Mouvement dans le champ gravitationnel d’une planète

Mission BepColombo

Mohamed Afekir (cpgeafek@gmail.com) École Royale de l’Air CPGE - Marrakech

Partie 1

Mouvement dans le champ gravitationnel d’une planète

1.

Champ gravitationnel

La distribution de masse (D) est à symétrie sphérique:

−

→G(M)=−→

G(r,θ,ϕ)

Invariance La distribution (D) est invariante par rotation deθautour de−→e_ϕet par rotation deϕautour de−→e z;−→

G est indépendant deθet deϕ:

−

→G(M)=−→ G(r)

Symétrie Le planΠ(M,→−e _r,−→e_θ) et le planΠ⁰(M,−→e _ϕ,−→e_r) sont deux plans de symétrie de la distribution

(D): −→

G(M)∈¡

Π∩Π⁰¢

⇒ −→

G(M)=G(r)−→er

Gauss La surface de Gauss (Σ) est la sphère de centreOpet de rayonr: Ó →−

G(M)·−→

dΣ= −4πG M_{i nt}=G(r)×4πr² ⇒ G(r)= −G M_{i nt} r²

−

→G(M)= −G Mi nt

r²

−

→er

2.

Champ crée au pointM situé à la distancer de l’espace:

pour r>R_p ; M_{i nt}(r)=M_p ⇒ −→

G(M)= −G M_p r²

−

→e_r

pour r<R_p ; M_{i nt}(r)=M_p Ãr³

R³_p

!

⇒ −→

G(M)= −G M_p R³_p

−

→r

3.

Force gravitationnelle:

−

→F =m−→

G(M)= −GmM_p r²

−

→e_r

4.

^−→F est dite force centrale car sa direction est dirigé vers le centre de force.

Le théorème du moment cinétique appliqué àMdans le référentielRp: d−→

L_Op d t =−→

MOp(−→

F)= −→r ∧−→ F =−→

0 ⇒ −→

LOpest une constante vectorielle.

La trajectoire deMest plane.

La surface de la trajectoires est le plan perpendiculaire au moment cinétique−→

L_Op=−−→

C t e=−→

L(t=0).

Le plan du mouvement est, alors, déterminé par¡→−r (t=0),−→v(t=0)¢ .

5.

L’énergie potentielle:

δW(−→ F)=−→

F ·d→−r = −GmM_p

r² d r= −d Ep avec d→−r =d r−→er+d−→r_⊥ Ep= −GmM_p

r ; Ep(∞)=0

6.

L’énergie mécanique:

E_m=E_c+E_p=1

2mv²−GmM_p r

7.

Vitesse de libération ou vitesse minimale à communiquer à l’engin spatial pour s’échapper à l’attraction de la planète. Cette vitesse correspond à l’état libre de l’engin:E_m(r=R_p)≥0.

E_m(R_p,v_{`</sub>)=0 pour v<sub>`}=

s2G M_p R_p

8.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à M, soumis à la seule force→−

F, dans leRp

s’écrit dans la base de Frenet (−→u_t,→−u_n,−→u_L);−→u_L//−→ L:

−

→u_t

−

→u_n

¯−→L

−

→F =m−→a_M/Rp=v² r

−

→u_n+d v d t

−

→u_t

−

→F est centrale;→− F//−→u_n:

d v

d t =0 ⇒ v=constante ⇒

mouvement circulaire uniforme

9.

Expression dev_oet loi de Kepler:

mv²

r =GmM_p

r ⇒ v_o=

sG M_p r_o Loi de Kepler

v_o=2πro

T_o =

sG M_p

r_o ⇒ T_o²

r_o³ = 4π² G M_p =c t e

10.

Énergie cinétique:

Eco=1

2mv_o²=GmM_p 2r_o

11.

E_co= −E_po

2 et E_co= −E_mo

Commentaire: le signe négatif deE_moest du au fait qu’il s’agit d’un système dans un état lié.

Partie 2

Mission BepiColombo

1. Caractéristique d’une trajectoire elliptique 1.1.

O_p M

rP_p

A_p r_Ap

−

→v_Ap

a

−

→vPp

r

P_p θ

1.2.

Conservation du moment cinétique:

−

→L_Op(M≡A_p)=−→

L_Op(M≡P_p) ⇒ r_Ap×v_Ap=r_Pp×v_Pp

1.3.

Apogée et Périgée:

rP_p=r(θ=0)= p

1+e ⇒ rA_p=r(θ=π)= p 1−e

1.4.

Conservation de l’énergie mécanique:

E_m=1 2mv_P²

p−GmMp

rPp

=1 2mv²_A

p−GmMp

rAp

=1 2mv_P²

p

r_P²

p

r²_A

p

−GmMp

rAp

⇒ 1

2mv²_Pp= GmM_p r_Ap+r_Pp

r_Ap r_Pp E_m=1

2mv_P²_p−GmM_p

r_Pp =GmM_p 2a

r_Ap

r_Pp −GmM_p

r_Pp = −GmM_p 2a

Ã2a−r_Ap r_Pp

!

| {z }

=1

E_m= −GmM_p 2a

1.5.

Em= −GmM_p

2a = 1

2mv²_Pp−GmM_p r_Pp =1

2mv²_Ap−GmM_p r_Ap

⇒





















 v_Ap=

v u u t2G M_p

à 1 r_Ap − 1

2a

!

=

sG Mp

p (1+e)

v_Pp= v u u t2G M_p

à 1 r_Pp − 1

2a

!

=

sG M_p p (1−e)

2. Voyage interplanétaire de BepiColombo

2.1.

Le référentiel héliocentrique dont le centre est le barycentre du soleil et les axes pointent vers trois étoiles lointaines.

Pour le considérer galiléen, il faut que la durée de l’étude soit très inférieure à la période de révolution du soleil autour du barycentre de la galaxie.

2.2.

OrbitedeMERCURE

Orbite de laT^ER

RE

Orbite de HOHMANN

A P

° T°

M r_M r_T

SOLEIL

2.3.

E_m= −GmMs

2a =1

2mv²(r)−GmMs

r ⇒ v(r)= s

2G Ms

r

³ 1− r

2a

´

2.4.

Sur l’orbite de HOHMANN, l’engin spatialn’utilise presque pas les moteurs, contrairement à une orbite de transfert sécante à l’orbite de Mercure où il est nécessaire d’actionner les moteurs pour changer la vitesse et la direction de l’engin.

2.5.

dH,P=rM et dH,A=rT

2a_H=r_M+r_T ⇒ a_H=r_M+r_T 2 Application numérique: aH=99×10⁶km

r_M = p

1−e_H et r_T = p

1+e_H ⇒ e_H=r_T−r_H r_T+r_H Application numérique:eH=0, 54

2.6.

∆V_A=V_H,A−V_T ; ∆V_P=V_M−V_H,P ; v(r)= s

2G M_s r

³ 1− r

2a

´

VH,A= s

2G Ms

r_T

³ 1−rT

2a

´

et VH,P= s

2G Ms

r_M

³ 1−rM

2a

´

V_T =

sG M_s rT

et V_M =

sG M_s rM

∆VA = VH,A−VT

=

s2G M_s rT

³ 1−r_T

2a

´

−

sG M_s rT

= s

G M_s r_T

µr 2−r_T

a −1

¶

= s

G M_s r_T

µrr_M a −1

¶

∆V_P = V_M−V_H,P

= s

G Ms

r_M − s

2G Ms

r_M

³ 1−rM

2a

´

=

sG M_s r_M

µ 1−

r 2−r_M

a

¶

=

sG M_s r_M

µ 1−

rr_T a

¶

2.7.

∆t_A−→P=T_H

2 avec T_H²

a³_H = 4π² G M_s =T_T²

a³_T ⇒ ∆t_A−→P=T_T 2

µa_H a_T

¶3/2

Application numérique:∆t_A−→P≈0, 26ans≈96j our s

2.8.

L’assistance gravitationnel est l’exploitation de l’énergie due à la gravitation pour qu’un engin spatiale puisse changer sa vitesse et sa direction.

3. Motorisation de la sonde BepiColombo 3.1.

^F =ma: s’exprime enkg ms⁻²

D_m=d m

d t est en kg s⁻¹etu(vitesse) en ms⁻¹, le produit [Dm×u] s’exprime, alors, enkg ms⁻². L’expressionF =D_mu, est bienhomogène.

Un raisonnement par analyse dimensionnelle est aussi valable!

3.2.

Le théorème de l’énergie cinétique à un ionX e⁺de chargeq_i, entre la grille (G_i) et une position x:

1

2m_iu_i(x)²−0= ˆ _x

0

q_i→−

E ·d−→x =0−q_iV(x)

| {z }

ui(x=0)=0 et V(x=0)=0

⇒ u_i= s

−2q_i m_i V(x)

3.3.

Le débit massiqueD_m:

D_m=m_in_i(x)u_i(x)S

3.4.

L’équation vérifiée parV(x):

∆V(x)+ρi(x) εo

=0

l’équation de Poisson avec

ρi(x)=n_i(x)q_i la densité volumique

de charges ioniques soit:

d²V(x)

d x² +n_i(x)q_i εo =0

3.5.

Le débit massique, enx=d, dans l’approximation;

d²V(x)

d x² ≈ −U_o

d² = −n_i(x)q_i

εo ⇒ D_m=m_iu_i(x)SεoU_o qid² Dm=SεoUo

d²

s2mi

q_i Uo=SεoU_o^3/2 d²

s2mi

q_i

3.6.

L’intensité de la force de poussée−→ F est:

F = k−→

Fk =D_mu_i=SεoU_o^3/2 d²

s2m_i qi

s2q_i mi

U_o=2SεoU_o² d²

3.7.

La puissance électrique minimale que doit fournir le générateur est:

Pem=Uo×Ii avec

I_i:

l’intensité du courant engendré par le mouvement des ions I_i=D_m

mi

q_i ⇒ P_em=U_oq_i mi

SεoU_o^3/2 d²

s2m_i qi

Soit:

P_em=SεoU_o^5/2 d²

s2q_i m_i

3.8.

Le carburants pour les moteurs ioniques doit être ionisable! C’est le cas du césium, du sodium et de xénon (point commun).

¦ Dans les moteurs ioniques, on cherche à augmenter la force de pousséeF =Dm×ui et diminuer la puissance consommée (inversement proportionnelle àp

m_i ): c’est le cas pour le xénonX eet le césiumC set pas pour le sodiumN a.

¦ X e est inerte chimiquement: il ne présente pas de danger sur le moteur et ces accessoires (n’est pas corrosif électrochimique) contrairement au césium.

Le dernier de ces deux critères fait déjà la différence (critère majeur): d’où le choix du xénon.

3.9.

Le gaz éjecté doit être électriquement neutre, pour éviter leretour des ions, et donc,pertede puissance et par conséquentfreinagedu vaisseau spatial.

4. Sonde MPO 4.1. Trajectoire

4.1.1.

Le référentielmercurocentriqueest le référentiel dont le centre est le barycentre de la planète Mercure et les trois axes sont parallèles à ceux du référentiel de Copernic.

4.1.2.

La période de révolution:

T_{M PO}=2πr_{M PO}

v_{M PO} et mv²_{M PO}

r_{M PO} =G M_Mm_{M PO}

r_{M PO}² ⇒ v_{M PO}=

sG M_M r_{M PO}

T_{M PO}=2πrM PO

rrM PO

G M_M Application numérique: TM PO=8377s=2, 33h=2h19mn48s

4.1.3.

^{La sondeM PO}est mise sur une orbite polaire afin de balayer toute la surface de la planète Mercure en tenant compte de la rotation propre de ce dernier.

4.1.4.

A chaque révolution de la sondeM PO, la zone de la surface de Mercure observée n’est pas la même car la sonde n’est pas sur une orbite «mercurostationnaire».

4.2. Télescope de Schmidt-cassegrain, perte d’image

4.2.1.

L’approximation de l’optique géométrique consiste à considérer les dimensions caractéris- tiques des instruments optiques grandes devant la longueur d’onde.

4.2.2.

• Conditions de Gauss:

◦ Rayons lumineux proches de l’axe optique.

◦ Rayons lumineux peu inclinés par rapport à l’axe optique.

• Dans ces conditions, lestigmatisme approchéest réalisé ainsi que l’aplanétisme approché.

4.2.3.

4.2.3.1.

quelques particularités du télescope de Schmidt:

• Existence d’une lentille qui corriges les aber- rations.

• L’imagerie spectrale dans le domaine de l’infrarouge.

4.2.3.2.

Pour une observation optimale, il faut placer le capteur dans le plan focale du (téle- scope).

4.2.3.3.

Image de la ligne imagée à la surface de Mercure par le télescope:

L f⁰=50mm

hMPO=950km

A B

Ligne de pixels

α α

Ligne imagée en sol

4.2.3.4.

^{Dimensions L} = AB de la ligne imagée à la surface de Mercure par la ligne de pixel.

D’après le schéma ci-dessus:

α= L

h_{M PO} =N_pδ

f⁰ ⇒ L=N_pδh_{M PO}

f⁰ et l= L

N_p =h_{M PO}δ f⁰ Application numérique;

L=79, 80km et l=665m

4.2.3.5.

La résolution numérique spatialeRnumdu télescope:

Rnum=l=665m

4.2.4.

4.2.4.1.

La loi de WIEN:

λmax×T ≈3mm.K Pour le rayonnement émis par la planète Mercure:

λo×T=440×10⁻⁵=4, 4mm.K6=3mm.K La loi de WIENn’est pas vérifiée par un tel rayonnement.

4.2.4.2.

^{Le temps}τdurant lequel est vue une zone donnée de la surface de Mercure parun pixel:

τ= l v Application numérique:

τ= 665

2, 6×10³≈0, 26s

4.2.4.3.

^NombreNphot onde photons reçus par un pixel provenant d’une zone donnée de la sur- face de Mercure:

Φp x=N_{phot on}×hν

τ = N_{phot on}×hc

λoτ ⇒ N_{phot on}=λoτ hc Φp x

Application numérique:

N_{phot on}=6, 67×10⁹∼ 10 milliards de photons