Lycée Kléber PC * année 2020-2021
C OLLE 03 DU 09 NOVEMBRE 2020 AU 22 NOVEMBRE 2020 Intégrales sur un intervalle
0.1 Intégration
L’objectif de ce chapitre est multiple :
— étendre la notion d’intégrale étudiée en première année à des fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque par le biais des intégrales généralisées ;
— définir, dans le cadre des fonctions continues par morceaux, la notion de fonction intégrable ;
— compléter le chapitre dédié aux suites et aux séries de fonctions par le théorème de la convergence dominée et le théorème d’intégration terme à terme ;
— étudier les fonctions définies par des intégrales dépendant d’un paramètre.
Les fonctions considérées sont définies sur un intervalle deRet à valeurs réelles ou complexes.
CONTENUS CAPACIT?S&COMMENTAIRES
a) Fonctions continues par morceaux
Fonctions continues par morceaux sur un segment, sur un in- tervalle.
Intégrale sur un segment d’une fonction continue par mor- ceaux.
Brève extension des propriétés étudiées en première année.
Aucune construction n’est exigible.
b) Intégrales généralisées sur[a,+∞[
Sifest une application à valeurs complexes continue par mor- ceaux sur [a,+∞[ alors l’intégrale
Z+∞
a f(t)dtest dite conver- gente si
Zx
a f(t)dta une limite finie lorsquextend vers+∞. Si tel est le cas, on note
Z+∞
a f(t)dtcette limite.
Intégrale divergente.
Sif est continue par morceaux sur [a,+∞[ et à valeurs posi- tives,Z+∞
a f(t)dtconverge si et seulement six7→
Zx a f(t)dt est majorée.
c) Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque Adaptation du paragraphe précédent aux fonctions continues par morceaux définies sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert deR.
Notation Zb
a f(t)dt.
Intégrales de référence : Z+∞
1 t−αdt, Z1
0 t−αdt. Les étudiants doivent connaître la nature de Z1
0 ln(t)dt et Z+∞
0 e−αtdtselon le signe deα.
Propriétés des intégrales généralisées : linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles.
Changement de variable :
siϕ: ]α,β[→ ]a,b[ est une bijection strictement croissante de classeC1, et sif : ]a,b[ →Cest continue par morceaux alors
Zβ
α(f◦ϕ)(u)ϕ′(u)duest convergente si et seulement si Zb
a f(t)dtest convergente et, si tel est le cas, elles sont égales.
Adaptation au cas oùϕest strictement décroissante.
CONTENUS CAPACITÉS& COMMENTAIRES Intégration par parties sur un intervalle quelconque :
Zb
a f(t)g′(t)dt=[f g]ba− Zb
a f′(t)g(t)dt.
L’existence des limites du produitf gaux bornes de l’intervalle assure que les intégrales def g′etf′gsont de même nature.
Notation£ f g¤b
a. d) Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables
Intégrale absolument convergente.
La convergence absolue implique la convergence et dans ce cas la valeur absolue (ou le module) de l’intégrale est inférieure ou égale à l’intégrale de la valeur absolue (ou du module).
Pour une fonction à valeurs réelles, on utilise ses parties posi- tive et négative.
Une fonction continue par morceaux sur un intervalle I est dite intégrable sur I si son intégrale sur I est absolument conver- gente.
Notations Z
If(t)dt, Z
If. Pourf etgfonctions continues par morceaux sur [a,+∞[ :
— si|f| É |g|, alors l’intégrabilité degimplique celle de fsur [a,+∞[.
— si f(x) = x→∞O¡
g(x)¢, alors l’intégrabilité deg im- plique celle def sur [a,+∞[.
— sif(x) ∼
x→+∞g(x), alors l’intégrabilité def est équi- valente à celle degsur [a,+∞[.
Adaptation au cas d’un intervalle quelconque.
Sif est continue et intégrable sur I, alors Z
I|f(t)|dt=0 im- pliquef=0.
Espace vectoriel des fonctions continues par morceaux inté- grables sur I.
Espace vectoriel des fonctions continues par morceaux de carré intégrable sur I.
Le produit de deux fonctions de carré intégrable est intégrable.
Inégalité de Cauchy-Schwarz.
Produit scalaire de deux fonctions continues de carré inté- grable sur I à valeurs réelles.
f ) Intégrales à paramètre Théorème de continuité :
Si I et J sont deux intervalles deRetf une fonction définie sur I×J, telle que :
— pour toutx∈I,t7→f(x,t) est continue par morceaux sur J ;
— pour toutt∈J,x7→f(x,t) est continue sur I;
— il existe une fonction ϕ positive, continue par morceaux et intégrable sur J, telle que pour tout (x,t)∈I×J, on ait|f(x,t)| Éϕ(t);
alors la fonctionx7→
Z
Jf(x,t)dtest continue sur I.
Démonstration non exigible.
Adaptation au cas où l’hypothèse de domination est vérifiée sur tout segment de I.
CONTENUS CAPACITÉS& COMMENTAIRES Théorème de dérivation : Si I et J sont deux intervalles deRet
f une fonction définie sur I×J, telle que :
— Pour toutx∈I,t7→f(x,t) est continue par morceaux et intégrable sur J ;
— Pour toutt∈J,x7→f(x,t) est de classeC1sur I;
— Pour toutx∈I,t7→∂f
∂x(x,t) est continue par mor- ceaux sur J ;
— Il existe une fonction ϕ positive, continue par morceaux et intégrable sur J, telle que pour tout (x,t)∈I×J, on ait
¯
¯
¯
¯
∂f
∂x(x,t)
¯
¯
¯
¯Éϕ(t);
alors la fonctiong:x7→
Z
Jf(x,t)dtest de classeC1sur I et on a sur I :
g′(x)= Z
J
∂f
∂x(x,t)dt.
Démonstration non exigible.
Adaptation au cas où l’hypothèse de domination est vérifiée sur tout segment de I.
⇆PC : transformée de Fourier.
Extension aux fonctions de classeCk.
