Emploi de l'électromètre à quadrants pour la mesure de grandes résistances variables ou polarisables

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Submitted on 1 Jan 1913

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Emploi de l’électromètre à quadrants pour la mesure de grandes résistances variables ou polarisables

P. Vaillant

To cite this version:

P. Vaillant. Emploi de l’électromètre à quadrants pour la mesure de grandes résistances variables ou polarisables. J. Phys. Theor. Appl., 1913, 3 (1), pp.36-46. �10.1051/jphystap:01913003003601�.

�jpa-00242040�

36

j’ai ^{trouvé avant et} après neutralisation :

M. Le Chatelier affirme, ^{il est} vrai, que

si l’on change ^la pression

des deux composants, ^en laissant invariable la masse totale de chacun de ces deux corps, la ^{loi des masses est} par là ^même mise hors de

cause (Comptes Rendus, p. 1564)). ^Cette opinion ^est particulière ^à

M. Le Chatelier, ^car Van’t Hoff et plus ^{récemment M. Nernst} (Chi1n.

gé~2., ^t. 11, p. 18) ^{ont consacré de} longues pages ^à l’étude de l’équilïbre

de peroxyde d’azote Az204

2Az 02. Or ce système ^{est formé de}

constituants dont la masse totale est forcément invariable, puisqu’on

ne peut ^{les isoler à} l’état gazeux.

Bien plus, ^le principe ^{même de} la démonstration classique ^de

Van’t Hoff, qui ^{consiste à faire passer} réversiblement un système ^de

l’état PV’T à l’état P’V’T, implique l’invariabilité des masses totales : PV - P’V’.

Conclusion.

La loi des actions de masses n’a pas le ^caractère de généralité qu’on ^lui prête. ^{Elle ne} s’adapte ^notamment pas ^aux

phénomènes ^de dissociation, ^même pour les gaz dilués.

EMPLOI DE L’ÉLECTROMÈTRE A QUADRANTS POUR LA MESURE DE GRANDES

RÉSISTANCES VARIABLES OU POLARISABLES (1) ;

Par M. P. VAILLANT.

1° L’emploi de l’électromètre à quadrants pour la détermination des résistances est limité en courant continu à des valeurs relative- ment très grandes ^{de ces} dernières. En désignant par ^ce l’élongation

à l’instant t, oc, l’élongation ^{limite, R} la résistance interposée ^entre

l’électromoteur et une des paires ^de quadrants (~g. 1), ^{C la somme}

des capacités de l’électromètre et du condensateur ^en dérivation, ^la charge de l’instrument se fait suivant la loi :

(1) Mémoire reçu ^au mois de novembre 1912.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01913003003601

ou

En ^fi général ^{genera , on se on se} contente de ^{contente e} da. mesurer dt dans ^ans les ^es premiers ^{premIers ins- Ils-} tants; ^{« étant alors} négligeable devant (xo :

Mais, ^{en se limitant à la faible} approximation due 1 _l00

cette équa-

tion n’est applicable jusqu’aux limites de At que ^si

ce qui ^{entraîne :}

ou, ^en admettant que ^{At est déterminé} à 1 seconde ^{près, ce qui fixe}

comme At minimum 50 secondes :

Les capacités ^{dont on} dispose ^ne dépassant guère 10-6, ^{on a}

comme minimum des résistances mesurables _par ce procédé :

2° On eut ^{abaisser cette limite en notant, au lieu de} ‘~xa ^le

38

temps T que ^{met le} spot ^{à atteindre un x déterminé} x~ . Comme on

peut ^{calculer oc.,} cela revient à fixer L 20132013~2013 == in. On a d’ailleurs 0-oci

d’après (2) :

Le temps ^{T est} proportionnel ^{à la} résistance à mesurer.

Au même ordre d’approximation ^{de e} 1 ^{T ne} _peut ^{être inférieur}

100 à 50 secondes :

A moins de procédés d’enregistrement spéciaux, la vitesse de pas- sage du spot par ~1 ^ne doit guère dépasser ¹ mm/sec.

ou

La condition (5) ^{sera a} fortiori satisfaite si on a :

Le maximum de _{OC1 est} 500 ; ^{on en conclut :}

condition qui ^sera satisfaite pour des valeurs de R, ^d’autant plus

faibles que C ^est plus grand. ^{Avec C =} i0-~, ^{on aura la limite}

3° Aucune des méthodes précédentes ^ne s’applique ^aux résistances

polarisables ^ou qui ^{varient avec le} temps. ^Pour les résistances len-

tement variables, ^on peut ^{à la} rigueur ^{noter les} valeurs de ce pour

diverses valeurs ^{de t et} appliquer ^{la formule} (2) ^{sous la forme}

L’expérience permettra ^de déterminer la fonction t, ^{R d’où l’on}

.

1

f

d M. ¹ d ’ d. d, Cfi .

tirera R ^en fonction de t. Mais ii se déduisant d’un coefficient angu- laire ^sera toujours ^assez mal déterminé.

4° D’ailleurs la méthode reste inapplicable ^aux résistances que

polarise ^{le courant ou aux} résistances rapidement variables. Cepen- dant, ^{dans ce cas} encore, il peut ^être avantageux ^{de faire} usage de l’électrométre à quadrants, ^{mais à la condition de} substituer aux

f. é. m. continues des f. é. m. alternatives. L’équation ^du phénomène

se trouve d’ailleurs complètement modifiée : l’élongation limite oc,

devient fonction de la résistance interposée ^et peut ^en fournir la me- sure. En même temps la limite d’emploi ^{de la méthode se trouve}

encore abaissée.

FI». 2.

z

Supposons ^un électromoteur de f. é. m. efficace E relié par ^un pôle

à l’aiguille ^{et une des} paires ^de quadrants ^de l’électromètre (fis. 2)~

tandis _que l’autre pôle communique ^{à la seconde} paire ^de quadrants

par l’intermédiaire de la résistance R ^à mesurer. Supposons ^en

outre, ^comme précédemment, ^un condensateur dérivé sur l’électro- mètre, ^{la somme des deux} capacités ^étant égale ^à C. En suppo- sant R assez grand pour ^rendre négligeable ^la résistance du reste

du circuit et en désignant par L la self de ^ce dernier et

la pulsa-

tion du courant, ^{on aura entre les deux} paires ^de quadrants ^{la diffé-}

rence de potentiel ^{efficace :}

40

Si k est la constante de l’électromètre, ^le spot ^{se fixera à} la Iimite :

Avec C

10-6 et w - 300, 2C 1 ^{est d’ordre 10.} Si L n’est _pas w

d’ordre supérieur, L-1- .9 ^sera d’ordre 1.0i et, ^à l’approximation

de 1 , négligeable ^{devant R2 dès} qu’on ^au~ra

Il en sera encore de même pour les valeurs plus petites ^de C, ^{à con-}

dition qu’on ^ait toujours :

Si cette condition est satisfaite, ^on _pourra, ^{au lieu de} (7), ^{écrire :}

L’élongation ^{limite sera} inversement proportionnelle ^{au carré de}

la résistance cherchée.

La f. é. m. E doit évidemment être prise ^assez grande pour qu’en

se plaçant dans les conditions limites, ^CR

0,05, ~o ^{soit au moins}

d’ordre 102. Cette condition est tout juste remplie ^{avec un électro-}

mètre Curie de constante 3 et une f. é. m. de 120 volts (2,

200) ;

une f. é. m. légèrement supérieure deviendrait nécessaire avec un

électromètre moins sensible.

Il convient d’ailleurs d’ajouter que, ^si l’on prend directement la f. e. m. sur un réseau urbain, ^la précision de la métllode est toujours

limitée à une faible valeur par les variations de tension du réseau. Il est plus avantageux ^de passer par l’intermédiaire d’une petite ^com- mutatrice, alimentée de courant continu par ^une batterie d’accumu- lateurs _par exemple, ^et fournissant du courant alternatif. Avec une

commutatrice bipolaire ^{tournant à 20} tours/seconde ^{et donnant}

60 volts alternatifs, ^{on est dans} des conditions de sensibilité un peu

supérieures ^à celles que j’ai ^d’abord supposées (tension ^{de 120 volts}

et fréquence ^de 50). Si la condition (8) ^est remplie, ^{la f. é. m. et la}

pulsation n’interviennent que par leur rapport, ^{et la} position ^du spot

est sensiblement indépendante ^des petites variations accidentelles de vitesse de la machine.

~° Si la résistance à mesurer est trop petite, ^ou l’électromètre trop

.

peu sensible pour qu’on puisse satisfaire à la condition (8;, ^on

pourra ^en général améliorer les résultats en substituant à (9) l’équation :

°

qui ^ne diffère de l’équation ^exacte que parce qu’on ^a négligé ^ú)L

devant ₁

wC

J’ai vérifié directement cette formule (10) ^{sur une} commutatrice de faible puissance qui, ^{à la vitesse de 16} tours/seconde, ^{ne donnait}

que ¹³ volts alternatifs. L’électromètre que j’utilisais ^{était d’ailleurs}

moins sensible qu’un ^{Curie et n’avait} pour ^constante que 1,6. Aussi,

dans ces conditions, n’obtenait-on de déviations sensibles qu’avec ^des

résistances relativement faibles pour lesquelles la relation (8) ^était

loin d’être satisfaite.

Une première vérification consiste à modifier simultanément C et R de façon que C B. reste constant et à s’assurer _{que 1} reste également

constant. Le tableau suivant montre qu’il ^{en est à très} peu près ^{ainsi :}

Les écarts ne dépassent pas 1 de la valeur _moyenne et peuvent

200

être mis sur le compte des variations de vitesse de la macliine (avec

la formule (10), ^en ef’fet, ^{cette vitesse} intervient directement).

En second lieu on peut faire varier C avec R constant et s’assurer de la constance de l’expression : ^-.

Les valeurs obtenues pour celle-ci croissent légèrement ^{avec C,}

ce qu’on peut attribuer à ce que la valeur de

déterminée ^au tacljy-

mètre est un peu trop faible, ^le tachymètre formant frein appré-

42

ciable ^{avec une} machine d’aussi faible puissance :

Enfin, ^{si on forme le} produit ^{de la constante de} l’électromètre par le carré de la f. é. m. efficace fournie par la machine, ^{on trouve :}

nombre égal ^{à ceux} du tableau ~2, colonne) ^{à l’ordre} d’approxima-

tion des mesures. En calculant la valeur de

sur ce résultat et

l’équation (10) appliquée ^{à la} quatrième ^mesure (C = 10-6), ^{on trouve}

w = 104,24 ^au lieu de w # 100,5 ^{observé au} tachymètre et, si ^on

corrige ^{les c~CR en tenant} compte ^{de cette} nouvelle valeur de co, ^on

obtient la troisième ligne du tableau dont les nombres s’accordent à

près ^du cinq ^centième.

Fm. 3.

~° La méthode que nous venons d’indiquer ^{est très} propre ^à l’étude des variations d6une résistance sous une cause quelconque, puisque

ces variations interviennent au carré dans celles de l’élongation «~.

Les résistances étudiées peuvent ^être d’ailleurs des résistances pola- risables, des résistances liquides ^en particulier. Mais, lorsqu’il s’agit

de résistances constantes, auxquelles ^{la méthode en courant continu}

ne peut s’appliquer, simplement parce qu’elles ^sont polarisables, ^on

substituera avantageusement ^{à la méthode} qui précède ^{une méthode}

de réduction à zéro qui ^{a le double} avantage ^d’être plus ^{sensible et}

d’être indépendante des variations de f. é. m. comme la méthode du

pont ^de Wheatstone, ^à laquelle ^{elle est} supérieure pour les résis-

tances très grandes. Les variation de tension étant sans influence,

la f. é. m. peut ^être directement empruntée ^{à un réseau de distri-}

bution.

Le dispositif ^de montage ^est le suivant ~~’zg. 3; . ^{Une des bornes a}

du réseau communique directement à l’aiguille ^{A de} l’électromètre et l’autre borne b simultanément aux deux paires ^de quadrants B~, B, par l’intermédiaire des deux résistances à comparer R, ^et 1{2.

Deux capacités C, ^et C2 ^sont reliées par ^{une armature} à l’aiguille, ^et

par l’autre, respectivement, ^{aux deux} paires ^de quadrants.

Appliquons ^{le second} théorème de Kirchhof au circuit dérivé

bC~ B~ AB,C,~. ^Si Z,

Il ^{sin wt,} i., .

12 ^sin (Iwt +

^{l sont les cou-}

rants instantanés dans les deux branches, ^{on aura :}

A l’instant t, ^la différence de potentiel ^{entre les deux} paires ^de quadrants ^a pour valeur :

L’aiguille ^{restera au zéro si cette} différence est nulle quelle que soit t, c’est-à-dire si on a :

et

d’où l’on conclut d’après (11) :

Si ci C2 ^et 1~2 ^{sont connus, on tirera} 1? j ^{de cette} égalité.

Le minimum de C~ ^est représenté par la capacité d’une moitié de l’électromètre qui ^est de l’ordre de 10-1 °. En admettant d’autre part

que le maximum de Cz soit d’ordre 10-1, ^{on en} conclut que ^{le maxi-}

mum de Ri _{R .,} est d’ordre 104. Avec une boîte de comparaison ^de

105 ohms, ^on pourra ^mesurer des résistances allant jusqu’à ¹⁰⁹ e).

6° J’ai vérifié la formule (1.2) ^{à l’aide} de l’électromètre de cons-

(1) ^{Il n’est} guère possible, d’ailleurs, ^d’aller plus ^{loin sans} dépasser ^{la limite de}

sensibilité de la méthode.

44

tante 1,6 déjà ^utilisé plus ^{haut. La f. é. m.} alternative était empruntée

à la distribution de la ville. On n’employait d’ailleurs qu’une partie

de la tension totale, ⁴⁰ volts environ. La capacité C, ^{étant fixe et} égale ^à 0,935 X 10-6, ^{on donnait à} B, ^et C2 des valeurs variables et

on déterminait chaque fois la valeur de R, correspondant ^à l’équi-

libre. Les résultats sont rassemblés dans le tableau suivant :

Les écarts ne dépassent pas ^le millième (~).

7° On peut d’ailleurs aisément comparer la sensibilité de la mé- thode à celle de la métllode de Kohlrausch (pont ^de y~lheatstone ^en

courant alternatif).

Supposons ^une f. é. m. alternative E agissant ^{sur un} pont ^{dont les} quatre ^branches portent ^des résistances égales ^{R; aucun courant ne}

passe ^{dans le} galvanomètre; ^{mais, si on} augmente ^{l’une des résis-}

tances de âli, ^{celui-ci est} traversé par le courant :

la résistance de l’électromoteur et celle du galvanomètre ^{étant sup-} posées négligeables.

1

La sensibilité des galvanomètres ^{pour courant} alternatif ne dé- passe guère ^le microampère (thermo-galvanomètre Duddell); ^{en ad-}

mettant comme limite 10-7 ampères (élon gation ^de 0,1 millimètre),

on devra, _pour ^{constater la} rupture d’équilibre, ^{avoir :}

Supposons, pour fixer les idées, ^{E - 40 volts et R = 1} mégohm :

(1) Les résistances R., n’étaient pas ^connues à une approximation supérieure.

la condition précédente deviendra :

Les résistances de l’ordre du mégohm ^{ne seront donc connues} qu’au ^centième près par ^ce procédé.

. Supposons maintenant les mêmes conditions de f. é. m. et de résis- tance avec l’électromètre à quadrants ^dont j’ai parlé, ^{de constante} 1,6, par conséquent de sensibilité très moyenne. En supposant w

^300,

on obtiendrait _{par la} méthode décrite au § 4, ^{avec une} capacité ^de

iO:-8 farads, ^une élongation de ~30 millimètres environ. On peut ^ad-

mettre que la méthode du § 5 n’est que la précédente ^dans laquelle ^la

déviation _«o est compensée ^{par une déviation} égale ^{en sens inverse.}

On peut donc calculer les conditions de rupture d’équilibre ^{sur l’une}

des formules (9) ^ou (10). ^{Dans le cas} présent, ^{il convient} d’appliquer

la formule (10), ^{w2C2R 2 étant à} peine supérieur ^{à l’unité. On en tire :}

ou en remplaçant ^{les lettres} par leurs valeurs : ^l

En fixant comme précédemment pour limite inférieure de LB(Xo 0, i millimètre, ^il suffira, pour ^constater la rupture d’équilibre, qu’on

ait :

Le mégohm pourra donc être déterminé à plus ^{du millième} près (1).

(1) ^{11 1 existe une} méthode de comparaison des résistances assez analogue ^à

celle du ~, 5 ; ^c’est celle dans laquelle ^on équilibre ^au pont de 1~"heatstone les deux résistances à comparer ^au moyen de deux capacités. ^En supposant l’équilibre

réalisé à l’aide de deux résistances égales R et de deux capacités égales C, ^{si l’on} trouble cet équilibre ^en augmentant l’une des résistances de JR, ^{on a dans le} galvanomètre ^{le courant :}

la résistance de l’électromoteur et celle du galvanomètre ^étant supposées négli-

geables ^{devant R. Comme on} voit, l’ordre de sensibilité est le même que dans la

méthode de Kohlrausch, c’est-à-dire du centième environ pour des résistances

de l’ordre du 111éghoOl.

46

8° Les équations (7), (9), (10) ^et (12) supposent que ^la distribution des potentiels efficaces le long ^{du circuit a atteint sa loi de} régime.

En admettant que les résistances R interposées ^{en retardent l’éta-} blissement, ^{comme s’il} s’agissait ^{de courants} continus, ^{on aura}

1

d’après (2), ^en désignant par T le temps que ^met oc, ^{- x à} devenir

plus petit que les ^erreurs de lecture (0, millimètre),

Dans les deux méthodes _que nous venons d’indiquer, ^{CR ne dé-}

passe jamais quelques dixièmes ; ^{comme d’autre} part ^{le maximum}

de xo ^est 500, ^{T n’est} qu’une ^fraction de seconde (il ^n’est pas ^tenu compte bien entendu de l’inertie de l’aiguille).

L’ABERRATION CENTRALE DANS LES LENTILLES COMPLEXES.

RELATION ENTRE L’ABERRATION CENTRALE ET L’ASTIGMATISME AUX BORDS DU CHAMP;

Par M. H. VIOLETTE.

Les ouvrages d’optique géométrique ^{ne traitent} généralement ^des

aberrations des lentilles que ^{dans des cas} relativement simples, ^et

il est souvent malaisé d’y ^découvrir quelle méthode suivre pour faci- liter les recherches de l’opticien.

La méthode suivante, qui, ^{à titre} d’exemple, ^{a été} appliquée ^à

l’étude d’une lentille à truis verres collés, par suite à un cas assez

complexe, donne à la fois le _moyen de calculer les courbures pour obtenir une aberration centrale déterminée et celui de connaître immédiatement l’astigmatisme ^des images ^sur les bords du champ.

Fic. 1.

I. Définitions ^et notations.

1° Si l’on considère un dioptre ^S

sphérique ^{de centre 0, de rayon R,} séparant ^{deux milieux} transpa-