Universit´e Cadi Ayyad Ann´ee Universitaire 2014/2015 Facult´e des Sciences
Semlalia-Marrakech D´epartement de Physique
Module de M´ecanique du Point Mat´eriel S´erie N◦ 4
Fili`eres SMP/SMC/SMA
Exercice 1 : Th´eor`eme de l’´energie m´ecanique
SoitM un v´ehicule que l’on consid`ere, comme un point mat´eriel, situ´e `a l’int´erieur de la Terre `a une distance r de son centre. M subit l’attraction gravitationnelle de la masse de la sph`ere de rayon r concentr´ee en O.
On consid`ere que la forme de la Terre est sph´erique et que sa masse volumique est constante. On note le rayon de la Terre parRT.g0 est l’acc´el´eration de la p´esanteur `a la surface de la Terre.
1. Montrer que l’attraction gravitationnelle peut se mettre sous la forme
F~ = −mg0
r RT
~er.
o`u~er est le vecteur radial de la base sph´erique. En d´eduire l’´ener- gie potentielle Ep dont d´eriveF~. On prend Ep(r = 0) = 0.
Soit un tunnel rectiligne AB ne traversant pas O et muni de l’axe HX, voir figure ci-contre. On note OH = d. Un v´ehicule assimil´e `a un point mat´eriel de masse m glisse sans frottement dans le tunnel. Il part du point A de la surface terrestre sans vi- tesse intiale. On rep`ere la position du v´ehicule dans le tunnel par
−−→OM =−−→
OH+−−→
HM =d ~k0+~x.
X
A B
O H M
d r R
2. Calculer la vitesse du v´ehicule. En d´eduire son ´energie cin´etique.
3. Calculer l’´energie m´ecanique Em et montrer qu’elle est constante. Quelle est sa valeur ? 4. Calculer la vitesse maximale du v´ehicule ?
5. En utilisant le th´eor`eme de l’´energie m´ecanique, ´etablir l’´equation diff´erentielle. R´esoudre l’´equation et montrer que l’´equation horaire est donn´ee par
x(t) =qR2T −d2cos s
ω2+ g0
RT
t.
Mouvement dans un champ de force centrale
Exercice 2 : Orbite g´eostationnaire
On rappelle qu’une orbite g´eostationnaire est celle d’un satellite restant toujours `a la verticale d’un mˆeme point du globe terrestre.
On note par S le satellite que l’on consid`ere comme un point mat´eriel. La p´eriode de rotation de la Terre estT = 86164s , son rayonRT ≃6.4×103km et sa masse MT ≃6×1024kg. La constante gravitationnelle estG≃6.7×10−11S.I..
1. Calculer la vitesse angulaire Ωg d’un satellite sur l’orbite g´eostationnaire. Quel est le r´ef´erentiel d’´etude Rg? Est-il galil´een ?
www.goodprepa.tech
2. On se propose d’´etablir les expressions du rayon de l’orbite g´eostationnaire Rg ainsi que son altitude hg.
a) Montrer que le mouvement du satellite est plan. Etablir l’expression de l’acc´el´eration du satellite
~γ(S/Rg). En utilisant le PFD, d´eduire l’expression deRg ainsi que celle dehg. Faire leurs appli- cations num´eriques.
b) En d´eduire la valeur de la vitesse vg =k~vg(S/R)k du satellite sur l’orbite g´eostationnaire. Faire son application num´erique.
c) Montrer que cette orbite est forc´ement dans le plan de l’´equateur.
Exercice 3 : orbite elliptique
Avant de placer un satellite sur une orbite g´eostationnaire, le lanceur des satellites, comme Ariane pour l’exemple, l’injecte `a la p´erig´ee d’une orbite elliptique, dite orbite de transfert, `a une altitudeh0 = 200km de la base de lancement et avec une vitesse, que l’on notev0, telle que l’apog´eeAde l’orbite de transfert soit sur l’orbite g´eostationnaire. Au moment o`u le satellite se trouve enA, on actionne des moteurs qui r´eajuste sa vitesse et le transf`erent sur l’orbite g´eostationnaire.
Les notations et les r´esultats de l’exercice pr´ec´edents concernant une orbite g´eostationnaire sont utilis´es sans d´emonstration.
1. D´eterminer les param`etres de l’ellipse : le demi grand-axe a, l’excentricit´e e et le param`etre p en fonction deRT,h0 ethg. Faire leurs applications num´eriques.
2. En utilisant la formule de Binet de l’acc´el´eration, d’une part, et du PFD, d’autre part, ´etablir la relation entre la constante des aires C en fonction de MT,G etp.
3. En d´eduire la vitesse v0 `a donner au satellite lors de son lancement et la vitesse v1 qu’il atteint `a l’apog´ee A. Faire leurs applications num´eriques.
4. Quelle est la diff´erence des vitesses en A que doivent fournir les moteurs pour que le satellite soit plac´e sur son orbite g´eostationnaire ?
5. En utilisant la troisi`eme loi de Kepler, calculer le temps que passe le satellite sur l’orbite de transfert.
Exercice 4 : Orbite hyperbolique
Une m´et´eorite M a, tr`es loin de la Terre, une vitesse
~v0 = v0 ~u∆ port´ee par une droite situ´ee `a la distance bde l’axe (∆) du centre de la TerreO, voir figure ci-contre.
On note par m la masse du m´et´eorite, MT la masse de la Terre,RT son rayon etGla constante de gravitation univer- selle. On travaille dans le r´ef´erentiel g´eocentrique, suppos´e galil´een. La position de M est rep´er´ee par les coordonn´ees polaires (r, θ), −−→
OM = r~ur. La trajectoire du m´et´eorite est une branche d’hyperbole de foyerO, le centre de la Terre.
Noter bien que l’on utilise les notations(~ur, ~uθ)pour la base polaire et(r, θ) les coordonn´ees correspondantes.
1. Montrer que le moment cin´etique de la m´et´eorite par rapport `a O et son ´energie m´ecanique sont conserv´es.
2. En d´eduire l’expression de rmin, lorsque la m´et´eorite se trouve au sommet S de l’hyperbole, en fonction dev0,G,MT et b.
3. D´eterminer la valeur minimalebmin de bpour que la m´et´eorite ne rencontre pas la Terre.
4. Dans le cas o`ub > bmin, d´eterminer l’angle de d´eviation ϕde la m´et´eorite.
