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Université Cadi Ayyad

_Année Universitaire: 2013 -2014

Faculté des sciences semlalia Département de physique Marrakech.

TD N"2 : ELECTRICITE

3

SMP 53

Exercice Ir

A-

On considàe un solénoïde

infini

de rayon

R,

comportant

n

spires par unité de longueur et parcouru

paf un

courant

d'intensité I. Le

champ magnétique

de ce solénoide

est

E"

₌

ponl ë, (ou i

^est

^le

^vecteur

unitaire de I'axe du solénoïde). On remplit le ^solénoide d'un matériau

paramagnétique

(LHI)

_de

susceptibilité

7,'

^.

l-

Quelles sont ^les propriétés de I'aimantation ,47 qui appmait dans le matériau magrétique ?

2- Déterminer les densites de courants d'aimantation volumique

j-

_et surfacique

j*

. En deduire I'equivalent du système constitué uniquement par la matiere aimanté.

3-

Déterminer alors

les

o<pressions

du

champ

d'aimantation E,

^cr6é

par l'aimantation ù et du

champ magnétique total dans la

matiàe

E . Ecrire

E

en fonction de

É" a _Z.

^.

4- Quel ^est I'intérêt d'utiliser un matériau paramagnétique dans le solenoide ? 5- Donner I'expression de .À7 en fonction uniquement de

É"

_,

w

"t

^{7,, .}

eue devient ù

^g,

Ê"

tend vers zéro.

B '

^{Un barreau}

cylindrique

constitué de

matiàe

aimanté, de rayon

R

et assez long pour négliger tout effet de bord, est aimanté dont le vecteur aimantation

frI

^est

Iù

--

M ë,

où

M

estune constante et

d,

le vecteur unitaire de coordonnées cylinddques.

1- Donner les expressions des densités de cowants d'aimantation

j,"

et surfaciqu

e j*

_en

_fonction

_de

_M

_et

indiquer sur une ûgure

L, j^ ^{a fu.}

2- Déteminer alors l'expression du champ magnétique

Ê^ téé

pat l'aimar/eation

îI

^{en tout point} de I'espace.

C- læ matériau est maintenant un milieu paramagnétique

LHI

de susceptibilité ₇

^ ^.

On lui

applique un champ magnétique extérieur

uniforme É"

₌

B"ë,.

l-

_Que peut-on dire de

l'aimantation rù

du matériau ?

2- Donner en fonction de

M

les expressions des courants d'aimantation.

3- Pourquoi ne peut-on plus calculer le champ magrétique .d,, aussi simple que dans la question B ?.

Pour déterminer

.É"

on procède comme suit :

4- Justifier la recherche d'un potentiel vecteur colinéaire à I'axe du barreau

À1U1= 11r,g,116,.

5- Montrer que l'équation aux dérivées partielles vérifiee par ce potentiel vecteur est

donnée

ô ( _aA\

azA oal

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_ôr

) ^Ae'

6-

On supposera

q.n A(r,0,2)

se met sous

la forme /c,r'sind.(ko

un€ constante

d ^neZ).

Résoudre cette équation (on cherchera

www.al3abkari-pro.com Ç

^{et n} ) ^et determiner le champ d'aimantation et I'excitation en tout point.

Exercice II:

Une sphère de matière linéaire homogène et isotoope

LHI

de centre O et de rayon R" placée dans le vide, est uniformément aimantée avec le vecteur aimantation

frt

₌

U a,.

i-a-

Déterminer la distribution de courants équivalente à cette sphère.

b- Calculer le champ

d'aimantation .É,

au centre O de la sphère.

2- a- Exprimer le potentiel

vecteur crée

par

une

telle

sphère sous

la forme À14={n

"71f;

^{otr on}

4x

exprimera

i1P)

sous forme intégrale.

b- calculer cette intégrale par analogie électostatique.

c- en déduire l'expression du champ magnétique d'aimantation en tout point de I'espace.

3- La sphère ^possède maintenant une cavité sphérique concenûique de rayon Ro.

a-

Déterminer en tout point de I'espace le champ magnétique d'aimantaton.

b-

Que ^devient ce champ dans

la

cavité lorsque

le

centre de celle-ci ne coihcide plus avec

le cente

de la surface externe.

Exercice

III

:

Aimant permanent

On cherche à réaliser un aimant permanent au moyen d'une substance fenomagnétique pour laquelle la courbe de désaimantation (partie supérierue du cycle d'hystérésis) est dormée par la relation , B ₌

" ll1i ^où

^{a, B,}

^y

sont positives avec B<7.

1- relier les constantes où a,

p,

y

àl'umantation

rémanente

Mr

et à I'excitation coercitive Hc.

On réalise au moyen de ce matériau un aimant torique selon la géométrie ci-dessous :

On appelle S

la

section constante de

l'aimant

dans sa partie principale de longueur L. un entrefer est ménagé dans celui-ci, de longueur 8, de section faible s. on admet que

le

seul effet des sections tronconiques de I'aimant est

de

canaliser

les

lignes

de

champ parallèlement

au

cercle moyen de longueur

L+

L. On appelle

B

et

H

les valeurs des champs dans le matériau ferromagnétique et b la valeur du champ dans l'entrefer.

2- exprimer le rapport des volum

*u L- ^S!

_{de l'aimant et de} l'entrefer en

v

^s(,

fonction de B, H, b.

Donner les signes de B et

H

si b>0.

3- pour

m

volume de I'entrefer

v

donné et un champ b doruré déterminer la solution unique de l'équation que doit satsfaire

H

pour que la masse de I'aimant

soit

minimale. Donner le rappoft

IyB

dans cette configuration en fonction de a, et

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