3.1 Dénition . . . 54

2.3.2 Evolution du diviseur en dimension 2 . . . 55

2.4 Diérenes de hauteurs loales . . . 56

2.4.1 Disussion autourde latorsion . . . 57

2.4.2 Estimationaux plaesnies . . . 59

2.4.3 Estimationaux plaesarhimédiennes. . . 64

2.5 Minorationglobalede lahauteur de Néron-Tate . . . 87

2.5.1 Lemmede zéros et prinipedes tiroirs . . . 87

2.5.2 Minorationglobale . . . 89

2.6 Lahauteur de Faltings . . . 91

2.6.1 Expressiondans lemodèle d'Igusa . . . 91

2.6.3 Constantes thêta . . . 93

2.6.4 Majoration de

h ^′ _F (A/k)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101}

2.7 Produit de ourbeselliptiques . . . 103

2.7.1 Hauteur de Néron-Tate ethauteurs loales . . . 103

2.7.2 Minorations . . . 104

2.7.3 Majoration de lahauteur de Faltings . . . 107

2.8 Corollaires . . . 108

2.8.1 Conjeture de Lang etSilvermanen dimension 2. . . 108

2.8.2 Bornepour latorsion d'une jaobienne de dimension 2. . . 112

2.8.3 Bornepour lespoints rationnels d'une ourbe de genre 2. . . 113

3 Minoration de la hauteur de Néron-Tate pour les variétés abéliennes de dimension

g ≥ 2

¹²¹ 3.1 Introdution . . . 123

3.1.1 Cadre . . . 123

3.1.2 Résultats . . . 124

3.2 Hauteur de Néron-Tate et hauteurs loales . . . 125

3.2.1 Déompositionen hauteurs loales . . . 125

3.2.2 Diérenes de hauteurs loales etniveau de torsion . . . 129

3.2.3 Minorationaux plaes nies . . . 130

3.2.4 Majoration auxplaes nies . . . 132

3.2.5 Minorationaux plaes arhimédiennes . . . 134

3.2.6 Majoration auxplaes arhimédiennes . . . 142

3.3 Minorationde la hauteur de Néron-Tate . . . 143

3.3.1 Lemme de zéros et prinipedes tiroirs . . . 144

3.3.2 Minorationglobale . . . 150

3.4 Hauteur de Faltings d'unejaobienne hyperelliptique . . . 152

3.4.1 Hauteur de Faltings. . . 152

3.4.2 Équations de Weierstrass et disriminants . . . 153

3.4.3 Formes diérentielles . . . 153

3.4.4 Partie non-arhimédienne . . . 155

3.4.5 Partie arhimédienne . . . 155

3.4.6 Majoration de lahauteur de Faltings . . . 157

4 Étude d'exemples 161 4.1 Variation du orps etrestrition des salairesà laWeil . . . 163

4.1.1 Variationdu orps . . . 163

4.1.2 Restrition des salaires àla Weil . . . 163

4.2 Points de Heegner etourbesmodulaires . . . 165

4.2.1 Cadre général . . . 165

4.2.2 La formulede Gross-Zagier. . . 167

4.2.3 Un équivalent . . . 170

4.2.5 Torsion sur la jaobienne . . . 177

5 Annexes 179

5.1 Extensionen dimension 2par isogénies . . . 181

5.2 Dupliationsur la surfae de Kummer . . . 184

5.2.1 Équation de la surfae de Kummer . . . 185

5.2.2 Formules expliites de dupliation sur lasurfae de Kummer . . . . 185

5.3 Invariants d'Igusa des ourbes de genre 2 . . . 187

liennes

Lorsqu'on s'intéresse à l'arithmétique des variétés abéliennessur les orps de nombres

on est très vite onfronté à la notion de hauteur, déjà présente dans le ÷ur de la preuve

du théorème de Mordell-Weil.

Le présent texte est entièrement onsaré à l'étude d'une onjeture portant sur une

hauteur partiulière et énonée sur les ourbes elliptiques dans un livre de Serge Lang,

puis généraliséeauxvariétésabéliennesde dimension supérieure dansun artilede Joseph

Silverman.S.Langaonjeturédans[Lan78℄p.92uneminorationdelahauteurdeNéron-

Tate d'uneourbeelliptique, qu'on rappelleii:

Conjeture 1. (Lang) Pourtout orps denombres

k

^{, il existeune onstantepositive}

c(k)

telle quepour toute ourbe elliptique

E

^{dénie sur}

k

^{et tout point}

P

^{d'ordre innide}

E(k)

on ait :

b h(P ) ≥ c(k) max n

log N _k/ Q (∆ _E ), h(j _E ) o ,

où

b h(.)

^{est lahauteurdeNéron-Tatesur}

E

^,

N k/Q (∆ E )

^{lanormedudisiminant minimalde}

la ourbe

E

^et

h(j E )

^{la hauteur de Weil} logarithmique et absolue de l'invariant modulaire

j E

^{de laourbe}

E

^.

Remarque : Dans ette onjeture il est équivalent de herher une minoration du

type

b h(P ) ≥ c(k) h F (E/k)

^où

h F (E/k)

^{est la hauteur de Faltings (relative) de la ourbe}

elliptique

E

^{. Dansla}formulationde laquestion quiguredans [Lan78℄,S.Lang ne faisait intervenir quele logarithme du disriminant.

Cette onjeturede Lang aété partiellementdémontrée par M.HindryetJ.Silverman

qui obtiennent dans [HS88℄, orollaire 4.2 (ii) de leur théorème 4.1 (p. 430 et 431), le

résultatsuivant :

Théorème 1. (Hindry, Silverman) Soit

k

^{un orps de nombres de degré}

d

^{. Soit}

E/k

^une

ourbe elliptiquede disiminant minimal

∆ _E

^{et de onduteur}

F _E

^{. On note}

σ _E

^lequotient

de Szpiro déni par

σ E = log N k/Q (∆ E )/ log N k/Q (F E )

^{. Alors pour tout point}

P ∈ E(k)

d'ordre inni on a laminoration :

b h(P ) ≥ (20σ E ) − 8d 10 − 4σ E 1

12 max n

log N k/Q (∆ E ), h(j E ) o .

Cei permet de onlure pour toute famille de ourbes elliptiques pour lesquelles le

quotientde Szpiro est borné uniformément. Uneonjeture de Szpiro arme que 'est en

faitleas de touteslesourbeselliptiquesetentraînedonlaonjeturede Langi-dessus.

La preuve de e théorème repose sur l'existene d'une déomposition de la hauteur de

Néron-Tate en somme de hauteurs loales biennormalisées.

J. Silverman avait démontré auparavant plusieurs as partiuliers de ette onjeture

dans [Sil81℄et [Sil84℄.Par lasuite S.David apublié unepreuve de transendane [Dav92 ℄

orant uneonstante

c(d, σ E )

polynomialeinverse en

d

^et

σ E

^{. On peut iter aussi l'artile}

de M. Krir [Kri01℄ qui expliite sur

k = Q

^{d'une manière un peu diérente e résultat}

de minoration pour des familles de ourbes elliptiquespartiulières. Plus réemment, une

nouvelleonstantepolynomialeinverseaétéobtenueparC.Petshe[Pet06 ℄parlatehnique

de déomposition loale.

Laonjeturesurlesourbeselliptiquesaensuiteétégénéraliséeauxvariétésabéliennes

de dimension supérieure par J.Silvermandans [Sil84℄ p.396 :

Conjeture 2. (Lang, Silverman) Soit

g ≥ 1

^{. Pour tout orpsde nombres}

k

^{, il existeune}

onstante positive

c(k, g)

^{telle que pour toute variété abélienne}

A/k

^{de dimension}

g

^{, pour}

tout diviseur ample

D ∈ Div(A)

^{et tout point}

P ∈ A(k)

^{tel que}

Z · P = { mP | m ∈ Z }

^est

Zariski-dense on ait :

b h _{A, D} (P ) ≥ c(k, g) max n

1, h _F (A/k) o ,

où

b h A, D (.)

^{est la hauteur de Néron-Tate sur}

A

^{assoiée au diviseur}

D

^et

h F (A/k)

^{est la}

hauteur de Faltings (relative) de la variété abélienne

A

^.

Remarque : Il y a plusieurs notions de hauteur d'une variété abélienne. L'énoné de

etteonjeture estplus nave lahauteurde Faltings(relative)ommeminorantqu'ave

lahauteur de Faltingsstable (voir 1.4.1 et1.4.2 pour lesdénitions). Remarquons de plus

que la hauteur de Faltings stable est omparable à une hauteur modulaire, omme par

exemple lahauteur thêta d'unevariétéabélienne (voir 1.4.6 pour les omparaisons).

S.Davidaproposéunepreuvepartielledeetteonjeturegénéralisée,preuvebaséesur

un raisonnementde typetransendane ([Dav93 ℄): il donne une borne inférieure pouvant

tendrevers l'inniavelahauteur (thêta)de lavariété.Plus préisémentilobtientlethéo-

rème, dans lequel on note

F g

^{le domaine de Siegel} (préisément déni dans le paragraphe 1.3) :

Théorème 2. (David) Soient

g ≥ 1

^{un entier,}

k

^{un orps de nombres,}

v

^{une plae}

arhimédienne,

A/k

^{une variété abélienne} prinipalement polarisée de dimension

g

^et

τ v ∈ F g

^{tel que}

A(¯ k v ) ∼ = C ^g /Z ^g + τ v Z ^g

^{. On note}

|| Im τ v || = max i,j | Im τ v,ij |

^{. Posons}

d 0 = max { 2, [k : Q ] }

^et

h = max { 1, h Θ (A) }

^{, la hauteur thêta de}

A

^{. Posons de plus :}

ρ(A, k) = d 0 (h + log d 0 ) k Im τ v k + d

1 g+2

0 .

Alors il existe deux onstantes

c ₁ (g ) > 0

^et

c ₂ (g) > 0

^{telles que tout point}

P ∈ A(k)

vérie :

ou bien il existe une sous-variété abélienne

B ⊂ A

^,

B 6 = A

^{, dont le degré vérie}

deg(B ) ≤ c 2 ρ(A, k) ^g (log(ρ(A, k) ^g ))

^{et telle que le point}

P

^{soit d'ordre inférieur à}

c 2 ρ(A, k) ^g (log(ρ(A, k) ^g ))

^modulo

B

^,

ou bienon a :

b h(P ) ≥ c 1 (g)ρ(A, k) ^{− g} (log(ρ(A, k))) ^{− g} h.

vériant

ρ(A, k)

^{borné. D.Masser utilised'ailleurs es résultatsdans [Mas93℄ pour exhiber}

une famillede variétésabéliennessimplesave

ρ

^{borné,famillevériantdonlaonjeture}

de Lang et Silverman.

Appliations : Unrésultatde minoration uniformeen la variétédu type de l'énoné de

Lang etSilvermanaurait des onséquenes intéressantes pour plusieursproblèmes oner-

nant lesvariétés algébriques. On se limiteraii à deux problèmes appliatifs, en diretion

desquels on trouvera dans la suite des énonés partiels. Tout d'abord les tehniques de

preuve des résultats partiels en diretion de l'inégalité de Lang et Silverman passent gé-

néralement par un raisonnement du type : parmi les

N

^{points distints}

P 1

^,...,

P N

^{, il en}

existe un qui vérie

b h(P i ) > α

^{. Si}

α

^{est stritementpositif, ondéduit donqu'il ne peut}

yavoirplusde

N

^{pointsdehauteur nulle,e quiproureuneborneuniformesurlatorsion}

des variétés abéliennes onsidérées pour peu que

N

^{soituniforme. Le deuxième problème}

liéàes minorationsest l'obtentionde bornesuniformessurlenombredepointsrationnels

d'une ourbe algébriquede genre

g ≥ 2

^{, en passantpar l'étudede la variété jaobienne.}

Nousallonsdonprogresserunpeuendiretiond'uneonjeturelassiquesurlatorsion

des variétésabéliennes :

Conjeture 3. (de torsion forte) Soient

k

^{un orps de nombres de degré}

d

^et

g ≥ 1

^un

entier. Alors il existe une onstante

c(k, g) > 0

^{ne dépendant que de}

k

^et

g

^{telle que pour}

toute variété abélienne

A

^{de dimension}

g

^{dénie sur}

k

^{on a :}

Card

A(k) tors

≤ c(k, g).

Remarque : Il sut de montrer ette onjeture pour

k = Q

^{en toute dimension pour}

en déduire un énoné général ave

c(k, g) = c(Q, dg)

^{ne dépendant que du degré}

d

^{et de}

la dimension

g

^{. En eet, si}

A/k

^{est une variété abélienne,}

B = N k/Q (A)

(restrition des salaires à la Weil, voir le paragraphe 4.1.2) est une variété abélienne dénie sur

Q

^de

dimension

dg

^{ettelle que}

A(k) tors = B (Q) tors

^.

Nous donnerons de plus un résultaten diretion de l'énoné suivant :

Conjeture 4. (Mazur) Soient

k

^{un orps de nombres et}

g ≥ 2

^{un entier. Alors il existe}

une onstante

c = c(k, g) > 0

^{telle que pour toute ourbe}

C

^{de genre}

g

^{dénie sur}

k

^{, si on}

note

A

^{la jaobiennede}

C

^{, on a :}

Card

C(k)

≤ c rang A(k) + 1 .

Remarque: Caporaso,HarrisetMazur montrentdans [CHM97 ℄ qu'uneonjeture très

générale de Lang, disant que l'ensemble des points rationnels d'une variété de type géné-

ral n'est jamais Zariski-dense, implique en fait une borne enore plus uniforme du type

Card(C(k)) ≤ c(k, g)

^{. En utilisant l'étude de [Pa97℄ on peut même espérer une borne}

Card(C(k)) ≤ c(d, g)

^.

Cette thèse se onsare entièrement à l'étude de la onjeture de Lang et Silverman

sur lesvariétés abéliennes età ertaines de ses appliations. Le travail sedivise en quatre

hapitres. Les hapitres 2, 3 et 4 sont largement indépendants les uns des autres. Toutes

leshauteurs de variétés

h(A)

^{impliquéesdans des} majorationsouminorationsdoivent être omprises omme

max { 1, h(A) }

^.

Le premier hapitre sera utile pour toute la suite. Il xe les prinipales notations

et normalisationsdont onaura besoin, à savoir lesdénitions de hauteur d'un pointdans

un espae projetif, hauteur anonique ou de Néron-Tate pour les points d'une variété

abélienne,et lethéorème de Néron de déompositionen hauteurs loales,pointentralde

lastratégied'étude miseen plae.Onaurabesoinde l'espaedeSiegelassoiéauxvariétés

abéliennes prinipalementpolarisées.On étudiera ensuite lesdénitions de hauteur d'une

variétéabélienneutilesdansetexte.OndéniraainsilahauteurdeFaltings,lahauteurde

Faltingsaugmentée,lahauteurde Faltingsstable,lahauteur thêtad'unevariétéabélienne,

et on donnera les omparaisons entre es diérentes notions de hauteur. On rajoutera la

dénition de trae arhimédienne d'une variété abélienne, ainsi qu'un paragraphe sur les

disriminantsassoiés aux ourbes hyperelliptiques.

Leseondhapitreest uneétudedétailléede laonjeturede LangetSilvermanpour

les variétés abéliennes de dimension 2. Une variété abélienne prinipalement polarisée de

dimension 2est isomorphe ou bien à une jaobienne d'une ourbe

C

^{de genre 2 polarisée}

par le diviseur

Θ = C

^{, ou bien à un produit de ourbes} elliptiques

E 1 × E 2

^{, polarisé par}

Θ = E 1 ×{ O } + { O }× E 2

^.

On obtient dans e hapitre un théorème de minoration de la hauteur de Néron-Tate

assoiée au diviseur

Θ

^{en utilisant une tehnique de} déomposition en hauteurs loales légèrement modiées. En eet es hauteurs loales sont dénies à une onstante près, il

y a don plusieurs manières de normaliser es fontions. On met en plae une étude des

diérenesdehauteursloales,equiestunemanièredétournéedexerunenormalisation,

e grâeàune propriété ruialedes pointsde

3

^{-torsionen dimension 2.}Malheureusement ette méthode fait apparaître une ondition au bord de l'espae de modules des variétés

abéliennesprinipalementpolariséesde dimension2.Soit

ε > 0

^{.On notera}

F 2,ε

^et

G 2,ε

^des

sous-ensembles du domaine de Siegel

F ₂

^{dans lesquels on retire un voisinage tubulaire-}

hyperbolique dulieudesproduitsdeourbeselliptiques(voirl'introdutionduhapitre2

pour lesdénitions préises). Lesénonés se plaeront dontoujours dans un telensemble

F 2,ε

^{. La quantité}

Tr(A)

^{est appelée la trae} arhimédienne de la variété abélienne (voir dénitionpréiseen1.5)et

D

^{estun ertain}disriminantassoiéeàlaourbesous-jaente.

Notons de plus queles alulsexpliites etla mise en ÷uvre des estimations des hauteurs

loales aux plaes nies est basée sur l'étude poussée de la surfae de Kummer eetuée

par V. Flynn, N. Smart et M. Stoll dans les artiles [Fly95, FS97, Sto99, Sto02℄. Dans le

as des jaobiennes de dimension 2 simples,le théorème prend laformesuivante :

Théorème 3. Soit

k

^{un orps de nombres de degré}

d

^{. Soit}

ε

^{un réel stritement positif.}

Soient

C/k

^{une ourbe de genre 2 admettant un point de} Weierstrass rationnel sur

k

^et

A

^{sa jaobienne. Alors si}

A

^vérie

τ _v ∈ F _2,ε

^{pour toute plae} arhimédienne

v

^{, il existe}

une onstante

c 1 (d) > 0

^{telle que pour tout point}

P ∈ A(k)

^{l'une des deux} propositions suivantes est vraie :

(1) [n]P = O

^{pour un entier}

1 ≤ n ≤ 2 · 240 ^{4 · 3 16 d} , (2) b h A,2Θ (P ) ≥ c 1

Tr(A) − 63 log N k/Q (D) ,

où on peut prendre

c 1 = 1

160d 2408 · 3 ¹⁶ d

^.

Remarque1: l'hypothèse

τ v ∈ F 2,ε

^{pourtouteplae}

v

arhimédienne peutpeut-être être retirée dans le as où le orps

k

^{n'a qu'une plae} arhimédienne, en partiulier pour

k = Q

^{. Il sut de faire une moyenne restreinte sur les points d'ordre 3, non pas sur 80}

pointsmaissur72pointsbienhoisis.Celaseferaauprixdelapertedu aratèreexpliite

de la onstante

c 1

^{du théorème 3.}

Remarque 2 : On va don être amené dans les énonés suivants à supposer que l'on

a

Tr(A) ≥ 64 log N k/Q (D)

^{. Imposer une hypothèse du type}

Tr(A) ≥ c log N k/Q (D)

^n'est

pas rien. En dimension 1, une onjeture de Hall (voir par exemple [Sil92℄ p. 268) prédit

que seul un nombre ni de ourbeselliptiquespeuventla vériersi laonstante

c

^{est trop}

grande :on mèneune étudeà e sujetdans un paragraphe suédant authéorème 2.7.4.

Cependantl'espaede modulesdes ourbesde genre2est dedimension 3:eipermet

d'obtenirdesfamillesinniesdejaobiennesvériantetteonditionsurledisriminant.On

verradansleparagraphesuédantauthéorème2.5.3e quel'on peutmontrerenutilisant

l'artilede Igusa[Igu62℄.Cetteremarqueesttoutefoisunemotivationsupplémentairepour

herher, dans le futur, à obtenirdes ontributions positivesaux plaes nies.

Remarque 3 : L'existene d'un point de Weierstrass rationnel sur

k

^{est équivalente à}

l'existene d'unmodèle

y ² = F (x)

^ave

deg(F ) = 5

^sur

k

^{.Ilsutd'eetuerune extension}

de

k

^{de degré inférieur ouégal à 2 pour obtenir un point de} Weierstrass rationnelsur

k

^.

On déduitimmédiatement de e théorème le orollairesuivant :

Corollaire 1. Soient

k

^{un orps de nombres de degré}

d

^et

ε > 0

^{. Soient}

C/k

^{une ourbe}

de genre

2

^{de modèle}

y ² = F (x)

^ave

deg(F ) = 5

^et

A/k

^{sa jaobienne. Soient}

Tr(A)

^sa

trae arhimédienne et

D = 2 ⁸ disc(F )

^{. On suppose que pour toute plae} arhimédienne

v

on a

τ _v ∈ F _2,ε

^{et que:}

Tr(A) ≥ 64 log N k/Q (D).

Alors on a :

Card

A(k) tors

≤ 2 ⁴ · 24016 · 3 ¹⁶ d.

qui donne un théorème plus faible que elui de M. Hindry et J. Silverman dans [HS88℄,

mais quipermet d'aboutir àun énoné faisantintervenirles mêmesquantités quepour les

jaobiennes simples.

Le hapitre 2 renferme aussi la preuve du théorème de majoration suivant, basé sur

l'expressionde lahauteur de Faltingsdonnée dans[Uen88℄;onnoteii

h ^′ _F (A/k)

^lahauteur

de Faltings augmentée :

Théorème4. Soit

k

^{unorpsdenombresdedegré}

d

^.Soit

ε

^{unréelstritementpositif.Soit}

C/k

^{une ourbede genre 2 avebonnerédutionen}

2

^{, prisedans un modèle}hyperelliptique

y ² = F (x)

^ave

deg(F ) = 5

^{. On note}

D = 2 ⁸ disc(F )

^{. On suppose que la jaobienne}

A = Jac(C)

^vérie

τ v ∈ G 2,ε

^{pourtouteplae}arhimédienne

v

^{.Alorsilexistedesonstantes}

c 3 (d) > 0

^et

c 4 (d) > 0

^{telles que:}

h ^′ _F (A/k) ≤ c 3 Tr(A) + c 4 log N k/Q (D),

et on peut prendre :

c 3 = 5π + 2

20d

^et

c 4 = 1 10d

^.

Notons que e théorème est un pas vers la onjeture 1.7 de S. David donnée dans

[Dav93 ℄ p. 513. Laonjontion des théorèmes 3et 4fournit alors leorollairesuivant :

Corollaire 2. Soient

k

^{unorpsde nombresde degré}

d

^et

ε > 0

^{. Soit}

(A, Θ)/k

^{une variété}

abélienne prinipalement polarisée de dimension 2. Si

A

^{est simple, on suppose que}

τ v ∈ G 2,ε

^{pourtoute plae}

v

arhimédienneetquelaourbe sous-jaenteabonnerédutionen

2

^.

On prend le modèle

y ² = F (x)

^ave

deg(F ) = 5

^{. On suppose que}

Tr(A) ≥ 64 log N k/Q (D)

^.

Alorsilexisteune onstante

c(d) > 0

^{tellequepourtoutpoint}

P ∈ A(k)

^vériant

Z· P = A

on a :

b h A,2Θ (P ) ≥ c h ^′ _F (A/k),

et on peut prendre

c = 0, 00005 2408 · 3 ¹⁶ d

^.

Lesthéorèmes1et2,ainsiqueeorollaire,permettentdevérierlaonjeturedeLang

et Silverman pour une large lasse de variétés abéliennes de dimension 2, par exemple les

jaobiennes simples qui ont potentiellement bonne rédution (on énone ii le orollaire

2.8.4) :

Corollaire 3. Soit

k

^{un orps de nombres de degré}

d

^{. Soit}

ε

^{un réel stritement positif.}

Soit

C/k

^{une ourbe de genre 2 donnée dans un modèle} hyperelliptique entier

y ² = F (x)

ave

deg(F ) = 5

^{et telle que}

C/k

^a potentiellement bonne rédution partout. Soit

A

^la

jaobiennede

C

^{,simpleet vériant}

τ v ∈ G 2,ε

^{pourtouteplae}

v

arhimédienne.Alors pour tout point

P ∈ A(k)

^{d'ordre inni on a :}

b h A,2Θ (P ) ≥ 0, 0007

240320 · 15 ¹⁶ d h ^′ _st (A).

ontre le théorème de S. David se passe de l'hypothèse arhimédienne dont on a besoin

pour mener à bien lastratégie loale.

On rajoute un dernier énoné dans la présentation de e hapitre 2, onernant les

points rationnels sur les ourbes de genre 2. On ompare deux tehniques de reherhe de

borne sur le nombre de points rationnels d'une ourbe de genre 2. Unepremière méthode

onsiste à utiliser lestravauxde T. de Diego[dD97℄ où est mis en plae un raisonnement

en famille. La seonde se base sur l'artile [Rém00℄ de G. Rémond, où gure une borne

qui dépend enore de la hauteur de Faltings de la jaobienne. Combinées au orollaire 2

i-avant,lesdeux méthodes donnentlemêmegenre de borne.Voiilerésultatobtenuave

laseonde :

Corollaire 4. Soient

k

^{un orps de nombres et}

ε > 0

^{. Soit}

C/k

^{une ourbe de genre 2,}

ave bonne rédution en toute plae divisant

2

^{, donnée dans un modèle}

y ² = F (x)

^ave

deg(F ) = 5

^{. On notera}

D = 2 ⁸ disc(F )

^{. Soit}

A/k

^{la jaobienne de}

C

^{. On suppose que}

pour touteplae arhimédienne

v

^{, lamatrie de périodes}

τ v ∈ G 2,ε

^{. On supposede plus que}

Tr(A) ≥ 64 log N _k/ Q (D)

^{. Alorsilexisteuneonstante}

c ₂ (d)

^{nedépendantquede}

d = [k : Q ]

telle que :

Card(C(k)) ≤ c rang A(k) + 1

2 ,

et on peut hoisir :

c 2 = 240( d + 1)2 ³⁵ .

Le troisième hapitre est une généralisation de la méthode utilisée en dimension 2

aux variétés abéliennesde dimension

g ≥ 2

^{. Les diultés prinipales à surmonter, outre}

latehniité aruede ertainsaluls,sont lessuivantes : tout d'abord on ne dispose pas

de l'équivalentde l'étude expliitede V. Flynn, N. SmartetM. Stoll.On adon hoisi de

omposer ave les oordonnées de Mumford déniesdans [Mum66℄ pour étudierles plaes

nies,plusexatementave lesoordonnéesde Mumfordmodiées introduitesdansl'artile

[DP02℄. Pour réunirles informationsloales en un théorème global,il fautensuite trouver

un niveau de torsion

N

^{ad ho, jouant le même rle que}

N = 3

^pour

g = 2

^{. On a besoin}

pour ela à lafois d'une propriété algébrique du type

N = 2 ^s − 1

^{, et d'une propriété}

analytique du type

N > c( L , g)

^{, où}

c( L , g)

^{est une onstante stritement positive ne}

dépendant que de

g

^{et du plongementprojetif assoiéau bré}

L

^{au-dessus d'une variété}

abélienne

A

^{. Il faut ensuiteprendre des préautions ave l'espaede modules des variétés}

abéliennes prinipalement polarisées de dimension

g

^{. On notera}

F _g,ε

^un sous-ensemble de et espae dans lequel on enlève un nombre ni d'hypersurfaes analytiques épaissies

(voisinages tubulaires-hyperboliques de taille

ε

^{, voir dénition préise au paragraphe}

3.1.2). Ces hypersurfaes sont diretement liées au niveau de torsion

N

^{hoisi au départ.}

On note làenore

Tr(A)

^{la trae}arhimédienne de

A

^,

h fini (A)

^{lapartie niede lahauteur}

thêta de

A

^et

S

ⁿⁱ

(A)

^{le terme issu de la} multipliation par

[2 ^s ]

^{, voir les} paragraphes 1.5 et 3.2.10pour lesdénitions préises. Finalementon peut armer :

Théorème 5. Soit

k

^{un orpsde nombres de degré}

d

^{, notons}

m = | M _k ^∞ |

^{. Soient}

g ≥ 2

^un

entier et

ε > 0

^{. Alors il existe des onstantes}

c 1 (d, g) > 0

^et

c 2 (d, g) > 0

^{telles que pour}

toute variété abélienne simple de dimension

g

prinipalement polarisée

(A, Θ)/k

^vériant

que

τ v ∈ F g,ε

^{pour toute plae}

v

arhimédienne, et pour tout point

P ∈ A(k)

^{d'ordre inni}

modulo toute sous-variété abélienne :

b h A,16Θ (P ) ≥ c 1 Tr(A) − c 2

h fini (A) + S fini (A) ,

et on peut prendre :

c 1 = π4 ^g g!

d g ² (4 ^2g g!) ⁴ (16 ^{(g+1) 2} (g!) ^2g+2 ) ^4gm+1 , c 2 = 1

d g ² (4 ^2g g !) ⁴ (16 ^{(g+1) 2} (g!) ^2g+2 ) ^4gm .

L'esprit dee théorème est lemêmequ'en dimension2,notreutilisationde laméthode

desdiérenes dehauteursloalesmetenoppositionlesplaesarhimédiennesetlesplaes

nies, aboutissant à un théorème de minoration non trivial dès que la somme des ontri-

butions arhimédiennes domine la somme des ontributions aux plaes nies. On pourra

déduireune borne onditionnellesur latorsion, de la mêmemanière quedans leas de la

dimension 2. Il sera intéressant à l'avenir de herher à faire ontribuer positivement les

plaes nies etd'ainsi viserun minoranttoujours positif.

Ce troisième hapitre renferme de plus une expression expliite de la hauteur de Fal-

tings pour les jaobiennes de ourbes hyperelliptiques de genre

g

^{. C'est la} généralisation de laformulede K.Ueno de l'artile[Uen88℄, établieiigrâe àl'utilisationde l'artilede

P. Lokhart [Lo94℄. Une fois ette formulemontrée, on travaille dans un sous-espae de

modules

G g,ε

^{exluant les voisinages} tubulaires-hyperboliques d'un nombre ni d'hy- persurfaes analytiques (voir dénition préiseen 3.1.3),e quipermet d'estimer :

Théorème 6. Soit

k

^{un orps de nombres de degré}

d

^{. Soient}

g ≥ 2

^{un entier et}

ε > 0

^.

Alorsil existe des onstantes

c ₃ (d, g) > 0

^et

c ₄ (d, g) > 0

^{telles que: pour touteourbe}

C/k

hyperelliptique dénie sur

k

^{de genre}

g

^{, de} disriminant minimal

∆ min

^{, si la jaobienne}

(Jac(C), Θ)

^, prinipalementpolarisée par lediviseur

Θ

^{, admet des matries}

τ v ∈ G g,ε

^pour

toute plae arhimédienne

v

^{, on a :}

h ^′ _st (Jac(C)) ≤ c 3 Tr(Jac(C)) + c 4 log N k/Q (∆ min ),

et on peut prendre

c 3 = 4π + 2

d

^et

c 4 = g (8g + 4)d

^.

On peutdéduiredes théorèmes 5et6leorollairesuivanten diretionde laonjeture

de Lang et Silverman :

Corollaire 5. Soit

k

^{unorpsde nombresde degré}

d

^{. Soient}

g ≥ 2

^{un entieret}

ε > 0

^.Soit

C/k

^{une ourbe} hyperelliptique dénie sur

k

^{de genre}

g

^{, de} disriminant minimal

∆ min

^.

On suppose quesa jaobienne

(A, Θ)

^{est simple,}prinipalement polarisée par lediviseur

Θ

et admet des matries

τ v ∈ G g,ε ∩ F g,ε

^{pour toute plae}arhimédienne

v

^{. On suppose, pour}

c 5 = c 5 (g)

^{une onstantedonnée :}

Tr(A) ≥ c ₅ max n

h _fini (A) + S _fini (A), log N _k/ Q (∆ _min ) o ,

alors il existe une onstante

c = c(d, g) > 0

^{ne dépendant que de}

d

^et

g

^{telle que pour}

tout point

P ∈ Jac(C)(k)

^{d'ordre innimodulo toute} sous-variété abélienne :

b h A,16Θ (P ) ≥ c h ^′ _st (A).

De plus on peut prendre :

c 5 = 16 ^{(g+1) 2} (g!) ^2g+1

π4 ^g +1 et c =

16( g + 1) ² (g!)2 g + 2 ₋ 5gd .

A priori et énoné est moins puissant que elui de S. David en dimension

g

^{ar res-}

treintauxjaobiennes de ourbes hypelliptiqueset aubléd'une hypothèse arhimédienne

diilement alulable. De plus, s'il est lair qu'on peut trouver des familles de variétés

ave

Tr(A)

^dominant

h _fini (A)

^{, il est moins évident de ontrler les} ontributions nies de lahauteur des formes représentant lamultipliationpar

[2 ^s ]

^{, regroupées dans}

S fini (A)

^.

Plusieurs points méritent d'être soulignésependant. Tout d'abord la méthode sépare

lesplaesniesetlesplaesarhimédiennes,equilaisseespérerdesénonésfutursmoyen-

nant des hypothèses de rédutions. Cei n'est pas diretement possible ave le théorème

de S.David.Enoutreonpeut espérer,moyennantun alulde lahauteurde Faltingssans

hypothèsedesemi-stabilitésurlaourbe,pouvoirobtenirun minorantfaisantintervenirla

hauteurde Faltingsaugmentéerelative auorps

k

^{,quiest unmajorantde lahauteur thêta}

utiliséepour obtenir lerésultatde [Dav93℄rappeléplushaut (lahauteur thêta est ompa-

rable à lahauteur de Faltings stable). Enn, età lalumière de l'historiquedes reherhes

sur laonjeture de Lang et Silverman, e orollaireva dans le sens de laremarque de S.

David suivante : les tehniques de preuve de transendane et de déomposition en hau-

teurs loales semblent aboutir par des voies diérentes aux mêmes résultats, 'est-à-dire

en l'état atuel des onnaissanes, à des résultatsdans leas oùlesplaes arhimédiennes

dominent.

Remarque : On peut bien sûr déduire, sous des hypothèses analogues, des énonés

partielssur lenombre de pointsde torsiond'unevariété abéliennededimension

g

^{etsur le}

nombredepointsrationnelsd'uneourbehyperelliptiquedegenre

g

^{.Parsouideonision,}

nous laissons auleteur le soin de formuler es orollaires (voir les orollaires1 et 4 dans

le as

g = 2

^).

Lequatrième hapitre est unhapitre d'étudede ladépendane delaonstantepré-

sente dans l'inégalité de Lang et Silverman. On montre très failement, par exemple par

de dénition des points rationnels

P

^{onsidérés. En utilisant la restrition des salaires}

à la Weil, on montre aussi qu'on doit onsidérer la dimension du plus petit sous-groupe

algébrique ontenant

P

^{. La néessité de la dépendane en la dimension de lavariété abé-}

lienne ambiante, lorsqu'on se restreint auxpointsvériant que

Z· P

^est Zariski-dense, est un peu moins évidente. On traite en détail le as des jaobiennes de ourbes modulaires

J 0 (N)

^{. Plus exatement onproduit un équivalent de lahauteur de Néron-Tate d'un point}

de Heegner lorsque le niveau

N

^{est grand,} généralisant une démarhe déjà présente dans [MU98℄. Pour

k

^{unorps de nombres dontl'anneaudes entiers estnoté}

O ^k

^,onnote

h k

^son

nombrede lasses,

u k

^{lamoitiédu ardinalde ses unités et}

N k

^{un ensemblede produits de}

premiersappartenant àdes lassesde ongruenes onstitué des entiers

N

^{tels qu'ilexiste}

un pointde Heegnerassoié à

O ^k

^sur

X 0 (N )

^{.Le résultat est lesuivant :}

Théorème 7. Soit

k

^{un orps}quadratique dont le disriminant

D

^{vérie les onditions :}

D < 0

^,

D

^{est sans fateur arré et}

D ≡ 1 (mod 4)

^{. Soit}

x D ∈ X 0 (N)

^{un point de Heegner}

assoiéà

k

^{et posons :}

c D = (x D ) − ( ∞ )

^{. Alors on a :}

b h J 0 (N) (c D ) ∼ h k u k log(N ),

lorsque

N ∈ N k

^{tend vers l'inni.}

Notons

g(N )

^{ladimension de}

J 0 (N )

^. L'utilisationde l'équivalent (obtenu dans [JK08℄

grâe à des aluls de géométrie hyperbolique omplexe)

h st (J 0 (N)) ∼ ^g(N) ₃ log(N)

^{de la}

hauteur de Faltingsde

J 0 (N )

^lorsque

N

^{est grand permet, par omparaisondes asympto-}

tiques, de onlure aufait suivant:

Corollaire 6. Soit

k

^{un orps} quadratique dont le disriminant

D

^{vérie les onditions :}

D < 0

^,

D

^{est sans fateur arré et}

D ≡ 1 (mod 4)

^{. Soit}

x D ∈ X 0 (N)

^{un point de Heegner}

assoiéà

k

^{et posons :}

c _D = (x _D ) − ( ∞ )

^{. Notons}

g(N )

^{legenre de}

X ₀ (N )

^{. Alors on a :}

b h J 0 (N) (c D ) ∼ 3h k u k

g(N) h st (J 0 (N )),

lorsque

N ∈ N k

^{tend vers l'inni.}

Remarque :

Il faut noter queles exemplesdéveloppés dans e hapitre indiquent que,pour obtenir

une inégalitédu type

b h A,Θ (P ) ≥ c h F (A/k)

^{, onne peut se dispenser en généralde :}

ladépendane en leorps

k

^{de la onstante}

c

^;

ladépendane en ladimension

g

^{de laonstante}

c

^;

l'hypothèse

Z· P = A

^.

ommentaugmenterledomainedevaliditéduorollaire2i-avantenutilisantdesisogénies

partiulières. On pourrait généraliser enore un peu. Il n'est pas impossible que ette

voied'attaque permette à l'avenir de faire disparaître la ondition au bord de l'espae de

modules. La deuxième annexe renferme les formules expliites utiles pour les aluls sur

la surfae de Kummer. La dernière annexe donne les formules des invariants d'Igusa des

ourbes de genre 2.

Généralités sur les hauteurs

Soit

k

^{un orpsde nombres. On note}

d = [k : Q ]

^{son degrésur}

Q

^{. On noteradans tout}

le texte

M k

^{l'ensemble de ses plaes (deux à deux non} équivalentes),

M _k ^∞

^{l'ensemble de}

ses plaes arhimédienneset

M _k ⁰

^{l'ensemble de ses plaes nies. Pour toute plae}

v ∈ M k

^,

onnotera

k _v

^{le omplété de}

k

^{pour lavaluation}

| . | v

^{assoiée àla plae}

v

^{, où onnormalise}

| p | ^v = p ^{− 1}

^{pour toute plae nie}

v

^{au-dessus d'un nombre premier}

p

^{. Pour les plaes}

arhimédiennes on prendra la valeur absolue usuelle. On notera de plus

d v = [k v : Q v ]

^le

degré loalen

v

^et:

n v = d v

d = [k v : Q v ] [k : Q] .

Soient

n ≥ 1

^{un entier naturel et}

P Q ⁿ ¯

^{l'espae projetif sur}

Q ¯

^{de dimension}

n

^{. Soit}

x = (x 0 : ... : x n ) ∈ P ⁿ Q ¯

^{un point projetif etsoit}

k

^{un orpsontenant}

x

^{, i.e.ontenant ses}

oordonnées. Alorson dénitla hauteur de

x

^{ommeétant :}

h(x) = X

v ∈ M k

n v log max

i ∈ J0,nK | x i | ^v .

C'estunnombrepositifounulquine dépendnidelanormalisationdupoint

x

^(formule

du produit), nidu orps ontenant

x

^(formuled'extension).

Soient

X/k

^{une variété projetive sur}

k

^,

D

^{un diviseur très ample sur}

X

^et

ϕ _D

^un

plongement de

X

^{dans un espae projetif}

P ⁿ

^{. Alors on peut dénir une hauteur sur}

X

^{, appelée hauteur de Weil, de la manière suivante : pour tout point}

k ¯

^-rationnel

P

^(i.e.

P ∈ X(¯ k)

^{) onpose :}

h X, D (P ) := h(ϕ _D (P )).

Si lediviseur

D

^{n'est pas très ample,onpeut toujours érire}

D = D 1 − D 2

^{, ave}

D 1

^et

D 2

^{très amples. On posera alors :}

h X, D (P ) := h(ϕ _{D 1} (P )) − h(ϕ _{D 2} (P )).

On vérie ensuiteque ettedénition ne dépend nidu morphisme

ϕ _D

^{,nide ladéom-}

position

D = D 1 − D 2

^{, à une fontion bornée près. Toutes es vériations sont faites en}

détails dans la littérature, voir par exemple [HS00℄ p. 186, dans le ours de la preuve du

théorème Weil'sHeight Mahine.

Soient

A/k

^{unevariétéabéliennesur}

k

^,

D

^{undiviseur ampleetsymétrique sur}

A

^.Pour

tout entier naturel

n ≥ 1

^{on note}

[n]P

^{le point}

[n − 1]P + P

^{, où le symbole}

+

^{, est}

ii l'addition sur

A

^{, et}

[1]P = P

^{. On dénit alors la hauteur anonique, ou hauteur de}

Néron-Tate, d'un point

P ∈ A(k)

^{,par laformule:}

b h _{A, D} (P ) := lim

n → + ∞

h _{A, D} ([n]P )

n ² .

Une hauteur de Weil assoiée à un diviseur

D

^{sur une variété abélienne}

A/k

^{est par}

dénitionunesommeindexéeparlesplaesde

k

^{de fontionsàvaleursréelles(dénieshors}

du diviseur

D

^{).C'estde plus unefontion vériantlarelationsuivante(issuedu théorème}

du ube):ilexiste une onstante

c

^{telleque pour touspoints}

P, Q, R ∈ A(k)

^{,eten notant}

temporairement

h = h A, D

^:

h(P + Q + R) − h(P + Q) − h(Q + R) − h(R + P ) + h(P ) + h(Q) + h(R) ≤ c.

Sionsupposede plusquelediviseur

D

^{estsymétriqueonobtient(enprenant}

R = − Q

⁾

une relation de quasi-parallélogramme:

h(P + Q) + h(P − Q) − 2h(P ) − 2h(Q) ≤ c.

Le passageà la limiteeetué pour dénirla hauteur de Néron-Tate permetd'obtenir

c = 0

^{. Cetteonstrution oredon l'avantage suivant: lahauteur de Néron-Tate devient}

une forme quadratique, dont le ne isotrope est le sous-groupe de torsion de la variété

abélienne.

A. Néron souhaitait retrouverune déomposition loale de ette hauteur anonique, si

possible en obtenant une somme de formes quadratiques loales. On donne ii l'aboutis-

sement des travaux de A. Néron permettant de déomposer la hauteur de Néron-Tate en

une sommede hauteurs loales.Ladéompositions'éritommesuit (voir [HS00℄p.242) :

Théorème1.2.1. (Néron)Soit

A/k

^{une variétéabéliennedénie surun orpsdenombres}

k

^.Soit

M k

^{l'ensembledesplaesde}

k

^{.Pourtoutdiviseur}

D

^sur

A

^onnote

A _D = A \ supp( D )

^.

Alors pour toute plae

v ∈ M k

^{il existe une fontion hauteur loale, unique à une fontion}

onstante près :

b λ _D ,v : A _D (k v ) −→ R,

appelée hauteur loale anonique, dépendant du hoix de

D

^{et vériant les propriétés}

suivantes, ave

γ i,v

^{des onstantes dépendantde}

v

^:

1.

b λ _{D 1} + D 2 ,v = b λ _{D 1} ,v + λ b _{D 2} ,v + γ 1,v

^.

2. Si

D = div(f )

^{, alors}

b λ _D ,v = v ◦ f + γ 2,v

^.

3. Si

Φ : B → A

^{est un morphisme de variétés abéliennes alors on a la relation :}

b λ Φ ^∗ D ,v = λ b _D ,v ◦ Φ + γ 3,v

^.

4. Soit

Q ∈ A(k)

^{et soit}

t Q : A → A

^la translation par

Q

^{. Alors on a la relation :}

b λ t ^∗ _Q D ,v = λ b _D ,v ◦ t Q + γ 4,v

^.

5. Soit

b h A, D

^{la hauteur globale anonique de}

A

^{assoiée à}

D

^{. Il existe une onstante}

c

telle que, pour tout

P ∈ A _D (k)

^:

b h A, D (P ) = X

v ∈ M k

n v b λ _D ,v (P ) + c.

6. Si

D

^vérie

[2] ^∗ D = 4 D + div(f )

^pour

f

^{une fontion} rationnelle sur

A

^{et sil'on xe}

les onstantes de telle sorte qu'on ait la relation

λ b _D ,v ([2]P ) = 4 b λ _D ,v (P ) + v(f (P ))

^,

alors :

b h A, D (P ) = X

v ∈ M _k

n v λ b _D ,v (P ).

(Notons que

f

^{est unique à} multipliation par une onstante

a ∈ k ^∗

^près.)

Remarque : On utilise e théorème dans les hapitres 2 et 3. Dans le hapitre 4, on

prendra le point de vue symbole de Néron, dont les propriétés sont étudiées dans

[Nér65℄.Essentiellementpourundiviseur

D

^{,un point}

P

^{horsdu supportde}

D

^etuneplae

v

^de

k

^onaura

b λ _D ,v (P ) =< D , P > v

^.

1.3 Espae de Siegel

Soit

v

^{une plae} arhimédienne. On notera

H g

^{l'espae de Siegel assoié aux variétés}

abéliennessur

¯ k v

prinipalementpolarisées de dimension

g

^{etmunies d'une base symple-}

tique (on pourra onsulter [LB92℄ p. 213). C'est l'ensemble des matries

τ = τ _v

^{de taille}

g × g

symétriquesàoeientsomplexesetvériantlaondition

Im τ > 0

^{(i.e.déniepo-}

sitive). Cet espae est muni d'une ationtransitivedu groupe sympletique

Γ = Sp(2g, R)

donnée par :

A B C D

· τ = (Aτ + B )(Cτ + D) ^{− 1} .

On onsidèrealors

F g

^undomainefondamentalpour l'ationdu sous-groupe

Sp(2g, Z)

^.

On peut hoisir

F g

^{de telle sorte qu'une matrie}

τ

^{de e domainevérie en partiulier les}

onditions suivantes (voir[Fre83℄ p. 34) :

S1 : Pour tout

σ ∈ Sp _2g (Z)

^{ona :}

det(Im(σ.τ )) ≤ det(Im(τ ))

^{. On dira que}

Im τ

^est

maximale pour l'ation de

Sp _2g ( Z )

^.

S2: Si

Re(τ ) = (a _i,j )

^alors

| a _i,j | ≤ ¹ ₂

^.

S3 : Si

Im(τ) = (b i,j )

^{alors pour tout}

l ∈ { 1, ..., g }

^{et tout}

ζ = (ζ 1 , ..., ζ g ) ∈ Z ^g

^tel

que

pgcd(ζ 1 , ..., ζ l ) = 1

^{on a}

^t ζ Im(τ )ζ ≥ b l,l

^{. De plus pour tout}

i ∈ { 1, ..., g }

^{on a}

b i,i+1 ≥ 0

^{. On impose enn}

b g,g ≥ ... ≥ b 1,1 ≥ √

3/2

^et

b i,i /2 ≥ | b i,j |

^.

En dimension

g = 2

^{onaura en partiulier les}inégalités,utilisées onstammentdans le hapitre 2(on note

τ 1 = τ 11

^et

τ 2 = τ 22

^):

Im τ 2 ≥ Im τ 1 ≥ 2 Im τ 12 ≥ 0, Im τ 1 ≥ ^√ ₂ ³ .

Dans tout le texte, les matries

τ

^{seront toujours supposées appartenir au domaine}

fondamental

F g

^.

Nousavonsdénilahauteursurlespointsd'unevariétéabélienne,ilnousfautàprésent

donnerune dénition de lahauteur de lavariété elle-même.Il y aplusieurs possibilitésde

dénition dans la littérature, nous allons en utiliser deux, à savoir la hauteur de Faltings

et la hauteur thêta, qui haune ont leurs avantages et qui sont omparables (onfer la

remarque 3du paragraphesur la hauteur thêta).

Hauteur de Faltings

Soient

k

^{un orps de nombres et}

S = Spec( O ^k )

^{le spetre de son anneau d'entiers. Un}

bré vetoriel métrisé de rang

r

^sur

S

^{est un}

O k

^{-moduleprojetif}

L

^{de rang}

r

^{muni d'une}

olletion

{|| . || v } v ∈ M _k ^∞

^{telle que}

|| . || v

^{est une norme} hermitienne sur le

k v

^{-espae vetoriel}

L ⊗ O k ¯ k v

^{, vériant}

|| x || v = || x ¯ || ¯ v

^{pour tout plongement}

v : k ֒ → C

^.

Le degré d'Arakelov d'un bré en droites métrisé

( L , || . || v )

^sur

S

^{est déni, en prenant}

un élémentnon nul

s ∈ L

^:

deg( d L ) = log Card

L /s O k

− X

v:k֒ → C

d v log || s || v .

Ce degré ne dépend pas du hoixde

s

^{non nul} (appliationde laformule du produit).

Soit alors

A/k

^{une variété abélienne de dimension}

g ≥ 1

^{. Soient}

A → S

^{son modèle}

de Néron,

ε : S → A

^{sa setionneutre et}

Ω ^g _{A /S}

^{le faiseau des}

g

^-formes diérentielles, qui est loalement libre de rang

1

^{. On pose}

ω _A /S = ε ^∗ (Ω ^g _{A /S} )

^{; 'est un bré en droites sur}

S = Spec( O ^k )

^{qu'on peut identier au module de ses setions globales. On le munit des}

métriques suivantes :

∀ α ∈ ω _A /S ⊗ ^v C, || α || ² v = 1 2 ^g

Z

A v (C) | α ∧ α ¯ | .

On dénitalors :

Dénition 1.4.1. Soit

A/k

^{une variété abélienne dénie sur un orps de nombres}

k

^{. On}

appellehauteurdeFaltingsrelativeà

k

^{ouplussimplement hauteurdeFaltingslaquantité:}

h F (A/k) = 1

d d deg(ω _A /S ).

Dénition 1.4.2. Soit

A/k

^{une variété abélienne dénie sur un orpsde nombres}

k

^{. Soit}

k ^′

^{uneextensionde}

k

^telleque

A/k ^′

^{aquièrerédution}semi-stable.On appellealors hauteur de Faltings stable la hauteur de Faltings relative à

k ^′

^{et on note :}

h st (A) = h F (A/k ^′ ).