Equations de gravitation ´

V´ erit´ e scientifique et trous noirs (Troisi` eme partie)

Equations de gravitation ´

relatives ` a une m´ etrique

-invariante

Nikias Stavroulakis

Solomou 35, 15233 Chalandri, Gr`ece

R´ESUM´E. Le champ gravitationnel d’une boule de mati`ere est con¸cu classiquement sur la base de deux principes fonci`erement erron´es : a) La vari´et´e sous-jacente est la vari´et´e `a bordR×[0,+∞[×S<sup>2</sup>. b) La m´etrique spatio-temporelle est d´efinie en postulant queSO(3) op`ere isom´etriquement sur les sous-vari´et´es de genre espace.

Les principes corrects sont les suivants : a) La vari´et´e du probl`eme est la vari´et´eR×R³.

b) Le groupe SO(3) (resp.O(3)) op`ere sur R×R³ au moyen d’un sous-groupe deSO(4) (resp.O(4)) not´eSΘ(4) (resp. Θ(4)).

c) la m´etrique spatio-temporelle, con¸cue surR×R³, reste invariante par les op´erations deSΘ(4) surR×R^3.

Ces trois principes permettent de d´efinir la forme g´en´erale de la m´etrique spatio-temporelleSΘ(4)-invariante surR×R³, forme qui reste aussi invariante par les op´erations de Θ(4) sur R×R³, et d’aborder ensuite tous les probl`emes gravitationnels sans sortir du cadre des champs de tenseurs SΘ(4)-invariants et Θ(4)-invariants.

On ´etablit en particuler que le tenseur de Ricci correspondant est Θ(4)-invariant, ce qui permet de se rendre compte d’avance de sa structure qui est d´efinie par l’interm´ediaire de quatre fonctions Θ(4)- invariantes. Il en r´esulte que les ´equations de gravitation se r´eduisent

`

a un syst`eme de quatre ´equations applicables `a tous les probl`emes envisageables conform´ement aux divers choix du tenseurs impulsion-

´

energie. Le tenseur de Ricci est d´etaill´e dans deux cas importants : Premi`erement lorsque le champ est stationnaire, et deuxi`emement lorsqu’il s’agit du champ ext´erieur non stationnaire.

ABSTRACT. The gravitational field of a spherical distribution of matter is conceived classically by means of two erroneous principles :

a) The underlying manifold of the problem is the manifold with boundaryR×[0,+∞[×S²

b) The space-time metric is defined by assuming that it admits a group of motions acting on space-like 2-spaces.

The correct principles are the following :

a) The underlying manifold is the manifoldR×R³.

b) the group SO(3) (resp. O(3)) acts on R×R³ by means of a subgroup ofSO(4)(resp.O(4))denoted by SΘ(4)(resp.Θ(4)).

c) The space-time metric, conceived on R×R³, remains invariant by the action ofSΘ(4)onR×R³, which implies that it remains also invariant by the action ofΘ(4)onR×R^3.

The last three principles allow to define the general form of the SΘ(4)-invariant metric (which is alsoΘ(4)-invariant) onR×R^3and deal subsequently with all the problems related to the gravitational field in question by using constantly SΘ(4)-invariant and Θ(4)- invariant tensor fields on R×R³. We establish in particular that the Ricci tensor is Θ(4)-invariant, so that its definition involves only four unknown Θ(4)-invariant functions. It follows that we can write down from the outset the system of the equations of gravitation as a system of four equations which are applicable to all problems under consideration in accordance with the different choices of the energy-momentum tensor. Regarding the Ricci tensor, it is explicitly computed in the case where the metric tensor is stationary as well as in the case where we have to do with the dynamical field outside the matter.

15. Tenseur m´etrique Θ(4)-invariant et symboles de Christoffel Quand on se met `a l’´etude de la relativit´e g´en´erale, on ne peut manquer d’ˆetre frapp´e par l’invasion des transformations implicites et des vari´et´es `a bord dans la th´eorie. On constate en particulier que le champ gravitationnel d’une boule de mati`ere est con¸cu par rapport `a la vari´et´e `a bordR×[0,+∞[×S<sup>2</sup>qui tient `a l’usage abusif des coordonn´ees polaires. Nous avons d´ej`a analys´e les cons´equences de cette pratique qui est h´erit´ee de l’analyse classique ainsi que de la m´ecanique classique et quantique. Toutefois celles-ci ne se heurtent pas aux probl`emes que l’on rencontre en relativit´e g´en´erale, car elles sont fond´ees sur des m´etriques C^∞donn´ees d’avance, `a savoir la m´etrique euclidienne deR³ :

dx²= (dx¹)²+ (dx²)²+ (dx³)²

et la m´etrique de Minkowski surR×R³ : c²dt²−dx²

Il n’en reste pas moins que les coordonn´ees polaires introduisent des singularit´es pour r = 0, de sorte que leur utilisation mˆeme dans les probl`emes classiques doit ˆetre toujours entour´ee de certaines pr´ecautions.

En relativit´e g´en´erale la situation est assez d´elicate. Le tenseur m´etrique n’est pas connu d’avance et l’on doit le concevoir d’abord sur R×R³. La pratique traditionnelle qui part d’une m´etrique sur R×[0,+∞[×S²comporte des erreurs non seulement de nature concep- tuelle mais aussi de nature calculatoire. On sait d´ej`a que les m´etriques con¸cues surR×[0,+∞[×S<sup>2</sup> correspondent `a des m´etriques surR×R³ discontinues en g´en´eral sur R× {(0,0,0)}. Par cons´equent lorsqu’on a affaire au probl`eme de la d´etermination de la m´etrique, il ne faut pas ou- blier que les coordonn´ees polaires ne sont pas utilisables sur les voisinages deR× {(0,0,0)} dansR×R<sup>3</sup>. De plus les coordonn´ees polaires suppri- ment la localisation de la mati`ere et ne satisfont pas aux conditions aux limites. Or, les coordonn´eesx⁰, x¹, x², x³´etant valables globalement sur R×R³, pourquoi insite-t-on sur l’introduction des coordonn´ees polaires et de la vari´et´e `a bordR×[0,+∞[×S²? Il semble que H. Weyl avec son flair de math´ematicien se posait implicitement cette question, car il a essay´e de se d´ebarrasser des coordonn´ees polaires dans la d´etermination du tenseur m´etrique [2]. Mais il n’y a pas r´eussi, car il ´etait prisonnier des transformations implicites et ne disposait pas de la th´eorie des champs de tenseursSΘ(4)-invariants.

Cela dit, nous postulons que le champ gravitationnel d’une distri- bution parfaitement sph´erique de mati`ere est repr´esent´e par une m´e- trique SΘ(4)-invariante sur R×R<sup>3</sup>, c’est-`a-dire par un champ de ten- seurs covariant sym´etrique SΘ(4)-invariant de degr´e 2 et de signature (+1,−1,−1,−1). D’apr`es le corollaire 13.1.1 un tel champ de tenseurs est n´ecessairement Θ(4)-invariant, de sorte que tout ce qui concerne les m´etriques spatio-temporelles SΘ(4)-invariantes se rattache `a la Θ(4)- invariance. Cependant des champs de tenseurs SΘ(4)-invariants purs interviennent parfois dans la construction de tenseurs impulsion-´energie Θ(4)-invariants.

Afin de simplifier l’´ecriture, nous notons d´esormais les coordonn´ees avec des indices en bas et nous posons x⁰ = t, et alors, d’apr`es le

corollaire 13.1.1, une m´etrique Θ(4)-invariante en tant que champ de tenseurs Θ(4)-invariant s’´ecrit :

q₀₀(t,kxk)(dt⊗dt) +q₀₁(t,kxk)(dt⊗F(x) +F(x)⊗dt) +q11(t,kxk)E(x) +q22(t,kxk)(F(x)⊗F(x)) avec

E(x) = X3

1

(dxi⊗dxi) et F(x) = X3

1

xidxi

D’habitude on lui substitue la forme quadratique q₀₀(t,kxk)dt²+ 2q₀₁(t,kxk)

³X³

1

x_idx_i

´

dt+q₁₁(t,kxk) X3

1

dx²_i+

+q22(t,kxk)³X³

1

xidxi

´2

que l’on ´ecrit de fa¸con abr´eg´ee

q00dt²+ 2q01(xdx)dt+q11dx²+q22(xdx)² (15.1) La forme (15.1), suppos´ee de signature (+1,−1,−1,−1), est l’ex- pression g´en´erale des m´etriques spatio-temporelles Θ(4)-invariantes. El- le se trouve ainsi ´etablie de fa¸con simple et rigoureuse d´ebarrass´ee des d´efauts de l’approche classique. Ses composantes covariantes :

g00=q00(t,kxk) , g0i =xiq01(t,kxk) , g_ii=q₁₁(t,kxk) +x²_iq₂₂(t,kxk) ,

gij =xixjq22(t,kxk) , (i, j= 1,2,3 ; i6=j) , d´ependent des quatre fonctions de (t,kxk) :

q₀₀(t,kxk) , q₀₁(t,kxk) , q₁₁(t,kxk) , q₂₂(t,kxk)

qui appartiennent par hypoth`ese `a l’alg`ebre Γ<sub>0</sub>, c’est-`a-dire qu’elles sont C^∞ par rapport aux coordonn´ees t, x1, x2, x3 sur R×R³. Il faut et il suffit pour cela que les fonctions :

q₀₀(t, u), q₀₁(t, u), q₁₁(t, u), q₂₂(t, u),

³

(t, u)∈R×[0,+∞[

´ , satisfassent aux conditions de la proposition 7.2. En r´ealit´e, les calculs dont nous avons besoin n´ecessitent la diff´erentiabilit´e jusqu’`a l’ordre 2.

D’autre part, dans certains cas, l’ordre de diff´erentiabilit´e requis doit ˆetre soigneusement v´erifi´e, comme, par exemple, dans le cas o`u l’on a affaire au prolongement de la solution int´erieure au del`a du bord de la mati`ere.

Proposition 15.1. (a) Les composantes contravariantesg^αβ d’un ten- seur m´etrique Θ(4)-invariant constituent un champ de tenseurs Θ(4)- invariant surR×R³.

(b) Les symboles de Christoffel de premi`ere esp`ece relatifs `a une m´etri- queΘ(4)-invariante sont les composantes d’un champ de tenseurs Θ(4)- invariant. Il en est de mˆeme des symboles de Christoffel de deuxi`eme esp`ece correspondants.

(c) Le tenseur de courbure, le tenseur de Ricci et la courbure scalaire relatifs `a une m´etriqueΘ(4)-invariante sont aussiΘ(4)-invariants.

(d) Si un tenseur impulsion-´energieWαβ satisfait aux ´equations de gra- vitation relatives `a une m´etrique Θ(4)-invariante, il est aussi Θ(4)- invariant.

D´emonstration. (a) Si G(t, x) est la matrice des composantesgαβ, la Θ(4)-invariance de la m´etrique s’exprime par la relation :

µ 1 0_H 0_V A

¶ G(t, x)

µ 1 0_H 0_V Aˆ

¶

=G(t, Ax) , pour toute matriceA∈O(3). Il en r´esulte :

µ 1 0H

0V A

¶

G⁻¹(t, x)

µ 1 0H

0V Aˆ

¶

=G⁻¹(t, Ax) ,

d’o`u aussi la Θ(4)-invariance de la matrice inverse G⁻¹(t, x) dont les coefficients sont les composantes contravariantesg^αβ.

(b) D’apr`es la proposition 12.7, les d´eriv´ees

∂gαβ

∂x_γ =T_αβγ⁽¹⁾

o`u les indices sont pris dans l’ordre αβγ, sont les composantes d’un champ de tenseurs Θ(4)-invariant. La libert´e de choisir la position de l’indice de d´erivation permet aussi, en gardant le mˆeme ordreαβγ, de d´efinir encore deux champs de tenseurs Θ(4)-invariants, `a savoir

∂gαγ

∂x_β =T_αβγ⁽²⁾ et ∂gβγ

∂x_α =T_αβγ⁽³⁾

Par cons´equent les symoboles de Christoffel de premi`ere esp`ece : Γ_α,βγ= 1

2

³∂gαβ

∂x_γ +∂gαγ

∂x_β −∂gβγ

∂x_α

´

= 1

2(T_αβγ⁽¹⁾ +T_αβγ⁽²⁾ −T_αβγ⁽³⁾ ) sont les composantes d’un champ de tenseurs Θ(4)-invariant.

Or, les tenseurs g^αβ et Γα,βγ ´etant Θ(4)-invariants, leur produit tensoriel, dont les composantes sont les produits

g^αβΓ_γ,δε ,

est aussi Θ(4)-invariant conform´ement `a la proposition 12.5. Alors la proposition 12.6 montre que les symboles de Christoffel de deuxi`eme esp`ece

Γ^α_βγ =X

g^ασΓ_σ,βγ ,

obtenus par contraction, sont les composantes d’un champ de tenseurs Θ(4)-invariant.

(c) D’apr`es (b) et la proposition 12.7, les d´eriv´ees

∂Γ^δ_αγ

∂x_β =L_αβγ^δ

sont les composantes d’un champ de tenseurs Θ(4)-invariant. Il en est de mˆeme des d´eriv´ees

∂Γ^δ_βγ

∂xα

=M_αβγ^δ

o`u l’on prend encore les indices covariants dans l’ordreαβγ.

D’autre part, le produit tensoriel du tenseur Γ^α_βγpar lui-mˆeme ´etant Θ(4)-invariant (cf. proposition 12.5), on obtient en contractant un champ de tenseurs Θ(4)-invariant :

X

σ

Γ^δ_σαΓ^σ_βγ =Sαβγδ

Le mˆeme raisonnement prouve que les sommes X

σ

Γ^δ_σβΓ^σ_αγ =T_βαγ^δ

sont les composantes d’un champ de tenseurs Θ(4)-invariant. Les indices covariants apparaissent maintenant dans l’ordreβαγ, mais cela est sans importance, car en posant

Tβαγδ

=Uαβγδ

, les conditions (12.2) donnent

Uαβγδ

(t, Ax) =Tβαγδ

(t, Ax) =X Tµνσλ

(t, x)B_λ^δBˆ_β^µBˆ_α^νBˆ_γ^σ XUνµσλ(t, x)B^δ_λBˆ_α^νBˆ^µ_βBˆ_γ^σ

de sorte que les fonctionsU_αβγ^δ(t, x) sont les composantes d’un champ de tenseurs Θ(4)-invariant.

En d´efinitive, le tenseur de courbure R_αβγ^δ= ∂Γ^δ_αγ

∂xβ −∂Γ^δ_βγ

∂xα −X

σ

Γ^δ_σαΓ^σ_βγ+X

σ

Γ^δ_σβΓ^σ_αγ (15.2) est la somme de quatre tenseurs Θ(4)-invariants :

Rαβγδ =Lαβγδ−Mαβγδ−Sαβγδ+Uαβγδ , donc il est aussi Θ(4)-invariant.

Notre assertion est maintenant ´evidente en ce qui concerne le tenseur de Ricci Rαβ et la courbure scalaire R qui r´esultent du tenseur de courbure au moyen de contractions :

R_αβ=X

σ

R_σαβ^σ , R=X

g^αβR_αβ.

(d) D’apr`es ce qui vient d’ˆetre prouv´e, le tenseur d’Einstein R_αβ−1

2Rg_αβ ,

donc aussi le tenseur

R_αβ−³R 2 + 3λ

´ g_αβ

(−3λ´etant la constante cosmologique) est Θ(4)-invariant. Il en est donc de mˆeme deW_αβ si les ´equations de gravitation :

Rαβ−³R 2 + 3λ

´

gαβ=−8πk c⁴ Wαβ

sont satisfaites.

Corollaire 15.1.1.Il existe dix fonctions de (t,kxk) = (t, ρ): Aα=Aα(t, ρ) , (α= 0,1,2,· · ·,9),

d´efinies au moyen deq00, q01, q11, q22et telles que les symboles de Chris- toffel de premi`ere esp`ece relatifs `a la m´etrique (15.1) soient donn´es par les formules ci-apr`es :

Γ_0,00=A₀ , Γ_0,0i= Γ_0,i0=A₁x_i , Γ_i,00=A₂x_i , Γ_0,ii=A₃+A₄x²_i , Γ_0,ij= Γ_0,ji =A₄x_ix_j , Γi,0i= Γi,i0=A5+A6x²_i , Γi,0j= Γi,j0=A6xixj ,

Γi,ii =A7x³_i + (A8+ 2A9)xi ,

Γ_i,jj =A₇x_ix²_j+A₈x_i , Γ_j,ij= Γ_j,ji=A₇x_ix²_j+A₉x_i , Γi,jk=A7xixjxk ,

(i, j, k= 1,2,3 ; i6=j6=k6=i).

En effet, compte tenu du point (b) de la proposition 15.1, cet ´enonc´e r´esulte aussitˆot de la proposition 14.1. En fait, celle-ci fait apparaˆıtre aussi une fonctionA₁₀telle que

Γ_i,ii=A₇x³_i + (A₈+A₉+A₁₀)x_i et Γ_j,ji=A₇x_ix²_j+A₁₀x_i , mais l’´egalit´e Γ_j,ji= Γ_j,ij impliqueA₁₀=A₉.

Corollaire 15.1.2.Il existe dix fonctions de (t, ρ): B_α=B_α(t, ρ) , (α= 0,1,2,· · ·,9).

d´efinies au moyen deq₀₀, q₀₁, q₁₁, q₂₂et telles que les symboles de Chris- toffel de deuxi`eme esp`ece relatifs `a la m´etrique (15.1) soient donn´es par les formules suivantes :

Γ⁰₀₀=B0 , Γ⁰_0i= Γ⁰_i0=B1xi , Γⁱ₀₀=B2xi , Γ⁰_ii =B₃+B₄x²_i , Γ⁰_ij = Γ⁰_ji=B₄x_ix_j , Γⁱ_i0= Γⁱ_0i=B5+B6x²_i , Γⁱ_j0= Γⁱ_0j=B6xixj ,

Γⁱ_ii =B7x³_i + (B8+ 2B9)xi ,

Γⁱ_jj=B7xix²_j+B8xi , Γ^j_ij= Γ^j_ji=B7xix²_j+B9xi , Γⁱ_jk=B₇x_ix_jx_k ,

(i, j, k= 1,2,3 ; i6=j6=k6=i).

Compte tenu de la proposition 8.8, cet ´enonc´e est aussi une cons´equence imm´ediate de la proposition 14.1. Celle-ci conduit encore `a la prise en consid´eration d’une onzi`eme fonctionB10 telle que

Γⁱ_ii =B₇x³_i + (B₈+B₉+B₁₀)x_i et Γ^j_ji=B₇x_ix²_j+B₁₀x_i , mais l’´egalit´e Γⁱ_ij = Γⁱ_jientraˆıneB₁₀=B₉.

Les corollaire 15.1.1 et 15.1.2. nous garantissent l’existence des fonctionsA_αetB_α, mais ne nous donnent pas leurs expressions. Celles-ci s’obtiennent facilement en explicitant les symboles

Γ0,00 , Γ0,01 , Γ1,00 , Γ0,11 , Γ1,01 , Γ1,22 , Γ1,12 , et

Γ⁰₀₀ , Γ⁰₀₁ , Γ¹₀₀ , Γ⁰₁₁ , Γ¹₀₁ , Γ¹₂₂ , Γ¹₁₂ , relativement `a la m´etrique (15.1). Mais nous n’avons pas besoin de ces calculs pour deux raisons :

Premi`erementon peut ´etablir un certain nombre de propri´et´es substan- tielles sans utiliser les expressions explicites deAαet Bα.

Deuxi`emement il s’av`ere commode d’exprimer d’abord q00, q01, q11, q22

au moyen d’autres fonctions mettant en ´evidence les caract´eristiques g´eom´etriques et physiques de la m´etrique.

16. Tenseur de Ricci et ´equations de gravitation

Le tenseur de Ricci relatif `a la m´etrique (15.1) ´etant Θ(4)-invariant d’apr`es la proposition 15.1(c), sa structure est d´efinie par le corollaire 13.1.1. :

Proposition 16.1. Les composantes du tenseur de Ricci relatif `a la m´etrique (15.1) d´ependent de quatre fonctions de (t,kxk) = (t, ρ):

Q00=Q00(t, ρ), Q01=Q01(t, ρ), Q11=Q11(t, ρ), Q22=Q22(t, ρ), et sont donn´ees par les formules :

R00=Q00 , R0i=Ri0=xiQ01 , Rii=Q11+x²_iQ22 , Rij =Rji=xixjQ22 ,

(i, j= 1,2,3 ; i6=j).

Le tenseur de Ricci se d´etermine donc compl`etement par les quatre fonctionsQ₀₀, Q₀₁, Q₁₁, Q₂₂qui seront explicit´ees plus loin.

La courbure scalaireR ´etant aussi Θ(4)-invariante, c’est une fonc- tion de (t, ρ) :

R=Q=Q(t, ρ).

D’autre part le tenseur impulsion-´energie qui intervient dans les ´equa- tions de gravitation relatives `a la m´etrique (15.1) ´etant toujours Θ(4)- invariant, d’apr`es la proposition 15.1(d), il est encore d´efini par quatre fonctions de (t, ρ) :

E₀₀=E₀₀(t, ρ), E₀₁=E₀₁(t, ρ), E₁₁=E₁₁(t, ρ), E₂₂=E₂₂(t, ρ) et ses composantes sont donn´ees par les formules :

W₀₀=E₀₀ , W_0i=W_i0=x_iE₀₁ , Wii=E11+x²_iE22 , Wij =Wji=xixjE22 ,

(i, j= 1,2,3 ; i6=j).

d’apr`es le corollaire 13.1.1.

Proposition 16.2. Avec les notations pr´ec´edentes, les ´equations de gravitation relatives `a la m´etrique Θ(4)-invariante (15.1) se r´eduisent au syst`eme des quatre ´equations ci-apr`es :

Q₀₀−³Q 2 + 3λ

´

q₀₀+8πk

c⁴ E₀₀= 0 Q01−³Q

2 + 3λ

´

q01+8πk

c⁴ E01= 0 Q₁₁−³Q

2 + 3λ

´

q₁₁+8πk

c⁴ E₁₁= 0 Q22−³Q

2 + 3λ

´

q22+8πk

c⁴ E22= 0 qui contiennent uniquement des fonctions de (t, ρ).

D´emonstration. NotonsP₀₀, P₀₁, P₁₁, P₂₂respectivement les premiers membres des ´equations ci-dessus. Alors, d’apr`es les expressions des composantesgαβ, Rαβ, Wαβ, les ´equations de gravitation :

Rαβ−³R 2 + 3λ

´

gαβ+8πk

c⁴ Wαβ= 0 sont satisfaites si et seulement si

P₀₀= 0

xiP01= 0 (16.1)

P11+x²_iP22= 0 (16.2)

xixjP22= 0 (16.3)

(i, j= 1,2,3 ; i6=j).

Lorsquekxk>0, les ´equations (16.1) entraˆınentP₀₁(t,kxk) = 0, mais la continuit´e implique aussiP01(t,0) = 0. D’autre part six16= 0 etx26= 0, on a, d’apr`es (16.3),P22(t,kxk) = 0 donc aussiP22(t,kxk) = 0 quel que soit (t, x)∈R×R³. Mais alors (16.2) entraˆıneP11(t,kxk) = 0, pour tout (t, x)∈R×R³.

En d´efinitive le syst`eme des ´equations de gravitation est v´erifi´e si et seulement si l’on a surR×R³ :

P₀₀(t, ρ) = 0 , P₀₁(t, ρ) = 0 , P₁₁(t, ρ) = 0 , P₂₂(t, ρ) = 0 ,

ce qui d´emontre la proposition.

Dans les applications il s’av`ere souvent commode de remplacer l’´equation P<sub>22</sub> = 0 par l’´equation P<sub>11</sub>+ρ<sup>2</sup>P<sub>22</sub> = 0, d’o`u l’´enonc´e ci- apr`es :

Corollaire 16.2. Le syst`eme des ´equations de gravitation relatives

`

a la m´etrique Θ(4)-invariante (15.1) se r´eduit au syst`eme des quatre

´

equations ci-dessous : Q00−³Q

2 + 3λ

´

q00+8πk

c⁴ E00= 0 Q01−³Q

2 + 3λ

´

q01+8πk

c⁴ E01= 0 Q11−³Q

2 + 3λ

´

q11+8πk

c⁴ E11= 0 Q₁₁+ρ²Q₂₂−(Q

2 + 3λ

´

(q₁₁+ρ²q₂₂) +8πk

c⁴ (E₁₁+ρ²E₂₂) = 0 La proposition 16.2 et le corollaire 16.2 sont d’une importante capitale.

La prise en consid´eration de ces ´enonc´es nous permet de nous limiter d`es le d´ebut, sans aucun calcul pr´ealable, `a quatre ´equations de structure suffisamment simple. Le probl`eme qui se pose ensuite c’est de calculer les fonctions

Q₀₀(t, ρ) , Q₀₁(t, ρ) , Q₁₁(t, ρ) , Q₂₂(t, ρ).

Afin d’obtenir un r´esultat facilement applicable `a tous les cas envisa- geables, nous allons expliciter leurs expressions au moyen des fonctions Bα,(α= 0,1,2,· · ·,9), qui figurent dans les symboles de Christoffel de deuxi`eme esp`ece (cf. corollaire 15.1.2.).

a)Calcul deQ00=R00=R1001

+R2002

+R3003

En se servant de la formule (15.2) et du corollaire 15.1.2., on trouve d’abord

R1001

=∂B5

∂t −B2−B0B5+B₅²−ρ²B2B9+ +x²₁

³∂B₆

∂t −1 ρ

∂B₂

∂ρ −B₂B₉−B₀B₆+B₁B₂+ 2B₅B₆

−B2B8+ρ²B²₆−ρ²B2B7

´

Les deux autres composantes R₂₀₀² et R₃₀₀³ en r´esultent sans calcul si l’on remplace x²₁ par x²₂ et x²₃ respectivement, d’o`u, apr`es quelques r´eductions et un regroupement de termes,

Q00=∂

∂t(3B5+ρ²B6)−ρ∂B2

∂ρ

−B2(3 + 4ρ²B9−ρ²B1+ρ²B8+ρ²B7)

−3B0B5+ 3B₅²+ρ²B6(−B0+ 2B5+ρ²B6)

(16.4)

b)Calcul deQ₀₁

Nous allons utiliser la relationR₀₁=x₁Q₀₁avec R₀₁=R₁₀₁¹+R₂₀₁²+R₃₀₁³ Alors l’application de la formule (15.2) donne

R1011

=

³∂B7

∂t −1 ρ

∂B6

∂ρ −B1B6+B2B4

´ x³₁ +

³∂B₈

∂t + 2∂B₉

∂t −1 ρ

∂B₅

∂ρ −2B₆−B₁B₅+B₂B₃

´ x₁

−B₆B₉x₁x²₂−B₆B₉x₁x²₃+B₆B₈x₁x²₂+B₆B₈x₁x²₃ et

R₂₀₁²=

³∂B₇

∂t −1 ρ

∂B₆

∂ρ −B₁B₆−B₆B₈+B₂B₄

´ x₁x²₂

−B6B9x³₁−B6B9x1x²₃+

³∂B9

∂t −B6−B1B5

´ x1

En ce qui concerne la composanteR3013, elle r´esulte de l’expression ci- dessus si l’on permutex2avecx3:

R3013

=

³∂B7

∂t −1 ρ

∂B6

∂ρ −B1B6−B6B8+B2B4

´ x1x²₃

−B₆B₉x³₁−B₆B₉x₁x²₂+

³∂B₉

∂t −B₆−B₁B₅

´ x₁ Alors en faisant la somme et en mettantx1en facteur, on obtient aussitˆot

R₀₁=x₁Q₀₁

avec Q₀₁=∂

∂t(ρ²B₇+B₈+ 4B₉)−1 ρ

∂B₅

∂ρ −ρ∂B₆

∂ρ

+B₂(B₃+ρ²B₄)−2B₆(2 +ρ²B₉)−B₁(3B₅+ρ²B₆)

(16.5)

c)Calcul deQ11 etQ22

Puisque R11 = Q11 +x²₁Q22, il suffit d’expliciter maintenant la composante

R11=R0110

+R2112

+R3113

On trouve d’abord R₀₁₁⁰=−∂B₃

∂t +B₁−B₀B₃+B₃B₅−B₁B₈ρ²+ +x²₁

³−∂B₄

∂t +1 ρ

∂B₁

∂ρ −B₀B₄−2B₁B₉+B₁²+B₃B₆ +B4B5−B1B7ρ²+B4B6ρ²

´

et ensuite

R₂₁₁²=B₉−B₈−B₃B₅−B₈B₉ρ²+ +

³−B₇+1 ρ

∂B9

∂ρ −B₄B₅−B₇B₉ρ²−B₉²

´ x²₁+ +

³ B7−1

ρ

∂B8

∂ρ −B3B6−B7B8ρ²−B²₈)x²₂ Pour obtenir la composanteR3113

, il suffit de remplacerx2 parx3 dans l’expression ci-dessus, d’o`u

R₃₁₁³=B₉−B₈−B₃B₅−B₈B₉ρ²+ +

³−B7+1 ρ

∂B9

∂ρ −B4B5−B7B9ρ²−B₉²

´ x²₁+ +

³ B7−1

ρ

∂B₈

∂ρ −B3B6−B7B8ρ²−B²₈)x²₃ En faisant maintenant la somme

R₀₁₁⁰+R₂₁₁²+R₃₁₁³

et en tenant compte de

x²₂+x²₃=ρ²−x²₁ on trouve en d´efinitive

R₁₁=Q₁₁+x²₁Q₂₂ avec

Q₁₁=−∂B₃

∂t −ρ∂B₈

∂ρ −(B₀+B₅+ρ²B₆)B₃+ (1−ρ²B₈)(B₁+ρ²B₇+B₈+ 2B₉)−3B₈

(16.6)

et

Q₂₂=−∂B4

∂t +1 ρ

∂

∂ρ(B₁+B₈+ 2B₉) +B₁²+B₈²−2B₉²

−2B₁B₉+ 2B₃B₆+ (−B₀−B₅+ρ²B₆)B₄ + (−3 +ρ²(−B₁+B₈−2B₉))B₇

(16.7)

17. Forme g´eom´etrique de la m´etrique (15.1).

Nous allons exprimer maintenant les fonctions de d´epartq00, q01, q11, q22par d’autres fonctions mettant en ´evidence les caract´eristiques g´eom´e- triques et physiques de la m´etrique.

La coordonn´eet´etant de nature temporelle, on a d’abord la condi- tion :

q00=q00(t,kxk)>0

pour tout (t, x)∈R×R³ et puisqueq00(t,kxk) estC^∞ sur R×R³, la fonction :

f =f(t,kxk) =p

q00(t,kxk)

eststrictement positiveet C^∞ surR×R³. Par cons´equent la fonction f₁=q01

f est aussi bien d´efinie etC^∞ surR×R³.

La prise en consid´eration def₁pemet de mettre la m´etrique sous la

forme ¡

f dt+f1(xdx)¢2

+q11dx²+ (q22−f₁²)(xdx)² qui fait apparaˆıtre la m´etrique spatiale correspondante :

−q11dx²−(q22−f₁²)(xdx)² (17.1) Celle-ci ´etant partout d´efinie positive, on a d’abord la condition

−q11>0 sur R×R³ ,

ce qui permet de d´efinir une fonction strictement positive et C^∞ sur R×R³ en posant

`<sub>1</sub>=`₁(t,kxk) =p

−q₁₁(t,kxk) D’autre part, le d´eterminant des composantes de (17.1) :

−q²11

¡q11+kxk²(q22−f₁²)¢

devant ˆetre partout strictement positif, on a

−q11− kxk²(q22−f₁²)>0

en tout point deR×R³, de sorte que l’on peut d´efinir encore une fonction strictement positive etC^∞ surR×R³:

`=`(t,kxk) =q

`<sup>2</sup><sub>1</sub>− kxk<sup>2</sup>(q22−f<sub>1</sub><sup>2</sup>) (17.2) qui sert `a d´efinir l’´el´ement de longueur sur les g´eod´esiques spatiales radiales.

La relation (17.2) entraˆıne

q₂₂=e+f₁² avec

e=`<sup>2</sup><sub>1</sub>−`²

ρ² , ρ=kxk.

La fonctione=q₂₂−f₁²est manifestement bien d´efinie etC^∞surR×R³, mais cette propri´et´e n’est pas visible sur l’´ecriture

`<sup>2</sup><sub>1</sub>−`² ρ² Or, ´etant donn´e que

∂`1(t,+0)

∂ρ = 0 et ∂`(t,+0)

∂ρ = 0 ,

d’apr`es la proposition 7.2, et que `₁(t,0) = `(t,0) d’apr`es (17.2), la formule de Taylor avec reste sous forme int´egrale donne

`1(t, ρ) =`1(t,0) +ρ² Z 1

0

(1−v)∂²`1(t, ρv)

∂ρ² dv=`(t,0) +ρ²L1(t, ρ) ,

`(t, ρ) =`(t,0) +ρ² Z 1

0

(1−v)∂²`(t, ρv)

∂ρ² dv=`(t,0) +ρ<sup>2</sup>L(t, ρ) , o`u L₁(t, ρ) et L(t, ρ) sont des fonctions paires de ρ satisfaisant aux conditions de la proposition 7.2, donc en particulier C^∞ sur R×R³ en tant que fonctions de (t, x₁, x₂, x₃). En outre, compte tenu de

ρ²=x²₁+x²₂+x²₃ , la fonction

`<sup>2</sup><sub>1</sub>−`²

ρ² = 2`(t,0)

³

L₁(t, ρ)−L(t, ρ)

´ +ρ²³¡

L₁(t, ρ)¢2

−¡

L(t, ρ)¢2´ est effectivementC^∞par rapport aux coordonn´eest, x1, x2, x3surR×R³, bien que les fonctions

`²₁

ρ² et `² ρ² ,

prises s´epar´ement, ne soient pas d´efinies pourρ= 0.

En d´efinitive on obtient la m´etrique sous la forme :

f²dt²+ 2f f₁(xdx)dt−`²₁dx²+ (e+f₁²)(xdx)² (17.3)

o`u l’on se permet d’utiliser suivant le cas, soit la notationesoit l’´ecriture explicite

`<sup>2</sup><sub>1</sub>−`² ρ²

Les composantes covariantes du tenseur m´etrique sont d´efinies mainte- nant par les formules :

g00=f² , g0i=xif f1 ,

gii=−`²₁+x²_i(e+f₁²) , gij =xixj(e+f₁²) , (i, j= 1,2,3 ; i6=j)

On en d´eduit ais´ement leur d´eterminant :

−f²`<sup>2</sup>`⁴₁

et les composantes contravariantes correspondantes : g⁰⁰= `²−ρ²f₁²

f²`<sup>2</sup> , g<sup>0i</sup>=x<sub>i</sub> f<sub>1</sub> f `² , gⁱⁱ=−1

`²₁ −x²_i e

`<sup>2</sup>`²₁ , g^ij =−xixj

e

`<sup>2</sup>`²₁ , (i, j= 1,2,3 ; i6=j)

Comme pr´evu (cf. proposition 15.1(a)), celles-ci d´efinissent un champ de tenseurs Θ(4)-invariant. D’autre part, compte tenu de

q00=f² , q01=f f1 , q11=−`²₁ , q22=e+f₁² , les ´equations de gravitation (cf. proposition 16.2 et corollaire 16.2) se pr´esentent maintenant sous une forme moins sym´etrique.

Proposition 17.1 Les ´equations de gravitation relatives `a (17.3) se r´eduisent au syst`eme des quatre ´equations ci-apr`es :

Q00−³Q 2 + 3λ

´

f²+8πk

c⁴ E00= 0 Q₀₁−³Q

2 + 3λ

´

f f₁+8πk

c⁴ E₀₁= 0

Q11+

³Q 2 + 3λ

´

`²₁+8πk

c⁴ E11= 0 Q22−³Q

2 + 3λ

´

(e+f₁²) +8πk

c⁴ E22= 0 o`u les fonctions

Q₀₀, Q₀₁, Q₁₁, Q₂₂, Q, E₀₀, E₀₁, E₁₁, E₂₂

sont d´efinies par rapport au tenseur m´etrique associ´e `a (17.3). En ce qui concerne, en particulier, la derni`ere ´equation, elle peut ˆetre remplac´ee par l’´equation :

(Q11+ρ²Q22)−³Q 2 + 3λ

´

(ρ²f₁²−`²) +8πk

c⁴ (E11+ρ²E22) = 0

18. D´etermination des fonctions A_α etB_α,(α= 0,1,2,· · ·,9), par rapport `a la m´etrique (17.3)

La d´etermination des fonctions Aα et Bα ,(α = 0,1,2,· · ·,9), n´ecessite la prise en consid´eration des d´eriv´ees des fonctions

f(t,kxk) , f₁(t,kxk) , `(t,kxk) , `₁(t,kxk) ,

qui, d’apr`es nos hypoth`eses, sontC^∞surR×R³. En vertu de la remarque 7.3., il suffit que les d´eriv´ees en question soient calcul´ees pour kxk>0.

En effet, les expressions qui en r´esultent poss`edent, pour kxk →0, des limites bien d´efinies qui sont ´egales, naturellement, aux valeurs de ces d´eriv´ees surR× {(0,0,0)}.

Proposition 18.1. Les fonctions Aα,(α = 0,1,2,· · ·,9), s’obtiennent en explicitant les symboles

Γ_0,00 , Γ_0,01 , Γ_1,00 , Γ_0,11 , Γ_1,01 , Γ_1,12 , Γ_1,22 , et sont donn´ees par les formules :

A₀=f∂f

∂t , A₁= f ρ

∂f

∂ρ , A₂= ∂(f f₁)

∂t −f ρ

∂f

∂ρ , A₃=f f₁+`<sub>1</sub>∂`₁

∂t , A₄=1 ρ

∂(f f₁)

∂ρ −1 2

∂(e+f₁²)

∂t

A5=−`1

∂`₁

∂t , A6=1 2

∂(e+f₁²)

∂t , A7= 1 2ρ

∂(e+f₁²)

∂ρ ,

A8=e+f₁²+`1

ρ

∂`1

∂ρ , A9=−`1

ρ

∂`1

∂ρ

En effet, la premi`ere assertion est ´evidente en vertu des formules ´etablies (cf. corollaire 15.1.1). Pour ce qui concerne la deuxi`eme, c’est une question de simples v´erifications. Par exemple, puisque le calcul direct donne

Γ1,22=1 2

³ 2∂g12

∂x₂ −∂g22

∂x₁

´

=

= 1 2ρ

∂(e+f₁²)

∂ρ x1x²₂+

³

e+f₁²+`1

ρ

∂`1

∂ρ

´ x1

et que

Γ_1,22=A₇x₁x²₂+A₈x₁ , on obtient par comparaison

A₇= 1 2ρ

∂(e+f₁²)

∂ρ , A₈=e+f₁²+`₁ ρ

∂`₁

∂ρ

Proposition 18.2. Les fonctions Bα,(α= 0,1,2,· · ·,9), s’obtiennent en explicitant les symboles

Γ⁰₀₀ , Γ⁰₀₁ , Γ¹₀₀ , Γ⁰₁₁ , Γ¹₀₁ , Γ¹₁₂ , Γ¹₂₂ , et sont donn´ees par les formules :

B0= 1 f

∂f

∂t +ρ²f1

`²

∂f1

∂t −ρf1

`²

∂f

∂ρ B₁= `²−ρ²f₁²

f `² 1 ρ

∂f

∂ρ −f1

f `

∂`

∂t +ρ²f₁² f `²

∂f1

∂t B2=−f

`²

∂f1

∂t + f ρ`²

∂f

∂ρ B₃= `₁

f²

∂`₁

∂t +f₁`²₁

f `<sup>2</sup> +ρf<sub>1</sub>`₁ f l²

∂`₁

∂ρ −ρ²f₁²`<sub>1</sub> f<sup>2</sup>`²

∂`₁

∂t B4=−`²−ρ²f₁²

2f²`²

∂(e+f₁²)

∂t + 1 ρf

∂f1

∂ρ + f1

ρf²

∂f

∂ρ

− ρf₁³ f²`²

∂f

∂ρ − f₁ ρf `

∂`

∂ρ− f₁`<sup>2</sup><sub>1</sub> ρ<sup>2</sup>f `² + f₁

ρ²f − f₁`<sub>1</sub> ρf `²

∂`₁

∂ρ