  Partie1 Mouvement dans le champ de gravitation d’une planète

(1)

Mamouni.ag@gmail.com Page 1

Partie1

Mouvement dans le champ de gravitation d’une planète

int

2

1 ’ ’ :

( ). 4 . ( )

( ) ( ) ( ). ( ).

4 . (

r r r

r

En faisant l analogie électrostatique gravitation le théorème de Gauss s écris

g r dS G M r

La planéte est à symétrie sphérique g r g r e g r dS g r dS r g r



 

 

   





 

  

     



 

int int

int

3

int int

3

int 3

3

int

) 4 ( )

² ( ) ( )

²

2 . .4 ( )

3 4

3

' ( ) .

' ( )

r

P

P P

planéte P

P

P r P

P

GM g r GM

r

GM r

g M e

r

pour r R M V r distribution homogène de la masse

M M r

or donc M M

V R

R

D où g M GM re

R

pour r R M M d où g M



  





    

  

    

  

 

    

 

 .

²

3 ( ) .

²

4 ,

' '

/ / P

P r

P P

P P O P

GM e r

F m g M GmM e

r

le vecteur F est porté par e O M donc se dérige constament O M

vers le centre O D où l appélation

F O M le moment de F au point O est O M F

   

  

   



  



 

     

M 0

' ( 0 )

( ) (1) ( )

sin (

OP

P P

P r

r

Donc d aprés le théorème du moment cinétique d L dt L Cte m O M v M

O M et v M à un plan contant Le mouvement est plan O M re

or

v re r e_ r e_



  



 

  

  

 



  





  

   

 

 

   

 



M

1)

. .

5 ( )

²

P P

P r P

L plan définie par e et e or le plan de mouvement est L le plan de mouvement est défini par Cte

GmM GmM

dE w e d r dE d

r r

  





 

 

       

   

 

Proposé par Abderahman MAMOUNI

Cpge lissandine_LAAYOUNE

(2)

Mamouni.ag@gmail.com Page 2 1

( ) 0)

. .

( 0

6 . ²

2 7

0 (

P P P

P

P m

l C

GmMP GmM

cte cte car

r r

E GmM mv

r

La vitesse de liberation correspond à la vitesse minimale ,v ,sur la planéte, pour laquelle le mouvement de M est un mouvement de diffusion

soit v donc E

E E E

E E



   

 

   





   

 

2

2 2

( ) 0 ) ' 0

' ( ) 0 ( ) ( )

. 1 2.

2 0

8 ( ) (2 )

C P

m m P

P P

l l

P P

P r r r

pour r cte r

PFD sur

or à l E

d où E E R consérvation

GmM GM

mv v

R R

Dans le plan du mouvement O M r e v r e r e a r r e r r e

a r e r e

 



   

 

   

  

     

 



     





  

           

   

2 2

3 0 0

0

3 3

0 0

2

2 3

0

2 2

3 0

0 0

0

. .

² (3) (4)

9 (3) (4) (5)

(5) 2

4

4 3

1 1

10 ²

2 2 2

P P

P

P P

P

ème P

P P

C

r

C

GmM G

e M

mr cte

r r

v r Cte le mouvement est donc uniforme

et v GM

r

GM GM

T

r r

GM

T r

T cte loi de Kepler

r GM

GM GmM

E mv m E

r

 



 



  

  

  

   

 



 

  

  

 

 







0

0 0

0 0 0 0 0

11 .

2 0

2 ; 0 '

P P

P C

m C C C m

r Pour r r on a E GmM

r

E E

E E E E E d où le mouvement de M est lié

   

  

     

2 Partie

M ission BepiC olomb

1Caractéristiques d'une trajectoire elliptique:

(3)

Mamouni.ag@gmail.com Page 3 1-1

2

0

' ( )

. . (4)

1

0 1

1 4 1

2

p p p p

p

A p

P P

r

p p A A

P A

P P

P

P m

1-2 Aux points A et P r est extrémal r v v e

le moment cinétique s écris L m r v e e L m r v

L se conserve r v r v

1-3 Au point A r p

e Au point P r p

e Au point A E m v GM m

r







 



   

 

  



  



  

 

   



2

² 2

1 ²

2 2

' :

² . ² 0 ( ² 0)

2

' 2

2

p A p p

Pp

p Pp p

p p

p p p p

P m

A A

P P

P m m

P P

A P

m P

P

A P A P

m P m

L GM m

E mr r

GM m L GM m

Au point P E m v E

r mr r

Donc r et r sont les solutions de l équation

E r GM m r L Ar Br C

m GM m

Donc r r B d autre part r r a

A E

En fin E GM m

a

  

    

     



     

 

2

2 1

1 5 2

1 ² 2

(1 ²) 1 (1 )

2 2

(1 )² (1 ) (1 )

(4) (1 )

p p Ap

p

Ap

Ap Ap

P

A P m

A

P P

GM m

On a a r r p donc E m v

e r

GM m GM m

e m v e

p p

GM GM

v e soit v e e ellipse

p p

donne v GM e

p

     



     

     

 

(4)



^’



2 1 :

. ,

Le référentiel héliocentrique

Son origine est le centre de masse du Soleil centre de l étoile Chacun des trois axes de ce repère pointe vers une étoile lointaine supposée immobile par rapport au

 

. ,

, :

Soleil le Soleil et les étoiles lointaines se trouvent en périphérie de notre Galaxie

la Voie Lactée en rotation sur elle même elles tournent ainsi autour du centre de la galaxie avec une vite





 

200 / . , ,

’ . ,

200 ’ ,

sse voisine de km s Donc rigoureusement le référentiel héliocentrique n est pas parfaitement galiléen Mais comme le temps requis pour faire un tour complet est

long millions d années on c .

2 2

onsidère ce référentiel comme galiléen



import matplotlib.pyplot as plt from numpy import*

t=linspace(0,2*pi,1000) R1=152

R2=46

p=2*(R1*R2/(R1+R2)) e=(p/R1)-1

def r1(t):

return 4+t-t def r2(t):

return R2+0*t def r3(t):

return p/(1+e*cos(t)) plt.polar(t,r1(t),color="red") plt.polar(t,r2(t),color="blue") plt.polar(t,r3(t),color="green") plt.grid()

2 3 1 ²

2 2

1 1

( ) 2 ( )

2 4

'

, 2

S S

m

S

Une trajectoire de Hohmann est une trajectoire qui permet de passer d une orbite circulaire à une autre orbite circulaire située

dans le même plan en u

GmM GmM

E mv

r a

v r GM

r a

    

  



6 6

6

' .

2 5 46.10 152 10 ( )

2 99

2. .

1 1 0, 54

( )

10

HP M HA T

M T

H

M T

H

M M M T

tilisant uniquement d eux manœuvres impulsionnelles donc consommant le moins d énergie possible

d r km d r km voir figure

r r

a km

p r r

e r r r r

    

   

    

 

(5)

,

, ,

2

2 1 1

2 ( ) 2 (1 ) 1

2 2

(2 ) 1

( ) 1 ;

:

1 1

2 (

6 _A _HA _T ^S ^S

T T

S A

T

S A

M T

S

P M H P

T S

T

M H P

H P M

M P

S M

GM GM

Au point A V V V

r r

V GM r GM

GM r

r a a

a r a

r r r

a remarqu

r

e erreur de frappe r au lieu r i

V

V V GM

Au po nt P r M

V G r

 

     









    

 

   









  

 

 

 

 

 

 

 



,

3 9 3

3 11 30

) 1 2 (1 )

2 1

2 _ 7 ( )

2

² 4 ² 1 4 ² 1 4 ²

.(99.10 ) 1

2 2 6, 67.10 .1,9.10

M

T

T H A

A P

A P H

S

S M

S

P T

H

P

A

r

a a

r r r

a

Le temps entre la terre et mercure tempsentre Aet P corespond à t T

or T alors t a t

Gm Gm

a

GM r V GM

r

  



  

 

 

 

 

 

    

 

 

    





  00, 61 jours

2 1 1 2 2

2 0

0

3

3 1 . . . ' '

3 2 . . ( ) 1 ( ) . . .

0 0 2

2. .

( ) (5)

m

C é i i i i

i i

i

Motorisation de la sonde BepiColomb

F D u MLT M T LT MLT MLT d où l hogèneité

F D u

T E C E W F m u x q x E q x U

x x d

q x U

u x m d

    



    

      

 

 

  



L'assistance gravitationnelle est une technique utilisant l'attraction des planètes pour donner

un supplément de vitesse à une sonde interplanétaire.

Elle consiste à faire entrer une sonde dans ce q

2-8

ue l'on appelle la sphère de Hill ( sphère d'influence gravitationnelle d'un corps céleste) Lorsqu'une sonde entre dans une sphère de Hill avec une vitesse suffisante pour ne pas y rester

sa vitesse aug

 ment

Le but est économiser du carburant

(6)

( ) ¨

3 3 ; '

( )

( ). ( ). ) ( )

( ). . . ( ) ( 6)

3 4 '

m

i

i i i

x dV

m i i i

D m m la masse traverssant S pendant dt à l abscisse x dt

m est conteue dans le cylindre de section S et de hauteur u x dt

m x dV n x m S u x dt

D n x m S u x l équation de Laplace



 



 

 



  

 



 

0 2

2

0

0 0 0

0

0 0

0 ' ( ) ( ) :

( ). 0 '(7)

3 5

( ). .

(7) ' ( ) ( ( ) )

² ²

(6) . . . . ( )

² (5) .

i i

i

m i i

i

m i

V s écris avec V V x et x n q ainsi

n x q d V

dx

n x q U U

s écrit n x indépondante de x n x d

d q d

au point de sortie D U m S u x d

q d avec on a D U

q

 



      

 



 

  



3/ 2

0 0 0

2

0 0

2 .. 2.

. . . .

² ²

. 2 ..

3 6 ( ) . . .

²

2.

²

i i

i m

i i

i

m i i

i i

q U SU m

m S soit D

d m d q

U q U

F D u x d F m S

q d m

F U S d



    

 



3/ 2

0 0

3/2

0 0

0

5/2

0 0

. 2.

² . 2.

²

. 2.

²

3 8 ,

emin 0

m i i i

i

i i i i

i i

emin

i i

i emin

i

3 δq

u -7 P = U I ;I= ; δq charge traversant S pendant dt

dt

D q

La pouss

m

U

ée ne

q

dé δ

pe

q SU m

q mq I

m m m d

q S m

P U

d q

S

nd pas de la masse des ions alors

U q

P d m

q

 



    

 





. .

3 9 , ,

e la puissance

en est une fonction décroissante Donc on a intérêt à choisir les ions les plus lourds possibles Le gaz éjecté doit être électriquement neutre sinon la fusée se chargerait négative



, , .

ment le gaz éjecté (de charge positive) attirerait donc la fusée et la freine

(7)

Mamouni.ag@gmail.com

.

4 1 2

4 :

MPO

Le référentiel mercurocentrique est un r Mercure et

Sonde MPO 4-1

dont les t 1

rois axes pointent vers des étoiles lointain On a T

-

 

2 2 2

3

4 4

4 1 3 '

' '

M M

MPO GM GM

r

L orbite polaire de basse altitude est lar utilisée à l observation parce qu elle sur

jour la surface complète de la planète

 

  

 

ation de mercure se fait autour d'un axe l'axe de rotaion de la sonde (voir image exemple_Terre) et vue

que la période de ré

celle ci tournant autour du pôle sous le 4-1-4 L a rot





4 2 '

4 2 1 ' :

volution de la sonde est très petit La sonde ne balaye pas la m

Télescope de schmidt cassegrain prise d image Approximation de l optique geometr q

la notion de

 

t

rayon lumineux possibilité d'isoler un rayo diffraction

4-2-2 l' approximation de Gauss est réalisée po

* arrivent proche de l p '

p ax

* peu inclinés par ra or x e

t à cet a e n

E pra



ique ceci est réalisé en utilisant un d Conséquence : le système est stigmatique 4-2-3-1 Difference n re t e Cassegrain

pour Cassegrain

* forme des miroirs :un miroir parabolique c un miroir hyperbolique divergent

* Absence de lentille de correction

4-2-3-2 Le capteur doit être placé au foyer ima lieu de formaion de l'image de l'objet situé à l ' 4-2-3-3

.

Le référentiel mercurocentrique est un référentiel dont l'origine est le centre rois axes pointent vers des étoiles lointaines qui apparaissent fixes

2 2

4 4 3

8396 2, 33

4 1 3 '

' '

,

MPO MPO

M M

MPO

T r

GM GM

T s heures

L orbite polaire de basse altitude est largement utilisée à l observation parce qu elle survole chaque

jour la surface complète de la planète

 

  

  

. ation de mercure se fait autour d'un axe l'axe de rotaion de la sonde (voir image exemple_Terre) et vue

car (voir image) celle ci tournant autour du pôle sous le satellite

4 2 '

4 2 1 ' : ’

olution de la sonde est très petit La sonde ne balaye pas la m

Télescope de schmidt cassegrain prise d image

tique geometr qi ue L optique géométrique repose sur

 

rayon lumineux possibilité d'isoler un rayon lumineux sans qu'il ya 4-2-2 l' approximation de Gauss est réalisée pour des rayons tel que :

* peu inclinés par ra ort à cet a e x

e

ique ceci est réalisé en utilisant un diaphragmme pour réduire l'etendu spasial Conséquence : le système est stigmatique et aplaneitique de façon approchée

grain t Schmidt-Cassegrain :

* forme des miroirs :un miroir parabolique convergent et un miroir hyperbolique divergent

lieu de formaion de l'image de l'objet situé à l'infini

Page 7

.

éférentiel dont l'origine est le centre de es qui apparaissent fixes

L optique géométrique repose sur n lumineux sans qu'il ya

iaphragmme pour réduire l'etendu spasial du faisceau et aplaneitique de façon approchée

* Absence de lentille de correction

4-2-3-2 Le capteur doit être placé au foyer image du télescope ême surface

(8)

Mamouni.ag@gmail.com Page 8 ' '/ 2

4 2 3 4 ': tan ( )

'

/ 2 '

' tan ( ) .

'

' ' . . . 79,8

'

: . 665

' 4 - 2 - 3 - 5

MPO MPO

P

P MPO

MPO

selon zz A B

OF

AB A B

d autre part L AB h

h OF

N AN

avec A B N alors L h L km

OF

selon yy' dimension de l'image est A"B" = l h m OF

Deux points objets

 



 

   

   

   

  



3 3

0

. 665

'

4 2 4 1 . 4, 410 2,898.10

MPO

séparés par une distance D sont résolus (vus séparés) si la distance d entre leur images est telle que d

D h m

OF

on a T donc le rayonnement ne verifie la loi



 ^ ^



  

    

3

4 - 2 - 4 - 2

665 0, 26 2, 6.10

4 2 4 3

pourqu'un point image parcourt un pixel il faut le point objet parcourt D

Soit D s

v

le nombre N





  

  

0 37

0

(

. . . 2, 3.10

t

px

px t t t

de photon reçus par un pixel par seconde non mentioné par l'énoncé)

est tel que N h N h N c photons

c h

 



      

de wien δ sur le detecteur correspont à D = 665m sur la surface de Mercure