Ch13: Mouvement dans un champ de gravitation

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Ch13: Mouvement dans un champ de gravitation

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1. Mouvement des satellites et des planètes 1.1. Force et champ de gravitation

La

force de gravitation

qu’exerce un Astre de masse M sur son satellite de masse m, dont les centres de masses sont

distants de r est modélisé ainsi:

𝑭

_𝑨/𝒔

= 𝑮 𝑴 × 𝒎

𝒓

^𝟐

× 𝒖

_𝒔𝑨

𝐺: Constante de Gravitation Universelle 𝐺 = 6,67 × 10⁻¹¹𝑁. 𝑚². 𝑘𝑔⁻²

𝑢_𝑠𝐴 étant le vecteur unitaire dirigé dans le sens satellite Astre.

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1.2. Mouvement des satellites

Quelle est l’accélération du centre d’inertie du satellite ?

Dans le référentiel Astrocentrique, considéré comme galiléen, la somme des forces appliquées au satellite est égale au

produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre de masse.

𝑮 𝑴 × 𝒎

𝒓^𝟐 × 𝒖_𝒔𝑨 = 𝒎 × 𝒂

Donc:

𝒂 = 𝑮

^𝑴

𝒓^𝟐

× 𝒖

_𝒔𝑨

Cette accélération est indépendante de la masse et est centripète.

Que se passe-t-il si la trajectoire du satellite est circulaire ?

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Bien qu’elliptique, les trajectoires des satellites peuvent, très souvent, être assimilées à des cercles. Dans ce cas de figure le vecteur unitaire 𝒖_𝒔𝑨 est confondu avec le vecteur unitaire 𝒖_𝒏.

L’accélération devient donc : (1)

𝒂 = 𝑮

^𝑴

𝒓^𝟐

× 𝒖

_𝒏

Dans un mouvement circulaire le vecteur accélération est aussi de la forme: (2)

𝒂 =

^𝒗^𝟐

𝒓

× 𝒖

_𝒏

+

^𝒅𝒗

𝒅𝒕

× 𝒖

_𝒕

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Par identification de ces deux équations (1) et (2) on peut en déduire que l’accélération n’a donc pas de composante

tangentielle. ^𝒅𝒗

𝒅𝒕 est donc

nulle

.

La valeur de la vitesse 𝒗 est donc constante (attention que le vecteur 𝑣, lui, n’est pas constant).

Le mouvement est donc circulaire et uniforme.

Quelle est l’expression de la valeur de cette vitesse 𝒗 ?

Par identification de ces deux équations (1) et (2) on peut aussi dire que ^𝒗

𝟐

𝒓

= 𝑮

^𝑴

𝒓^𝟐

Donc La valeur de la vitesse

𝒗 =

^𝑮×𝑴

𝒓

La valeur de la vitesse du satellite dépend donc de son altitude.

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2. Les lois de Kepler

Ptolémée (200 ap JC) la Terre est le centre de l’univers et les planètes tournent autour.

- Copernic (1478-1543) Le soleil est le centre du monde et les planètes lui tournent autour suivant des cercles.

- Kepler (1571-1630) utilise les observations de son maître Tycho Brahé (1546-1601) et formule trois lois :

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2.1. 𝟏

^é𝒓𝒆

loi de Kepler: Loi des orbites

Dans le référentiel héliocentrique la trajectoire du

centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil

est l’un des foyers.

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2.2. 2éme loi de Kepler: Loi des aires

Le segment de droite reliant le Soleil à la planète

balaie des aires égales pendant des durées égales.

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2.3. 𝟑

^é𝒎𝒆

loi de Kepler: Loi des périodes

Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre le carré de la

période de révolution T

et le cube

du demi grand axe a

est le même.

T

²

/ a

³

= constante

a

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Quelle est la période de révolution d’un satellite?

La période est de 𝑇 = ^2𝜋𝑟

𝑣

Donc en remplaçant par La valeur de la vitesse 𝒗 = ^𝑮×𝑴

𝒓

On trouve une expression de la période de:

𝑻 = 𝟐𝝅 𝒓^𝟑 𝑮 × 𝑴

RQ : Si on élève au carré l’expression on retrouve la troisième loi de Kepler :

𝑻

^𝟐

𝒓

^𝟑

= 𝟒𝝅

^𝟐

𝑮 × 𝑴

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Application au calcul de l’altitude d’un satellite

géostationnaire avec T= 86164 s (1 jour sidéral) et 𝑅_{𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒} = 6400 𝑘𝑚.

Réponse : h = 35800 km.

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Exercices p267 qcm1, 2 Ex 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 20 et ECE.