Développement de métamatériaux super-absorbants pour l’acoustique sous-marine

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pour l’acoustique sous-marine

Margaux Thieury

To cite this version:

Margaux Thieury. Développement de métamatériaux super-absorbants pour l’acoustique sous-marine. Physique [physics]. Université Paris sciences et lettres, 2020. Français. �NNT : 2020UPSLS004�. �tel-03132690�

de la ville de Paris

À l’institut Langevin - Ondes et Images et au laboratoire Matière et Systèmes Complexes

Développement de métamatériaux super-absorbants pour

l’acoustique sous-marine

Margaux Thieury

Physique en Île-de-France

Physique

Directrice de recherche CNRS-ESPCI Paris

Présidente

Thomas Brunet

Maître de conférence (HDR), Université de Bordeaux

Rapporteur

Philippe Roux

Directeur de recherche CNRS, Univer-sité Grenoble Alpes

Rapporteur

Anne-Christine Hladky

Directrice de Recherche CNRS, IEMN Lille

Examinatrice

Valentin Leroy

Directeur de recherche CNRS, Univer-sité de Paris

Co-Directeur de thèse

Arnaud Tourin

Il y a trois ans, une amie m’a dit : "tu peux foncer les yeux fermés faire une thèse avec Arnaud Tourin et Valentin Leroy". Alors c’est ce que j’ai fait. Et il semble effectivement qu’elle ne se soit pas trompée ; Arnaud et Valentin se sont révélés être des directeurs de thèse idéaux sur tous points et complémentaires dont le soutien et la bienveillance constants m’ont permis de prendre confiance en moi pour arriver au bout de la thèse.

Aussi je voudrais remercier infiniment Valentin pour m’avoir transmis sa passion des bulles et dont la persévérance a été un modèle à suivre tout au long de ce projet. Un tout aussi grand merci à Arnaud, qui malgré son poste de directeur à l’institut Langevin a toujours trouvé le temps de discuter, de partager et de porter un regard neuf sur les questions que l’on s’est posés.

La bonne ambiance de travail que j’ai trouvé au sein de l’Institut Langevin compte tout autant que l’exceptionnel encadrement scientifique dont j’ai pu bénéficier. Et je re-mercie pour cela tous les membres de l’institut Langevin et en particulier toute la petite famille de doctorants et post-doctorants. En commençant par mes camarades du bureau R32 qui se sont relayés : Elodie, Samuel, Simon, Philipp, Claire, Vincent, Mathieu, Loub-nan, Clément. Merci à Romain pour ses cours d’origami, à Léo pour sa bonne humeur communicative malgré son manque d’ouverture cinématographique, merci à Kass en lui souhaitant bonne chance avec tous ces garçons, et merci à Max pour l’organisation de ces vacances épiques. Un merci également aux bureaux d’à côté : Jules, Maxime, François, William, Jeanne, Noet, Camilo.

Je n’oublie pas de remercier l’équipe "support" de l’institut pour son aide quotidienne qui ont largement contribué à me faciliter le travail durant ces trois ans.

Je remercie Thales DMS pour avoir financé ces travaux et toute l’équipe que j’ai cô-toyée pendant mes courts séjours en entreprise. Surtout merci à Jean Dasse, mon tuteur scientifique, pour son suivi tout au long de la thèse et son aide indispensable pour me lancer dans les simulations numériques.

Je souhaite également profiter des ces lignes pour remercier chaleureusement mes deux rapporteurs, Thomas Brunet et Philippe Roux, qui ont lu minutieusement mon manuscrit ainsi que Anne-Christine Hladky et Claire Prada qui m’ont accordé l’honneur de partici-per à mon jury de soutenance.

Enfin je remercie tous mes amis qui m’ont épaulé durant cette thèse, ceux de la cité universitaire, ma famille "cheval", et bien sûr Camille pour m’avoir lancée dans cette aventure et à qui je pardonne volontiers cette folie. Pour finir, un immense merci à ma famille, qui malgré l’éloignement a toujours été là quand il le fallait.

Remerciements 1

Introduction 7

1 Contexte de l’étude et état de l’art 11

1.1 Contexte . . . 12

1.1.1 Anéchoïsme et masquage . . . 12

1.1.2 Caractéristiques recherchées pour un revêtement anéchoïque . . . . 13

1.2 Revêtements anéchoïques pour l’acoustique sous-marine . . . 14

1.2.1 Matériaux macro-inclusionnaires . . . 14

1.2.2 Matériaux micro-inclusionnaires . . . 15

1.2.3 Autres solutions possibles pour améliorer l’anéchoïsme du sous marin 16 1.3 Métamatériaux . . . 16

1.4 Méta-écrans bulleux . . . 17

2 Modèle analytique pour les méta-écrans bulleux 19 2.1 Diffusion acoustique par une bulle unique . . . 20

2.1.1 Résonance de Minnaert d’une bulle dans l’eau . . . 20

2.1.2 Amplitude de diffusion . . . 21

2.1.3 Sources d’amortissement . . . 21

2.1.4 Cas général : une bulle dans un matériau viscoélastique . . . 23

2.2 Plan de bulles . . . 24

2.2.1 Réflexion sur un plan de bulles . . . 24

2.2.2 Condition de couplage critique . . . 27

2.3 Plan de bulles sur un réflecteur . . . 30

2.3.1 Nouvelle condition de couplage critique . . . 30

2.3.2 Optimisation de l’absorption pour une rhéologie donnée . . . 31

2.3.3 Prise en compte d’interfaces supplémentaires . . . 34

3 Validation numérique et expérimentale du modèle analytique 39

3.1 Validation numérique . . . 41

3.1.1 Description synthétique du modèle numérique . . . 41

3.1.2 Validation du modèle analytique . . . 42

3.2 Combinaison du modèle analytique avec un modèle rhéologique réaliste . . 43

3.2.1 Modèle de Zener fractionnaire . . . 43

3.2.2 Exemple d’optimisation à basses fréquences . . . 46

3.3 Validation expérimentale . . . 47

3.3.1 Fabrication des méta-écrans bulleux . . . 48

3.3.2 Montage expérimental . . . 51

3.3.3 Validation du dispositif expérimental . . . 56

3.3.4 Mesures acoustiques sur les méta-écrans . . . 61

3.3.5 Mesures rhéologiques . . . 64

3.3.6 Comparaison avec le modèle analytique . . . 69

3.4 Conclusion . . . 73

4 Prise en compte des effets de la pression statique et de la température 75 4.1 Étude analytique et numérique des effets de la pression statique et de la température . . . 77

4.1.1 Effet de la pression . . . 77

4.1.2 Effet de la température . . . 90

4.1.3 Proposition d’optimisation pour une température et une pression données . . . 91

4.2 Mesures sur des méta-écrans comprimés . . . 94

4.2.1 Dispositif expérimental . . . 94

4.2.2 Mesures du coefficient de transmission à pression nulle . . . 95

4.2.3 Procédure de calibration de la pression appliquée . . . 97

4.2.4 Résultats des mesures en transmission sous pression . . . 98

4.2.5 Influence de la forme cylindrique des inclusions et de leur position dans l’épaisseur du méta-écran . . . 100

4.3 Conclusion . . . 103

5 Prise en compte de l’effet de la forme des inclusions 105 5.1 Modèle phénoménologique pour un méta-écran à inclusions cylindriques aplaties . . . 106

5.1.1 Diffusion par un cylindre unique . . . 107

5.1.2 Réflexion sur un réseau de cylindres . . . 114

5.1.3 Optimisation d’un méta-écran bulleux à inclusions cylindriques apla-ties . . . 117

5.2 Le méta-écran à cavités cylindriques sous pression . . . 119 5.2.1 Les cylindres sous pression . . . 119 5.2.2 Comportement acoustique du méta-écran à cavités cylindriques en

compression . . . 121 5.3 Conclusion . . . 124

Conclusion 125

Contrairement aux ondes électromagnétiques, les ondes sonores se propagent dans l’eau sur de très grandes distances. C’est ce qui a permis à Paul Langevin, Professeur de phy-sique à l’ESPCI, d’imaginer le premier dispositif de détection des sous-marins exploitant les échos que ceux-ci renvoient lorsqu’ils sont insonifiés par une onde acoustique incidente. C’est en 1916, c’est-à-dire dans le contexte de la première guerre mondiale, que lui-même et l’ingénieur Constantin Chilowski ont déposé la demande de brevet décrivant un tel dispositif. Ils ont ainsi ouvert la voie au développement, dans sa version active, de ce que l’armée américaine baptisera plus tard le SONAR (SOund NAvigation and Ranging). Les premiers sonars utilisés par les marines alliées à la fin de la première guerre mondiale étaient toutefois passifs : n’émettant aucun son, ils écoutaient le bruit que les sous-marins produisaient et qui trahissait ainsi leur présence.

Les premiers sonars actifs ont été mis au point et testés par la Royal Navy dans l’entre-deux-guerres, puis utilisés durant la seconde guerre mondiale sous la dénomination ASDIC pour "Allied Submarine Detection Investigation Committee". C’est également pendant la seconde guerre mondiale que les Allemands ont conçu le premier revêtement anti-ASDIC. Baptisé "Alberich", du nom d’un personnage de la mythologie germanique qui avait fa-briqué une cape d’invisibilité, il est le fruit du travail d’un acousticien allemand E. Meyer et de son groupe en 1943. Criblé de multiples trous de différents diamètres, ce revêtement en caoutchouc était capable d’absorber les ondes des ASDIC alliés, ce qui rendait indé-tectable le sous-marin U-boot qui en était équipé.

Aujourd’hui, les sonars sont bien plus performants qu’à l’époque. Surtout, les fré-quences qu’ils utilisent sont bien plus basses que celles des premiers ASDIC dont la bande s’étalait entre 14 et 22 kHz. À l’état de l’art, les matériaux anéchoïques actuellement dis-ponibles et répondant aux contraintes d’utilisation en milieu sous-marin (faible épaisseur, faible compressibilité, tenue à l’environnement chimique et mécanique) sont relativement efficaces pour des fréquences supérieures à ≈ 5 kHz avec un ratio "épaisseur sur lon-gueur d’onde dans l’eau" de l’ordre de 1/4. Pour améliorer la portée de détection, les fréquences d’émission des sonars actifs peuvent toutefois descendre à des fréquences bien inférieures à 5 kHz pour lesquelles l’efficacité des revêtements est faible pour des

épais-seurs raisonnables. Il faut donc concevoir de nouveaux types de revêtements performants en basse fréquence pour lesquels on saura minimiser la dépendance des caractéristiques avec l’immersion. La mise au point de tels revêtements super-absorbants est un enjeu important, non seulement pour réduire la signature acoustique du sous-marin, mais aussi pour améliorer l’efficacité des systèmes de sonar embarqués ; placés dans l’environnement des antennes, ces revêtements dédiés doivent en effet permettre de diminuer les réflexions parasites venant perturber les signaux qu’elles reçoivent. C’est dans ce contexte que s’est inscrit ce travail de thèse CIFRE financé par la société Thales (Defense Mission Systems) et mené au sein de deux laboratoires parisiens : l’Institut Langevin (ESPCI Paris, Univer-sité PSL, CNRS) et le laboratoire Matière et Systèmes Complexes (UniverUniver-sité de Paris, CNRS).

Il s’est agi de définir une nouvelle stratégie pour déterminer les caractéristiques de revêtements anéchoïques qui tiennent compte de fréquences d’insonification basses, des effets de l’immersion (augmentation de la pression statique et modification de la tempé-rature) et de la nature de matériaux élastomères choisis pour être compatibles avec les contraintes liées à l’environnement sous-marin (chimique, mécanique, UV, ...).

Le contexte de l’étude sera plus amplement exposé dans le chapitre 1. On y présentera brièvement l’état de l’art, en insistant sur les contraintes à respecter dans l’élaboration de tels revêtements anéchoïques. Deux types de matériaux se sont imposés jusqu’ici : les revê-tements macro-inclusionnaires (Alberich), d’une part, les matériaux micro-inclusionnaires, d’autre part. Compte tenu de l’évolution des sonars, les performances de ces matériaux doivent être améliorées et des solutions alternatives sont aussi à l’étude. Pour notre part, nous avons choisi de revisiter le concept de revêtement de type Alberich sous l’angle des métamatériaux, un métamatériau pouvant se définir comme un assemblage de résonateurs ("méta-atomes") dont la longueur d’onde à résonance est beaucoup plus grande que leur dimension physique.

Le métamatériau que nous présenterons dans le chapitre 2 repose sur l’utilisation de résonateurs très communs mais pourtant très efficaces : les bulles d’air. Dans l’eau, celles-ci possèdent une résonance très basse fréquence, particularité qui avait été mise en lumière par Minnaert dès 1933 [39]. En les positionnant périodiquement dans une matrice visco-élastique, il est possible d’élaborer un écran de bulles absorbant de faible épaisseur devant la longueur d’onde (un "méta-écran superabsorbant") dont un modèle analytique permet de décrire le comportement acoustique [33]. Avec ce modèle, il est très simple de déterminer les paramètres du "méta-écran" qui optimisent son pouvoir absorbant à la fréquence choisie.

de bulles autorise la réalisation de simulations par éléments finis sous le logiciel Comsol Multiphysics . Il est en effet possible de réduire l’étude à une unique maille élémen-R

taire et d’appliquer des conditions périodiques sur les frontières. Dans un second temps, nous présenterons une validation expérimentale de ce modèle à fréquences dites "intermé-diaires" entre 40 et 120 kHz. À cette fin, des méta-écrans optimisés pour ces fréquences ont été fabriqués au laboratoire et des expériences ont été réalisées dans une cuve remplie d’eau de petites dimensions pour caractériser la réflexion et la transmission de plaques rigides recouvertes de ces méta-écrans.

Un des points sensibles des revêtements d’élastomère à inclusions d’air est la dépen-dance de leurs propriétés acoustiques à la pression d’immersion et la température. En effet, sous l’effet de l’augmentation de la pression, ces revêtements se déforment et la fraction volumique d’air diminue, ce qui modifie leurs propriétés d’absorption. De même, une baisse de la température affecte les propriétés rhéologiques de l’élastomère, augmen-tant sa raideur. Peu d’études ont été menées jusqu’à présent pour quantifier ces effets. Dans le chapitre 4, nous avons mené une étude numérique qui nous a permis de modi-fier notre modèle analytique afin qu’il tienne compte de l’évolution de la température et de la pression. Nous sommes ainsi en mesure de proposer une géométrie de méta-écran optimisée à une pression et à une température données. La mise en place d’expériences en compression requiert une infrastructure lourde. Nous nous sommes donc contentés de réaliser des expériences à petite échelle et à "fréquences intermédiaires", expériences dans lesquelles le méta-écran est simplement comprimé entre deux plaques avant de mesurer la transmission de l’ensemble.

Dans le chapitre 5, nous étendrons le modèle au cas de méta-écrans à inclusions cylindriques. Le modèle de base suppose des inclusions sphériques. Or, pour des questions pratiques, il est plus facile de fabriquer des revêtements à inclusions cylindriques. Qui plus est, "aplatir" les cylindres est un moyen de diminuer l’épaisseur des revêtements. Il est donc intéressant de modéliser des revêtements comportant des inclusions cylindriques très aplaties. Bien que le volume de telles inclusions varie davantage que celui d’une sphère sous l’effet de la pression, nous verrons que les propriétés absorbantes de tels revêtements sont pourtant plutôt moins affectées que celles de revêtements à inclusions sphériques.

Contexte de l’étude et état de l’art

Sommaire

1.1 Contexte . . . 12 1.1.1 Anéchoïsme et masquage . . . 12 1.1.2 Caractéristiques recherchées pour un revêtement anéchoïque . . 13 1.2 Revêtements anéchoïques pour l’acoustique sous-marine . . . 14 1.2.1 Matériaux macro-inclusionnaires . . . 14 1.2.2 Matériaux micro-inclusionnaires . . . 15 1.2.3 Autres solutions possibles pour améliorer l’anéchoïsme du sous

marin . . . 16 1.3 Métamatériaux . . . 16 1.4 Méta-écrans bulleux . . . 17

Dans ce chapitre, nous exposerons brièvement le contexte de l’étude en commençant par définir la problématique des revêtements anéchoïques en acoustique sous-marine. Après avoir précisé les conditions qu’ils doivent remplir, nous présenterons quelques exemples de revêtement, dont les revêtements de type Alberich. Puis, nous introduirons le concept de métamatériaux sur lequel nous nous sommes appuyés au cours de cette thèse pour revisiter les revêtements de type Alberich.

1.1

Contexte

1.1.1

Anéchoïsme et masquage

Il existe deux types de SONAR utilisés pour la détection des sous-marins : les uns, passifs, écoutent les bruits générés par le sous-marin lui-même, tandis que les autres, actifs, exploitent la réflexion des ondes sonores sur la coque. Pour ne pas révéler sa présence, un sous-marin doit donc générer le moins de bruit possible (propriété de discrétion) et ne pas réfléchir les ondes acoustiques (propriété de furtivité). Pour réduire la transmission des bruits internes du sous-marin dans le milieu environnant, on peut faire appel à des revêtements dits de masquage ( 1.1.a). Pour absorber les ondes acoustiques incidentes, on utilise des revêtements anéchoïques ( 1.1.b).

(a) Revêtement de masquage. (b) Revêtement anéchoïque.

Figure 1.1: Principes d’un revêtement (a) de masquage, et (b) anéchoïque. Notons que, dans le cas du masquage, le revêtement peut également être placé en interne pour jouer le rôle d’une barrière acoustique.

Les revêtements acoustiques absorbants sont également nécessaires en environnement d’antennes. Comme illustré sur la figure 1.2, ils permettent en effet de diminuer l’impact des signaux parasites provenant des échos produits par les réflexions du signal incident. C’est un sujet qui intéresse tout particulièrement la société Thalès pour les systèmes

sonars qu’elle développe. C’est dans ce contexte que s’inscrit mon travail de thèse qui vise à développer un modèle semi-analytique pour guider la conception de revêtements anéchoïques pour l’environnement d’antennes.

Figure 1.2: Illustration d’utilisation d’un revêtement absorbant dans un environnement d’antenne.

1.1.2

Caractéristiques recherchées pour un revêtement anéchoïque

La première donnée d’entrée pour la conception d’un revêtement anéchoïque est la fréquence autour de laquelle son pouvoir absorbant doit être optimal. À cette fréquence correspond une longueur d’onde, λ, qui définit a priori l’échelle de longueur sur laquelle on peut espérer dissiper efficacement l’énergie acoustique. Dans le cas d’un matériau absorbant homogène, il faut en effet une épaisseur de revêtement qui soit au moins de l’ordre de λ. Plus la fréquence visée est basse, plus l’épaisseur du revêtement doit donc être importante. À une fréquence de 20 kHz, il faut une épaisseur d’au moins λ = 7.5 cm. Lorsque l’on passe à 2 kHz, la longueur d’onde est de 75 cm, ce qui rend difficilement envisageable l’usage d’un matériau homogène. Il faut donc concevoir des revêtements capables d’absorber l’énergie acoustique incidente sur une épaisseur plus faible que λ. Les performances d’un tel revêtement, dit “super-absorbant”, sont caractérisées par deux indicateurs : la réduction de la réflexion à laquelle il conduit, et le rapport e/λ de son épaisseur sur la longueur d’onde.

Au-delà de cette contrainte d’épaisseur, un revêtement anéchoïque pour l’acoustique sous-marine doit satisfaire plusieurs autres contraintes liées à ses conditions d’utilisation. Ainsi :

- il doit être composé de matériaux capables de résister aux conditions chimiques (sel, rayonnement ultraviolet...) et mécaniques (pressions élevées) propres à l’environne-ment sous-marin ;

- il doit être aussi peu compressible que possible. En effet, un sous-marin se déplace suivant l’axe vertical en modifiant son volume (via ses ballasts). L’ajout d’éléments compressibles peut conduire à une dégradation de sa navigabilité ;

- il doit conserver ses performances d’absorption acoustique lorsque la pression et/ou la température varient. Nous verrons que dans le cas des revêtements à l’étude au cours de cette thèse (élastomères contenant des cavités d’air), cette contrainte est particulièrement importante.

1.2

Revêtements anéchoïques pour l’acoustique

sous-marine

Les revêtements anéchoïques pour l’acoustique sous-marine consistent souvent en des matériaux élastomères incluant des cavités d’air. On distingue en général les matériaux macro-inclusionnaires des matériaux micro-inclusionnaires. Pour une bibliographie dé-taillée, nous renvoyons le lecteur à la thèse de Pierre Méresse [37].

1.2.1

Matériaux macro-inclusionnaires

Les matériaux macro-inclusionnaires sont formés d’une matrice d’élastomère dans la-quelle sont distribuées périodiquement des macro-cavités d’air (dont la taille peut aller de quelques millimètres à quelques centimètres). L’exemple historique est le revêtement de type Alberich développé par les Allemands durant la seconde guerre mondiale [38]. Le Unterseeboot 480 (U-480) qui fut recouvert de ces tuiles d’Alberich demeura indétectable aux sonars ASDIC alliés. Son épave fut retrouvée en 1998, avec une bonne partie de son revêtement encore visible (figure 1.3).

Ce type de revêtement est encore utilisé aujourd’hui et fait toujours l’objet d’études académiques. La réduction de l’écho d’un support en acier pourvu d’un tel revêtement est liée à la mise en résonance des cavités cylindriques d’air. Ainsi, Gaunaurd et Lane [12, 27] ont mis en évidence l’importance des oscillations radiales des parois latérales des cavités ainsi que des oscillations "en peau de tambour" des parois à la base du cylindre dans le processus de dissipation. Hladky-Hennion et Decarpigny [19] ont ensuite développé une simulation par éléments finis pour calculer la transmission du son à travers un matériau de type Alberich. Des conditions de Bloch ont été imposées aux frontières de la cellule unitaire pour simuler la périodicité structurelle. Easwaran et Munjal ont proposé une étude numérique similaire qui visait cette fois à étudier la réflexion sur un revêtement de type Alberich en réduisant le maillage nécessaire au quart de la cellule unité [10]. Calvo et al. [7, 8] ont également étudié numériquement et expérimentalement la transmission d’une onde plane à travers un tel revêtement. Ils ont mené des études paramétriques pour identifier l’effet du rapport d’aspect des cavités cylindriques sur la résonance de la cavité, dans le but de développer un revêtement acoustique plus fin pour une gamme de fréquences donnée.

Peu d’études analytiques ont été menées. On peut citer celle dans laquelle Gaunaurd a développé un modèle unidimensionnel reposant sur l’hypothèse de cavités suffisamment espacées pour éviter tout couplage entre elles. Ivansson a, quant à lui, utilisé une mé-thode semi-analytique LMS (Layer Multiple Scattering method) pour étudier le compor-tement acoustique d’un revêcompor-tement à inclusions cylindriques [21]. Il s’est ensuite intéressé à d’autres formes d’inclusions telles que des cavités ellipsoïdales bi-disperses [22] ou encore des inclusions cylindriques de longueurs infinies [23]. Ce dernier cas a fait l’objet d’une étude analytique par Sharma et al. [50]

1.2.2

Matériaux micro-inclusionnaires

Les matériaux micro-inclusionnaires sont constitués de micro-cavités d’air (de quelques dizaines de µm) réparties aléatoirement dans une matrice d’élastomère (généralement des polyuréthanes). Les micro-cavités sont généralement encapsulées dans des coques en ma-tériau viscoélastique qu’on appelle micro-ballons. L’ajout de micro-inclusions modifie si-gnificativement les propriétés de l’élastomère. Il conduit à une diminution des vitesses effectives des ondes longitudinales et à un accroissement de l’absorption du matériau. L’ajout de particules denses peut également être utilisé pour ajuster la densité du maté-riau.

1.2.3

Autres solutions possibles pour améliorer l’anéchoïsme du

sous marin

Howarth et al. [20] et Lafleur et al. [26] ont proposé le principe d’un système d’atténua-tion actif dans lequel des matériaux piezoélectriques générent une onde en opposid’atténua-tion de phase avec l’onde incidente. Une telle solution permettrait de s’affranchir des contraintes d’épaisseur et de celles liées à la pression d’immersion.

Pour pallier la difficulté d’absorber les basses fréquences, Guo et al. [15] ont, quant à eux, proposé d’exploiter des phénomènes non linéaires pour convertir les basses fréquences en hautes fréquences, plus faciles à dissiper. En pratique, cette solution ne paraît adaptée que pour des ondes incidentes d’amplitude suffisamment grande pour que la non-linéarité du milieu puisse s’exprimer.

1.3

Métamatériaux

Un métamatériau est un matériau composite artificiel réalisé à partir de l’assemblage de résonateurs ("méta-atomes") dont la longueur d’onde à résonance est beaucoup plus grande que leur dimension physique. A l’échelle macroscopique, un métamatériau est sus-ceptible de présenter des propriétés que l’on ne rencontre pas dans la nature. Ce concept trouve son origine dans les travaux théoriques, longtemps restés dans l’ombre, d’un physi-cien soviétique, Veselago [52]. En partant des équations de l’électrodynamique, celui-ci a montré qu’un matériau pouvait présenter un indice de réfraction négatif pour autant que sa permittivité diélectrique et sa perméabilité magnétique soient toutes les deux négatives. Si les métaux présentent une permittivité négative aux fréquences optiques, il n’existe pas de matériau naturel avec une perméabilité négative.

Une première étape importante dans la quête de matériaux à indice de réfraction négatif a été franchie en 1996 par John Pendry [43]. Celui-ci a montré qu’un réseau de fils mé-talliques parallèles présentait une permittivité négative à des fréquences bien plus basses que la fréquence de plasma du métal en volume, ce qui a ouvert la voie à la conception de matériaux présentant des propriétés de négativité dans le domaine des micro-ondes. Peu après, le même John Pendry a montré qu’un milieu composé de petits anneaux conduc-teurs fendus ("split ring resonators") pouvait présenter une perméabilité négative. C’est en reprenant ces idées, que D. Smith et al. ont fabriqué le premier métamatériau à indice de réfraction négatif ; il a été conçu comme un réseau périodique de cellules élémentaires [51], ladite cellule étant composée d’une tige métallique et d’un anneau conducteur fendu. A l’interface entre un tel matériau et un matériau à indice de réfraction positif, une onde électromagnétique est réfractée du "mauvais côté de la normale" et la vitesse de groupe et la vitesse de phase sont anti-colinéaires. Autrement dit, le trièdre ( ~E, ~H, ~k) devient indirect. C’est pourquoi un matériau à indice de réfraction négatif est-il qualifié de

"gau-cher" ("left handed material"). Il permet de réaliser une lentille plate, dite "lentille de Pendry" [42].

Depuis lors, le domaine des métamatériaux a connu un formidable engouement. En acoustique, le premier métamatériau (présentant une densité de masse négative) a été conçu dans l’équipe de Ping Sheng [35] et la première lentille plate pour la gamme de l’au-dible a été réalisée à l’Institut Langevin [24]. Au-delà des efforts consentis pour concevoir des matériaux dont l’un au moins des paramètres effectifs est négatif, l’idée très générale de contrôler ces paramètres à des échelles sub-longueur d’onde a également conduit au développement de l’optique, puis de l’acoustique, transformationnelle. Fondée sur l’inva-riance des équations fondamentales de l’électromagnétisme par rapport aux déformations de l’espace, elle a notamment conduit Pendry à proposer une "cape d’invisibilité" [44] : des ondes incidentes sur une telle cape la contournent pour se reformer ensuite inchangées, comme si de rien n’était. Des capes d’invisibilité ont été mises au point pour les ondes électromagnétiques [49], les ondes sismiques [6] et les ultrasons [58].

Si le sujet des métamatériaux reste d’actualité, bien des applications promises tardent à voir le jour. Les métamatériaux tirant leurs propriétés des résonateurs qui les composent sont en effet sujets à des pertes importantes. C’est d’ailleurs la raison pour laquelle la quête de métamatériaux super-absorbants (absorbant parfaitement une onde incidente sur une épaisseur bien plus petite que la longueur d’onde), notamment en acoustique pour l’isolation phonique [56], est devenu un domaine de recherche très actif.

1.4

Méta-écrans bulleux

Depuis quelques années, des chercheurs de l’Institut Langevin (Arnaud Tourin, Fabrice Lemoult) et du laboratoire Matière et Systèmes Complexes (Valentin Leroy) travaillent à la mise au point de métamatériaux localement résonants présentant des propriétés de transmission ajustables. La cellule élémentaire de ces métamatériaux consiste en une simple bulle d’air. Une bulle d’air dans l’eau présente une résonance basse fréquence, dite résonance de Minnaert, à laquelle correspond une longueur d’onde dans l’eau 500 fois plus grande que son rayon. On peut mettre à profit cette résonance pour réaliser des méta-écrans de bulles (c’est-à-dire des arrangements bi-dimensionnels de bulles) capables d’absorber jusqu’à 50% de l’énergie acoustique incidente [5].

En pratique, ces bulles ne peuvent évidemment pas être maintenues immobiles dans l’eau. Mais il a été montré que des bulles emprisonnées dans un fluide à seuil [34] ou dans un solide mou [30] se comportaient de façon similaire, à la nuance près que la résonance de Minnaert dépend alors aussi des propriétés viscoélastiques de la matrice hôte.

De tels méta-écrans bulleux ont pu être fabriqués en utilisant des techniques de photo-lithographie douce pour piéger des cavités cylindriques dans du PDMS [30]. Pourvu que le rapport d’aspect des cylindres reste proche de 1, une cavité cylindrique se comporte

acoustiquement de façon très similaire à une bulle sphérique de même volume. On peut alors disposer d’une expression analytique simple pour prédire les coefficients de transmis-sion et de réflexion du méta-écran [34]. On peut ainsi, d’une part, mieux comprendre les processus physiques à l’origine de la dissipation acoustique et, d’autre part, déterminer les paramètres conduisant à une absorption optimale. Ainsi, il a été montré théoriquement, et vérifié expérimentalement dans la gamme du MHz, qu’une plaque rigide immergée dans l’eau pouvait être rendue invisible lorsqu’elle était recouverte d’un méta-écran dont les paramètres géométriques et rhéologiques avaient été optimisés pour remplir la condition dite de couplage critique [33].

Ce sont ces travaux qui nous ont incités à revisiter, au cours de cette thèse, le concept de revêtement de type Alberich. En prenant comme point de départ le modèle analytique que nous présenterons dans le prochain chapitre, nous avons bâti un modèle analytique qui tient compte des contraintes inhérentes à l’environnement sous-marin. C’est ce que nous décrirons dans les chapitres 3, 4 et 5.

Modèle analytique pour les méta-écrans

bulleux

D’ordinaire, une onde est très peu diffusée par un objet petit par rapport à sa longueur d’onde (diffusion de Rayleigh). Mais le cas de la bulle est bien différent : une bulle d’air de 3 mm de rayon dans l’eau possède une fréquence de résonance de 1 kHz, ce qui correspond à une longueur d’onde dans l’eau de 1.5 m, c’est-à-dire 500 fois la taille de la bulle. Dans ce chapitre, nous donnons les équations principales permettant de prédire le comporte-ment acoustique d’une bulle, puis d’un réseau bi-dimensionnel de bulles, que l’on appelle "méta-écran bulleux". On montre ensuite que disposer d’une expression analytique des co-efficients de transmission et de réflexion du méta-écran permet de déterminer la géométrie optimale pour absorber un maximum d’énergie acoustique. Pour un méta-écran seul, on ne peut absorber plus de la moitié de l’énergie incidente, mais dans le cas d’un méta-écran placé devant un réflecteur rigide, une absorption théorique de 100% est possible.

Sommaire

2.1 Diffusion acoustique par une bulle unique . . . 20 2.1.1 Résonance de Minnaert d’une bulle dans l’eau . . . 20 2.1.2 Amplitude de diffusion . . . 21 2.1.3 Sources d’amortissement . . . 21 2.1.4 Cas général : une bulle dans un matériau viscoélastique . . . . 23 2.2 Plan de bulles . . . 24 2.2.1 Réflexion sur un plan de bulles . . . 24 2.2.2 Condition de couplage critique . . . 27 2.3 Plan de bulles sur un réflecteur . . . 30 2.3.1 Nouvelle condition de couplage critique . . . 30 2.3.2 Optimisation de l’absorption pour une rhéologie donnée . . . . 31

2.3.3 Prise en compte d’interfaces supplémentaires . . . 34 2.4 Conclusion . . . 37

2.1

Diffusion acoustique par une bulle unique

Avant de considérer un réseau de bulles, nous nous intéresserons à la diffusion par une bulle unique, d’abord plongée dans l’eau, puis dans un matériau viscoélastique, constituant principal du méta-écran bulleux.

2.1.1

Résonance de Minnaert d’une bulle dans l’eau

Généralement, un diffuseur petit devant la longueur d’onde ne perturbe que faiblement la propagation d’une onde (diffusion de Rayleigh). Mais, notre diffuseur d’intérêt, la bulle d’air, va interagir de façon résonante avec une onde de longueur d’onde bien plus grande que sa dimension. Cette spécificité s’explique simplement si l’on compare la bulle d’air plongée dans l’eau à un oscillateur harmonique.

Figure 2.1:Analogie entre l’oscillation d’une bulle d’air dans l’eau et celle d’un système masse-ressort

L’oscillation de la bulle à sa fréquence propre est analogue à celle d’un système masse-ressort (cf figure 2.1) : la bulle oscille autour de sa position d’équilibre comme le ferait une masse accrochée à un ressort que l’on comprime avant de le relâcher. Comme pour un système masse-ressort, la pulsation propre est donnée par la formule pk/m où k est la raideur du ressort et m la masse. Dans notre cas, la raideur k est donnée par la compressibilité de l’air et la masse m par l’inertie de l’eau. Puisque le gaz présent est particulièrement compressible (k petit) et que la masse est particulièrement importante, la résonance est très basse fréquence.

Appelée fréquence de Minnaert [1], elle est donnée par : ωM = r k m = 1 a s 3γP0 ρe , (2.1)

où a est le rayon de la bulle, γ le rapport des chaleurs spécifiques du gaz, P0 la pression

du gaz et ρe la densité de l’eau.

2.1.2

Amplitude de diffusion

Lorsqu’une bulle de rayon a est excitée par une onde plane incidente pincei( ~k0.~r−ωt), le

champ de pression se décompose en deux parties. La première est la pression acoustique associée à l’onde se propageant comme si la bulle n’était pas présente. La seconde est la pression diffusée prenant la forme d’une onde sphérique pondérée par l’amplitude de diffu-sion monopolaire f de la bulle et l’amplitude pincde la pression incidente : pincf ei(k0r−ωt)/r.

L’amplitude de diffusion monopolaire [1, 29] est donnée par :

f (ω) = a

ωM ω

2

− 1 − iδtot (2.2)

Le terme δtot _{regroupe les différents termes d’amortissement. C’est lui qui va déterminer}

la largeur de la résonance. Il regroupe plusieurs mécanismes d’amortissement qui seront mis à profit pour maximiser l’absorption.

2.1.3

Sources d’amortissement

On distingue trois contributions à l’amortissement des oscillations de la bulle qui sont regroupées dans le terme δtot_.

δtot = δrad+ δvis+ δth (2.3)

La contribution radiative à l’amortissement δrad _{= k}

0a correspond à l’énergie

rayonnée lorsque la bulle oscille.

S’y ajoutent deux sources de dissipation :

• un amortissement visqueux δvis _{lié à la viscosité η du fluide environnant :}

δvis = 4η ρea2ω

• un amortissement d’origine thermique δth_{qui traduit des échanges thermiques}

entre l’air et le fluide environnant [46] :

δth = 1 3γ ω_M ω 2 Im    3γ 1 + 3 (γ − 1) i lD a
2h 1 −√i_la Dcoth √ i_la D i    , (2.5)

où lD = pD/ω est la longueur de pénétration thermique, avec D = K/ρeCpe le

coefficient de diffusion thermique, K la conductivité thermique du gaz et Cpe la

capacité thermique massique.

10-3 10-2 10-1 100 101 0 0.05 0.1 0.15 0.2 a=200 µm

Figure 2.2: Les trois contributions à l’amortissement des oscillations d’une bulle dans l’eau à résonance en fonction de son rayon.

Sur la figure 2.2, on se place dans le cas où le fluide environnant est l’eau et on compare l’évolution de ces trois coefficients d’amortissement à résonance en fonction du rayon de la bulle. Pour des bulles très petites, la principale source d’atténuation est d’origine visqueuse, tandis que le coefficient d’amortissement thermique devient prédominant par la suite en passant par un maximum pour des bulles de l’ordre de 10 µm.

Pour l’application visée, on s’intéresse à des bulles de rayon plus important présentant des résonances plus basses fréquences. En prenant l’exemple d’une bulle de rayon a = 200 µm qui a pour fréquence de résonance 16.3 kHz, c’est le coefficient d’amortissement thermique qui domine les deux autres. On donne ici les ordres de grandeur des trois coefficients :

δth' 5 × 10−2, δrad ' 1 × 10−2, δvis ' 0.1 × 10−2.

2.1.4

Cas général : une bulle dans un matériau viscoélastique

Lorsqu’il est soumis à une contrainte, un matériau viscoélastique combine les propriétés d’un solide purement élastique à celles d’un fluide purement visqueux. Le comportement des matériaux viscoélastiques peut être décrit en utilisant le module de cisaillement com-plexe G∗(ω) = G0(ω) − iG00(ω)1_{. G}0_{, partie réelle de G}∗_{, est le module de stockage qui}

caractérise la rigidité du matériau viscoélastique ; il décrit le comportement élastique du matériau. G00, partie imaginaire de G∗, est le module de pertes ou module de dissipation. Il caractérise, quant à lui, le comportement visqueux. Il est relié à la viscosité dynamique via G00= ηω.

Nous décrirons avec plus de précision par la suite les modèles rhéologiques que nous utiliserons pour décrire les comportements des matériaux viscoélastiques d’intérêt.

Si on reprend l’analogie avec le sytème masse-ressort présenté dans la partie 2.1.1, lorsque nous passons dans une matrice viscoélastique, il faut donc rajouter un terme de raideur k0 à notre ressort qui est relié à la partie réelle du module de cisaillement du matériau hôte G0. Ce qui va avoir pour effet de décaler la fréquence de résonance vers les hautes fréquences. La fréquence de Minnaert modifiée s’écrit alors [1] :

ωM = r k + k0 m = 1 a s 3γP0+ 4G0 ρ , (2.6)

où ρ est la densité du milieu hôte.

Le passage à une matrice hôte viscoélastique va également avoir un impact sur l’amor-tissement visqueux qui, on l’a vu, dépend de la viscosité dynamique. Si on prend pour exemple un élastomère avec une viscosité 1000 fois plus élevée que celle de l’eau (η = 10−3Pa.s), l’amortissement visqueux devient alors la principale source de pertes si on re-prend notre exemple de la bulle de rayon a = 200 µm avec un δvis = 100 × 10−2 (selon (2.4)). L’amortissement radiatif ainsi que le terme de perte thermique ne changent quasi-ment pas si l’on considère que le gaz reste le même. Nous pouvons alors négliger ces deux autres sources d’amortissement. Cependant, nous verrons dans le prochain paragraphe que, si l’amortissement dû au rayonnement d’une unique bulle est négligeable, celui issu du couplage d’une multitude de bulles pourra ne pas l’être.

1. Étant donné la convention e−iωt adoptée dans cette thèse, la partie imaginaire de G∗ est négative, ce que l’on obtient en définissant G00= −Im(G∗) avec un G00> 0

2.2

Plan de bulles

Des études récentes ont mis en avant le caractère potentiellement super-absorbant d’un plan de bulles dans un milieu viscoélastique [33]. Des bulles d’air réparties de façon pério-dique sont emprisonnées dans une matrice et interagissent entre elles. Le couplage a été étudié et la réflexion décrite de façon analytique en fonction des paramètres rhéologiques du milieu hôte et géométriques des bulles. Ce modèle analytique va nous permettre de jouer facilement avec les paramètres pour optimiser l’absorption.

2.2.1

Réflexion sur un plan de bulles

Considérons une onde plane pinceik0z arrivant sur un plan de bulles (en z = 0) organisé

suivant un réseau carré de paramètre de maille d comme le montre la figure 2.3. Ce plan de bulles donne alors naissance à deux ondes, une en eik0z _{et une autre en e}−ik0z_{. On va} chercher à déterminer les amplitudes complexes de ces ondes.

Figure 2.3:Le plan de bulles périodique.

Lorsque l’onde incidente arrive sur le plan de bulles, celui-ci génère de la diffusion multiple importante, ce qui rend le calcul du champ de pression complexe si l’on prend en compte tous les chemins possibles entre chaque diffuseur [11, 57]. Dans notre cas simple d’un plan à répartition périodique, une simplification peut être faite : puisque toutes les bulles sont équivalentes, elles vont toutes ressentir le même champ moyen ptot, c’est-à-dire

La pression mesurée en un point M à une distance z du plan de bulles (cf. figure 2.4) se calcule en prenant en compte la somme des contributions générées par toutes les bulles j : p (z) = pinceik0z+ X j ptotf eik0rj rj , (2.7)

rj désignant la distance du point M à la bulle j.

Figure 2.4: On cherche à déterminer le champ de pression au point M lorsqu’une onde plane inci-dente arrive sur le plan de bulles. À noter que les fronts d’onde ne sont pas à l’échelle : la longueur d’onde de l’onde incidente est bien supérieure à la taille des bulles.

On évalue la somme discrète en passant à une intégrale continue, en considérant une répartition uniforme de bulles dans le plan avec une densité ns= 1/d2 et en introduisant

un système de coordonnées cylindriques (ρ, θ, z).

X j eik0rj rj = Z +∞ ρ=0 2πρns eik0r(ρ) r(ρ) dρ, (2.8)

et en posant r =pz2 _{+ ρ}2_{, on réécrit la somme}

X j eik0rj rj = Z +∞ r=z 2πrns eik0r r dr = iKeik0z_{, (2.9)} avec K = 2πns k0 = 2π k0d2 . (2.10)

On peut donc réécrire la pression transmise comme : p (z) = pinceik0z+ f ptotiKeik0z

= pinceik0z  1 + iKptot pinc f  (2.11)

Ce qui nous permet de déterminer l’expression du coefficient de transmission à travers le plan de bulles : tb = 1 + iK ptot pinc f (2.12)

Il nous reste à définir ptot. Pour cela, on se place en z=0 et on s’intéresse au champ reçu

par une bulle unique i du plan.

ptot = pinc+ X i6=j ptotf eik0rij rij , (2.13)

où rij est la distance entre la bulle i et la bulle j.

Comme précédemment, on évalue la somme en passant à une intégrale continue : X i6=j 1 rij eik0rij ₌ 1 i Z +∞ b eik0r_2πn sdr = Keik0b (2.14)

Mais il reste à déterminer b, la longueur de coupure de l’intégrale. Celle-ci correspond à la distance en-deçà de laquelle on ne peut trouver une autre bulle. Pour un milieu désordonné de diffuseurs ponctuels, on peut prendre b = 0. Dans le cas du plan de bulles à répartition périodique, chaque diffuseur est au nœud d’un réseau périodique. On prend alors b = d/√π, c’est-à-dire que la surface à exclure de l’intégrale est celle d’un disque de surface égale à l’aire de la maille élémentaire. Une validation expérimentale de ce choix a été apportée dans [34]. Keik0d/ √ π _{' K}  1 + ik√0d π  (2.15) On a donc : pinc ptot = 1 − iKf  1 + ik√0d π  (2.16)

En remplaçant dans l’équation (2.12), on trouve pour le coefficient de transmission : tb = 1 +

iKf 1 − iKf1 + ik_√0d

π

 (2.17)

En considérant que tb = 1 + rb (par continuité de la pression à la surface), le coefficient

de réflexion s’écrit : rb = iKf 1 − iKf1 + ik_√0d π  (2.18)

Si on introduit l’expression de l’amplitude de diffusion pour une bulle unique (2.2), le coefficient de réflexion s’écrit finalement :

rb = iKa ω2 M ω2 − I − i(δ + Ka) , (2.19) avec K = 2π/k0d2, I = 1 − 2 √

πa/d et δ le coefficient d’amortissement dissipatif (δ = δvis_{+ δ}th_).

L’amortissement radiatif d’une bulle unique, k0a, est remplacé ici par Ka interprété

comme le rayonnement du plan de bulles. Celui-ci varie comme le nombre de bulles oscil-lant en phase dans un carré d’arrête λ. On peut en effet estimer ce nombre par N = (λ/d)2, ce qui permet d’écrire Ka = N k0a/(2π), soit un terme d’amortissement proportionnel à

N fois l’amortissement radiatif d’une bulle seule.

Le couplage entre bulles se traduit aussi par l’apparition d’un nouveau terme, I, qui conduit à un décalage de la fréquence de résonance du système vers les hautes fréquences :

ωres = ωM √ I = ωM p 1 − 2√π(a/d)) (2.20)

Dans ce modèle, nous avons considéré uniquement la réponse monopolaire des bulles. Le modèle n’est plus applicable lorsque la concentration du plan de bulles devient trop importante et que les bulles sont trop rapprochées les unes des autres (d/a < 5) [34]. Lorsque les bulles sont assez espacées, on peut considérer que leurs oscillations sont iso-tropes et ne prendre donc en compte que leur mode de "respiration". Mais dans le cas où les bulles sont serrées, il résulte des interactions Ĺ courte portée que l’oscillation des bulles n’est plus isotrope. Les modes d’oscillation d’ordre supérieur doivent être pris en compte. C’est un sujet que nous avons abordé dans un article récent [31] qui prend alors en compte dans le modèle la réponse dipolaire des bulles. Il s’avère que ce n’est pas encore suffisant pour prédire la transmission à travers un plan de bulles dont la concentration est élevée (d/a < 5) mais que d’autres modes de déformation doivent être ajoutés pour avoir un modèle fiable. Pour l’étude de nos méta-écrans bulleux, nous avons toujours considéré des concentrations telles que d/a > 5. Nous n’avons donc pas eu besoin de modifier le modèle pour tenir compte de concentrations plus élevées.

2.2.2

Condition de couplage critique

En utilisant le modèle que nous venons d’introduire, on peut ajuster les paramètres du méta-écran pour faire varier ses propriétés de transmission. En particulier, nous allons voir qu’en choisissant le bon pas de réseau, il nous est possible de maximiser l’absorption du méta-écran. Notre point de départ est le travail de V.Leroy et al. de 2015 [33] qui avait pour but d’étudier les performances d’absorption d’un plan de bulles.

L’équation (2.20) montre qu’à la résonance du plan de bulle, ωres, le coefficient de

réflexion n’est fonction que de δ, le taux d’amortissement dissipatif d’une bulle, et de Ka le taux d’amortissement radiatif du plan de bulles :

r = − Ka

δ + Ka (2.21)

Grâce à la condition de conservation de l’énergie, A = 1 − |r|2−|t|2_{, l’absorption se calcule}

alors avec la formule suivante à ωres :

A = 2δKa

(δ + Ka)2 (2.22)

Le maximum d’absorption vaut donc 1/2 et s’obtient lorsque :

δ = Ka, (2.23)

c’est-à-dire quand l’amortissement radiatif est égal à l’amortissement dissipatif (ici δ = δvis _{= 4η/ρa}2_ω).

La géométrie du plan de bulles et ses propriétés peuvent nous rappeler des dispositifs similaires en optique comme les films métalliques perforés qui conduisent à une transmis-sion extraordinaire pour certaines fréquences ou angles d’incidence. On peut se demander s’il existe une équivalence entre les deux. Pour avoir de tels phénomènes, en optique ou en acoustique, il faut que l’onde incidente se couple avec les résonateurs. Si c’est bien le cas avec les bulles qui sont des résonateurs basse-fréquences qui se couplent naturellement avec l’onde incidente, ce n’est pas le cas en plasmonique où il faut d’abord convertir l’onde entrante en onde évanescente ; conversion faite par la structure périodique de surface vue comme un réseau de diffraction. Si on peut noter cette différence avec la plasmonique, il est néanmoins intéressant de voir que le modèle de Bliokh et al. [3] basé sur le concept de résonateur ouvert décrit tout à fait la physique de l’absorption par le plan de bulles. Celui-ci peut-être vu comme un résonateur ouvert unique. Bliokh décrit les pertes dans ledit résonateur grâce à un facteur de qualité Q dont l’inverse se décompose en un terme de fuite Q−1_fuite = Ka et un terme de dissipation Q−1_diss = δ. La condition δ = Ka pour maximiser l’absorption est analogue à la condition dite de "couplage critique" dans la théorie des guides d’ondes [54, 55].

Cette condition est atteinte à résonance mais reste valable sur une bande de fréquences très large puisque les deux termes d’amortissement (radiatif et visqueux) ont la même dépendance en fréquence. Les pertes visqueuses dépendent de la rhéologie de la matrice viscoélastique tandis que les pertes radiatives dépendent de sa géométrie (taille des bulles a et pas entre les bulles d). Dans la pratique, il est donc possible de déduire de l’équation (2.23) une condition sur le pas du réseau qui assure une absorption maximale de 1/2 à

résonance :

d = s

πa3_ρc

2η . (2.24)

La figure 2.5 montre l’exemple d’un plan dont on fixe la taille des bulles (un rayon de 200 µm) et pour lequel on fait varier le paramètre de maille entre les trois graphes. Ici, on a pris un matériau avec un module de stockage G0 = 1 MPa indépendant de la fréquence (comme dans le modèle de Kelvin-Voigt présenté dans le prochain paragraphe), une viscosité de 1 Pa.s et une impédance Z = ρc = 1.5 MRay, égale à celle de l’eau. On néglige donc la réflexion à l’interface entre l’eau et le méta-écran. On montre pour chaque configuration les coefficients de réflexion, de transmission et d’absorption. Si le plan de bulles est trop concentré, on privilégie la réflexion ; a contrario, un plan de bulle trop dilué verra sa transmission augmenter.

(a) d = 7 mm (b) d = 4.3 mm (c) d = 2 mm

Figure 2.5: Tracé de |r_b|, |t_b| et A = 1 − |r_b|2_{− |t}

b|2 pour trois paramètres de maille d du plan de bulles avec un rayon de bulles inchangé de 200 µm. (a) d = 7 mm : densité de bulles faible b) d = 4.3 mm : distance optimale c) d = 2 mm : forte concentration de bulles.

Pour la figure 2.5b, le paramètre de maille d est optimisé afin d’obtenir une absorption maximale de A = 1/2. On trouve une distance optimale de d = 4.3 mm pour des bulles de rayon 200 µm. Le coefficient de réflexion atteint son maximum de 1/2 alors que le coefficient de transmission atteint son minimum de 1/2.

Si l’on augmente l’espace entre les bulles (d = 7 mm), comme sur la figure 2.5a, on pri-vilégie la transmission et diminue par conséquent la réflexion puisque la densité de bulles diminue. Au contraire, si la concentration en bulles augmente (d = 2 mm), comme on le voit sur la figure 2.5c, c’est la réflexion qui devient trop forte et la transmission trop faible pour que l’atténuation dans la matrice viscoélastique soit efficace ; l’absorption n’atteint alors qu’un maximum de 0.3.

D’après ces résultats, un plan de bulles ne permet de dissiper que la moitié de l’énergie incidente. Mais nous allons voir qu’en plaçant ce plan de bulles devant un réflecteur parfait, il est possible d’atteindre une absorption totale.

2.3

Plan de bulles sur un réflecteur

2.3.1

Nouvelle condition de couplage critique

On peut calculer la réflexion totale rtot sur un plan de bulles dans le cas simple où l’on

ne considère que la réflexion directe sur le plan de bulles et les réflexions multiples entre le plan et le réflecteur comme schématisé sur la figure 2.6, ce qui donne [33] :

rtot = rb+

r0t2 be2ik0h

1 − rbr0e2ik0h

(2.25) où r0 est le coefficient du réflecteur et h la distance entre les bulles et le réflecteur.

Figure 2.6: Réflexions entre le plan de bulles et un réflecteur semi-infini

La réflexion directe sur le plan de bulles entraîne un déphasage de π (cf équation 2.19 à résonance), alors que la réflexion sur le réflecteur rigide n’entraine aucun déphasage comme illustré dans la partie supérieure de la figure 2.6. En conséquence, il existe une interférence destructive entre les deux chemins pour autant que h soit petit comparé à la longueur d’onde (le décalage de phase induit par la propagation sur cette distance h peut alors être négligé). On s’attend donc à pouvoir annuler la réflexion.

En notant que tb = 1 + rb, la réflexion totale se réduit alors à :

rtot =

rb+ r0+ 2rbr0

1 − rbr0

(2.26) L’objectif étant d’atteindre une réflexion nulle rtot = 0, le coefficient de réflexion du plan

de bulles doit vérifier :

rb = −

r0

1 + 2r0 (2.27)

Et dans le cas d’un réflecteur parfaitement rigide pour lequel r0 = 1, on a :

rb = −1/3 (2.28)

Nous remarquons que nous avons un coefficient de réflexion négatif, ce qui est attendu pour un méta-écran comportant des inclusions gazeuses (baffle mou). D’après l’équation (2.21), un tel coefficient s’obtient lorsque 2Ka = δ, soit pour un nouveau pas du réseau :

d = s

πa3_ρc

η (2.29)

2.3.2

Optimisation de l’absorption pour une rhéologie donnée

Dans cette partie, on propose un exemple d’optimisation pour lequel les bulles sont em-prisonnées dans un matériau viscoélastique linéaire avec une rhéologie très simple décrite par le modèle de Kelvin-Voigt.

Nous avons rappelé qu’un matériau viscoélastique linéaire combinait les propriétés d’un matériau purement élastique et celles d’un liquide purement visqueux (section 2.1.4). Il existe de nombreux modèles rhéologiques [47] pour décrire ce type de comportement. Les modèles les plus simples font intervenir deux éléments de base :

Le ressort qui décrit un comportement mécanique purement élastique où tout effet d’inertie est négligé. La raideur k correspond au coefficient de proportionnalité entre la contrainte σ et la déformation  :

σ = k (2.30)

L’amortisseur qui représente le comportement visqueux ; contrairement au ressort, il ne peut réagir instantanément à une sollicitation. Son comportement est caractérisé par la vitesse à laquelle il se déforme. Il existe alors une relation entre contrainte et vitesse de déformation où η est le coefficient de viscosité :

La combinaison que l’on va ici utiliser définit le modèle de Kelvin-Voigt. Il correspond à la mise en parallèle d’un ressort de raideur k et d’un amortisseur de coefficient d’amortissement η.

Figure 2.7: Modèle de Kelvin-Voigt

Dans le modèle de Kelvin-Voigt, la déformation du ressort est la même que celle de l’amortisseur et la contrainte totale est la somme des contraintes du ressort et de l’amor-tisseur. On a donc :

σ = k + η ˙, (2.32)

avec k = G0.

Le module de cisaillement complexe associé est :

G∗ = G0− iωη. (2.33)

Ce modèle rhéologique très simple suppose un module de stockage indépendant de la fré-quence G0(ω) = G0 alors que son module de pertes présente une dépendance linéaire avec

la fréquence G00(ω) = ηω.

Nous allons comparer deux matériaux qui possèdent le même module élastique G0 =

1 Mpa mais qui présentent deux viscosités différentes, le premier avec une viscosité η1 =

1Pa.s, le second avec une viscosité 10 fois plus importante, soit η2 = 10 Pa.s. Les deux

matériaux ont une masse volumique ρ = 1000 kg/m3_{, une vitesse des ondes longitudinales}

vL = 1500 m/s et un module de compressibilité K = ρvL− 4G/3 ≈ 2.2 GPa

Dans la situation présentée sur la figure 2.8, en plaçant le méta-écran sur un réflecteur dur, on va chercher à optimiser l’absorption autour d’une fréquence d’intérêt. Nous avons élaboré un code pour permettre une optimisation rapide en fonction du matériau utilisé et de la fréquence visée.

• Le rayon des bulles va être fixé par la fréquence à laquelle nous voulons que le méta-écran soit efficace, soit la fréquence de résonance de nos bulles ωM. Il est donc

calculé en inversant la formule de la fréquence de Minnaert (équation (2.6)) :

a = 1 ωM

s

3γP0+ 4G0

ρ . (2.34)

Si nous visons par exemple une fréquence aux alentours de 40 kHz (conforme à celles de nos mesures au chapitre 3), cela nous donne un rayon de bulles a ≈ 300 µm. • La condition de couplage critique (δ = 2Ka) va permettre de trouver le pas optimal

par la formule (2.29) qui dépend de la viscosité de la matrice :

d = s

πa3_ρc

η (2.35)

On trouve alors un pas d1 = 11.2 mm pour le méta-écran 1 avec une viscosité

η1 = 1 Pa.s et d2 = 3.5 mm pour le méta-écran 2 avec une viscosité η2 = 10 Pa.s.

Un matériau plus visqueux nécessite une concentration de bulles plus grande pour être aussi efficace. Cependant, même dans ce cas là, la concentration reste très faible (< 0.3%) si l’on considère par exemple une épaisseur totale de e = 2 mm (c’est-à-dire de l’ordre de quelques rayons de bulle).

G0 (MPa) η (Pa.s) a (µm) d (mm)

Méta-écran 1 1 1 300 11.2

Méta-écran 2 1 10 300 3.5

Table 2.1:Caractéristiques rhéologiques et géométriques des deux méta-écrans pris en exemple.

La figure 2.9 montre les coefficients de réflexion pour les deux rhéologies. On a un creux en réflexion, où l’on atteint pratiquement une réflexion nulle, vers 40 kHz pour le méta-écran 1 (courbe rouge). Et on observe un creux bien plus large bande et décalé vers les hautes fréquences pour le méta-écran 2 (courbe bleu). Le décalage vers les hautes fré-quences est dû au couplage entre bulles, un décalage d’autant plus grand que d est petit (équation (2.20)). Si l’on veut une optimisation à une fréquence très précise, il faudra

prendre en compte ce décalage dû au couplage. L’échelle e/λ sur la figure nous permet d’apprécier la nature sub-longueur d’onde du écran. À résonance, les deux méta-écrans sont bien plus fins que la longueur d’onde dans l’eau (λ ' 20e).

Pour l’application visée, nous allons chercher à avoir un effet le plus large bande pos-sible, donc une résonance moins piquée. La comparaison des deux matériaux nous montre qu’avec un élastomère plus visqueux, on obtient un effet bien plus large bande. Cela étant, le choix du matériau est évidemment conditionné par d’autres critères. On ne pourra pas donc pas choisir un matériau aussi visqueux que l’on veut.

0 20 40 60 80 100 120 140 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Méta-écran 1 Méta-écran 2

Figure 2.9: Réflexion après optimisation de deux méta-écrans ayant des viscosités différentes.

2.3.3

Prise en compte d’interfaces supplémentaires

À ce stade, le modèle ne prend pas en compte la différence d’impédance entre l’eau et le matériau visco-élastique qui emprisonne les bulles d’air. Dans la pratique, cette légère désadaptation d’impédance va créer une interface supplémentaire à travers laquelle la transmission ne sera pas totale. Par ailleurs la taille finie du réflecteur va créer une autre interface supplémentaire à travers laquelle la transmission sera non nulle. Afin de pouvoir prendre en compte le rôle joué par ces deux interfaces, nous avons donc complété notre modèle analytique précédent. À cette fin, nous avons réalisé un calcul très général qui permet de prédire la transmission à travers un système de n couches successives. Ainsi, le cas échéant, nous pourrons aussi tenir compte du fait que le méta-écran peut être lui-même composé de plusieurs plans de bulles.

Figure 2.10: Calcul de la transmission et de la réflexion à travers une succession de couches.

La figure 2.10 présente le schéma pour le calcul à travers un multicouche en incidence normale. A travers n+1 couches, les coefficients de transmission et de réflexion s’écrivent :

Tn+1 = tn+1,nTneiknen 1 − rn,n+1Rne2iknen , (2.36) Rn+1 = rn+1,n+ tn+1,ntn,n+1Rne2iknen 1 − rn,n+1Rne2iknen . (2.37)

Le calcul de la transmission et de la réflexion à l’interface du milieu n + 1 d’impédance Zn+1 et du milieu n d’impédance Zn se détermine via les expressions classiques :

tn+1,n = 2Zn Zn+ Zn+1 , (2.38) rn+1,n= Zn− Zn+1 Zn+ Zn+1 . (2.39)

Le méta-écran d’épaisseur, e, est vu ici comme deux couches distinctes, d’épaisseur e1 = e2 = e/2, de même impédance séparées par une interface bulleuse. À cette interface

bulleuse, le coefficient de réflexion prend donc la valeur de rb calculée avec l’équation

(2.19) et tb = 1 + rb (cf figure 2.11).

tn+1,n = tn,n+1 = tb (2.40)

Figure 2.11:Calcul de la transmission et de la réflexion à travers un méta-écran. Le méta-écran est vu comme deux couches distinctes de même impédance séparées par une interface bulleuse.

Nous pouvons reprendre l’exemple précédent (2.3.2) et regarder ce qui se passe lorsque l’on remplace un réflecteur semi-infini par une plaque d’épaisseur finie derrière le méta-écran.

Figure 2.12: Schéma des différentes couches prises en compte dans le calcul de la réflexion et de la transmission.

On prend en compte dans notre code cinq couches, sachant que le méta-écran compte pour deux couches séparées par une interface bulleuse placée en son centre (cf figure 2.12). La plaque d’acier, sur laquelle est placé le méta-écran, a une épaisseur de eac = 50 mm,

il a une masse volumique ρac = 7800 kg/m3 et une vitesse des ondes longitudinales

On reprend les deux matériaux décrits dans la section 2.3.2. Pour rappel : (

Méta-écran 1 : η1 = 1Pa.s; a = 300 µm; d1 = 11.2 mm

Méta-écran 2 : η2 = 10Pa.s; a = 300 µm; d2 = 3.5 mm

Les résultats sont tracés sur la figure 2.13. Le creux à résonance du plan de bulles est toujours bien présent, creux beaucoup plus large bande dans le cas d’un matériau plus visqueux. Mais on peut voir apparaître les effets de la plaque d’acier d’épaisseur finie lors-qu’elle est entourée d’eau. À basse fréquence, la plaque est transparente acoustiquement : le coefficient de réflexion tend donc vers 0. À 59 kHz, nous avons un creux correspondant au premier mode d’épaisseur de la plaque suivi du second mode d’épaisseur à 118 kHz.

0 20 40 60 80 100 120 140 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 modes d'épaisseur de la plaque d'acier

Figure 2.13:Réflexion après optimisation du plan de bulles placé sur une plaque d’acier d’épais-seur finie eac = 50 mm pour des matrices de deux viscosités différentes.

2.4

Conclusion

Disposer d’une formule analytique permet d’éviter le recours massif à des simulations numériques coûteuses en temps de calcul, et de pouvoir facilement faire varier les para-mètres pour ajuster la réponse du méta-écran en fonction de nos attentes. Nous avons ici décrit les étapes pour optimiser le méta-écran dépendant de paramètres clés : la taille des bulles d’air, la distance les séparant et les caractéristiques de l’élastomère. L’étape suivante sera de valider notre modèle analytique.

Validation numérique et expérimentale

du modèle analytique

Le modèle analytique présenté au chapitre précédent a été validé expérimentalement et numériquement dans la gamme du MHz dans des travaux antérieurs [33]. On s’attachera dans ce chapitre à le valider à plus basses fréquences, d’abord avec des simulations nu-mériques. Ces dernières sont indispensables non seulement pour la validation du modèle mais également pour connaître ses limites d’utilisation et tester des configurations plus complexes qu’il ne peut pas traiter.

La validation expérimentale basses fréquences nécessite l’utilisation de bassins de grandes dimensions. Thales possède l’infrastructure nécessaire dans ses locaux mais, pour des rai-sons de temps et de coût, ces mesures sont, en général, faites en fin de processus de développement pour validation. Nous avons donc réalisé des mesures à fréquences "inter-médiaires" entre 40 et 120 kHz dans une cuve de petites dimensions (120 × 60 × 46 cm3) dans les locaux du laboratoire "Matière et Systèmes Complexes". Un tel dispositif permet de faire des mesures rapidement, et par conséquent de tester de nombreuses configurations de méta-écrans à des fréquences telles que l’on rencontre déjà les problèmes expérimentaux auxquels on est confronté à très basses fréquences.

Sommaire

3.1 Validation numérique . . . 41 3.1.1 Description synthétique du modèle numérique . . . 41 3.1.2 Validation du modèle analytique . . . 42 3.2 Combinaison du modèle analytique avec un modèle

rhéolo-gique réaliste . . . 43 3.2.1 Modèle de Zener fractionnaire . . . 43 3.2.2 Exemple d’optimisation à basses fréquences . . . 46 3.3 Validation expérimentale . . . 47 3.3.1 Fabrication des méta-écrans bulleux . . . 48 3.3.2 Montage expérimental . . . 51 3.3.3 Validation du dispositif expérimental . . . 56

3.3.3.1 Caractérisation des plaques avec des mesures hautes fréquences . . . 56 3.3.3.2 Mesures des coefficients de transmission et réflexion

entre 40 et 120 KHz . . . 58 3.3.4 Mesures acoustiques sur les méta-écrans . . . 61 3.3.4.1 Mise en place et reproductibilité . . . 61 3.3.4.2 Mesures en réflexion sur des méta-écrans bulleux . . . 63 3.3.5 Mesures rhéologiques . . . 64

3.3.5.1 Principe de la mesure haute fréquence par ondes de cisaillement . . . 64 3.3.5.2 Résultats pour les deux PDMS . . . 65 3.3.6 Comparaison avec le modèle analytique . . . 69 3.3.6.1 Choix de la rhéologie . . . 69 3.3.6.2 Influence de l’épaisseur du méta-écran et de la forme

et de la position des inclusions . . . 70 3.4 Conclusion . . . 73

3.1

Validation numérique

Nous avons utilisé des simulations par la méthode des éléments finis (FEM) pour valider le modèle. Les simulations par FEM ne sont pas adaptées au processus d’optimisation en raison de leur coût important en temps de calcul et en mémoire, d’autant plus si le nombre de variables sur lesquelles on peut jouer est important. Mais elles sont utiles, d’une part, pour valider notre modèle analytique, et d’autre part, pour étudier des paramètres qui sont difficiles à prendre en compte dans celui-ci.

La périodicité des méta-écrans permet de réduire le modèle simulé à une unique maille élémentaire. Hladky-Hennion et al. ont été les premiers à développer un code de simula-tions par éléments finis pour étudier la diffusion d’ondes planes sur des structures pério-diques immergées telles que les revêtements anéchoïques de type Alberich en utilisant la théorie de Bloch-Floquet [19].

3.1.1

Description synthétique du modèle numérique

Les simulations numériques sont réalisées avec le logiciel de simulation par éléments finis COMSOL Multiphysics (v5.4). Le modèle est composé de deux domaines : un domaine semi-infini d’eau et, en dessous, le méta-écran. Grâce à la périodicité des méta-écrans, on peut réduire notre modèle à une maille élémentaire de côté d. Au centre du méta-écran est modélisée une cavité remplie d’air (figure 3.1).

On présente ici le cas simple où le méta-écran bulleux est positionné contre un réflecteur parfait, ce que l’on traduit par une condition de déplacement nul dans la direction oz sur la surface inférieure du méta-écran en z = 0. Le méta-écran bulleux est excité par une onde incidente plane normale au méta-écran et d’amplitude 1 Pa. Des conditions d’interface acoustique-structure sont appliquées aux limites des domaines solide et fluide pour décrire l’interaction entre ces milieux ; à ces interfaces fluide/solide, le modèle prend en compte la pression du fluide sur la structure et l’accélération du fluide due à la structure. Des conditions aux limites périodiques de type Bloch-Floquet sont appliquées sur toutes les faces latérales pour simuler la périodicité du modèle. Une PML ("Perfectly Matched Layer") est appliquée à la limite extérieure du domaine de l’eau afin d’absorber les ondes sortantes.

Le champ de pression réfléchi est alors défini comme la différence entre le champ de pression total et le champ de pression incident et moyenné sur toute la surface de l’élas-tomère.

Figure 3.1: Schéma du modèle numérique.

3.1.2

Validation du modèle analytique

Nous avons simulé sous Comsol la même configuration que celle considérée dans la section 2.3.2 avec un élastomère possédant une rhéologie simple (modèle de Kelvin-Voigt). Dans le tableau 3.1, on rappelle les paramètres des deux méta-écrans d’épaisseur e = 2 mm.

G0 (MPa) η (Pa.s) ρ (kg/m3) K (GPa) a (µm) d (mm)

Méta-écran 1 1 1 1000 2.2 300 11.2

Méta-écran 2 1 10 1000 2.2 300 3.5

Table 3.1:Caractéristiques rhéologiques et géométriques des deux méta-écrans pris en exemple.

On maille une cellule élémentaire carrée de coté d et d’épaisseur e = 2 mm, au centre de laquelle est placée une sphère de rayon a remplie d’air. Et au dessus de l’élastomère, on maille un volume d’eau d’épaisseur 4λ.