Séries hypergéométriques et irrationalité des valeurs de la fonction zêta de Riemann

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

T

ANGUY

R

IVOAL

Séries hypergéométriques et irrationalité des valeurs

de la fonction zêta de Riemann

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

15, n

o

_{1 (2003),}

p. 351-365

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2003__15_1_351_0>

© Université Bordeaux 1, 2003, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

Séries

_{hypergéométriques}

et

irrationalité

des valeurs

de

la

fonction

zêta

de

Riemann

par TANGUY RIVOAL

RÉSUMÉ. Nous effectuons un survol des résultats connus sur la

nature

_{diophantienne}

des valeurs de la fonction zêta de Riemann

aux entiers. Nous mettons en

particulier

l’accent sur le rôle

im-portant des séries

_{hypergéométriques}

dans les démonstrations de l’irrationalité de

_{03B6(2) , 03B6(3)}

et d’une infinité des nombres

_{03B6(2n+ 1).}

ABSTRACT. In this survey, we _present some known results in

dio-phantine

theory

of values of the Riemann zeta function at

_integers.

In

_particular,

we will

_emphasise

the

_importance

of

hypergeomet-ric series in the

_proofs

of the

irrationality

of

_03B6(2),

_03B6(3)

and of

infinitely

many 03B6(2n

+

_{1)s .}

1. Introduction

Nous effectuons un tour d’horizon de résultats anciens et récents

concer-nant la nature

_{arithmétique}

des valeurs _pour s entier &#x3E; 2 de la fonction

«s) =

En notant les nombres

_(rationnels)

de

_Bernoulli,

la formule

j’Euler

et la transcendance de 7r _par Lindemann

[Li]

_prouvent

la transcendance

de tous les

_{( pairs.}

En

_revanche,

une telle formule d’Euler fait défaut

pour

les (

impairs

et il a fallu attendre 1978 _pour voir la démonstration

de l’irrationalité

_{de ((3) (et}

aussi

_{de ~ (2) )}

_par

_Apéry

_[Apl,2].

Sa méthode fit

_plus

d’un

_sceptique

mais fut finalement

_{acceptée après}

les travaux de Beukers

_[Bel],

Cohen

_[Coh],

Van der Poorten

_[VdP].

Pourtant aucune des nombreuses

_{approches proposées}

_depuis

n’a

_permis

de _prouver l’irrationalité d’un

_{autre (}

_impair.

En

_2000,

l’auteur du

_présent

_survol,

en

généralisant

une construction

de K. Ball

_[Ba],

est parvenu à démontrer l’irrationalité d’une infinité de

~’

impairs

(cf.

[Ril]

ou aussi

[BR]),

mais sans

_pouvoir

en citer un autre

que

((3).

Néanmoins,

en

2001,

il a pu montrer que l’une au moins des neuf

valeurs

_~’(5),

_{((7),... ,}

_~’(21)

est irrationnelle

_[Ri2].

Ce résultat a été

rapide-ment amélioré _par Zudilin

_[Zu2]

qui

a montré l’irrationalité d’au moins un

des

_quatre

nombres

_{ç(5), ((7), ((9), ( (11).}

L’irrationalité de

_{( (5)}

est donc

encore incertaine.

Tous ces résultats

_peuvent

être

placés

dans le contexte récent et

plus

général

des séries mutizêtas

_(cf.

_[Wa]

_pour une

introduction)

où 2 _{et s2, ... ,} 1 sont entiers. La détermination des relations

algébriques possibles

entre des

_analogues

_symboliques

de ces nombres laisse

espérer

l’indépendance algébrique

sur Q

de _1r,

_{~(3), ((5), ~{7),}

etc. On

mesure le chemin à

parcourir.

2. Notations

Toutes les démonstrations

_proposées

dans la suite

_peuvent

être

_placées

dans le cadre de la théorie des fonctions

_{hypergéométriques}

où p

est un entier &#x3E;

_1,

_(a)o

= 1 et

(a)k

=

a(a+1) ~ ~ ~ (a + k - 1)

définissent le

symbole

de

_{Pochhammer, ai}

E

C,

_bj

E

_{C B ~0, -1, -2, ... }}

et z E

_C,Izl

_1,

avec

_parfois

_convergence sur le cercle

Izi

= 1.

Les séries introduites dans la suite sont construites _pour donner des

com-binaisons linéaires à coefficients

_polynomiaux

des fonctions

_{polylogarithmes}

et donc des valeurs

_«s)

par

spécialisation

en z = :l:: 1. Ces

_{approximations}

proviennent

de la théorie des

_approximants

de Padé. Comme on le _verra, ce lien est bien connu dans le cas de

((2)

et de

_{~(3) (cf. [Be2,3], [Hu],}

_[Ni],

[Pr]

et

_[So]

_par

_exemple).

Les démonstrations sont

_{plus particulièrement}

centrées sur le

comporte-ment

_{asymptotiques}

des séries. Il sera fait _{usage de la méthode du col dont}

voici un énoncé

possible

(cf.

[Cop,

_pp

91-94]

ou

[Di, pp279-285]).

Méthode du col

_{Soit g}

et w deux

_{fonctions analytiques}

dans un ouvert

sirraplement

connexe D du

plan. Supposons qu’il

existe zo E D tel que

le

_{long duquel}

_w(z)

admet un maximum

_global

en zo, alors

où le choix de -1-

_dépend

de l’orientation de L.

Les estimations

_{arithmétiques}

des dénominateurs des combinaisons liné-aires sont données sans

_plus

de formalité : de très

_importantes

et difficiles

questions

sont

_cependant

soulevées _par ces dénominateurs.

Enfin,

fixons

_quelques

_points

de notation :

_log(z)

sera considéré avec sa détermination

_{principale, n désignera toujours}

un entier &#x3E; 0 et

_dn

le

plus

petit

commun

multiple

des nombres

_{1, 2, ... ,}

n.

*

La formule

_{dn =}

1 jp

ler

p[Iog(n)/

109(P)l et le théorème des nombres

premiers

justifient

que

3. Une démonstration

_exemplaire

Beukers

_[Be2]

_(cf.

_également

_[Hu])

a montré _que la démonstration

d’Apéry

de l’irrationalité de

₍₍₂₎

revenait à résoudre le

_problème

suivant :

déterminer des

_polynômes

_Bn(z)

et

_Cn(z)

de

_degré

au

_plus

n et tels

que l’on ait les

_{approximations}

au

_voisinage

de oo et de 1

et

Ce

_problème

admet une solution

unique

à une constante

_{multiplicative près}

et on a

,...,

série

_qui

_{converge pour} z

complexe, izl &#x3E;

1. En

décomposant

en éléments

simples

le terme rationnel de on montre _que

et E

_{~ [Z]}

@ e

7G(z~ .

De

plus

la convergence de

Sn (1)

et

la

_divergence

de

_Lil(l)

_impliquent

que

Bn(1)

= 0

(1).

Donc

d£Sn(1) =

, . , , , -, -. , .. n

Pour _prouver l’irrationalité de

_~(2),

il suffit de montrer _que 0

(2 )

et _que tend vers

_0,

en vertu du lemme élémentaire suivant :

1 Cela se voit aussi sur la condition An (z) log(z) + Bn (z) = _{O((1 -}

Z)n+l)

en z = 1.

Lemme 1. Soit a un nombre réel.

_{Supposons qu’il}

existe deux suites d’entiers et telles _{que pour} une

infinité

d’entiers _n, on

ait qna -

p~ ~ 0

et = 0. Alors _a est irrationnel.

La non-nullité de

_Sn(l)

est ici claire

_puisque

les n

_premiers

termes de

Sn(1)

sont nuls et tous les suivants strictement

_positifs.

L’estimation de la décroissance

_peut

être faite de

_{plusieurs façons :}

nous utilisons ici des

intégrales

multiples

et

_indiquerons

d’autres méthodes dans les

_paragraphes

suivants.

_Remarquons

_que la série

_{Sn (z)}

est une fonction

_{hypergéométrique}

dont les

_paramètres

sont tels _que l’on

_peut

lui

_appliquer

l’identité

_intégrale

d’Euler. convenablement itérée

_[SI,

_p.

_108,

_{4.1.2] :}

ce

_qui,

en z =

1,

n’est rien d’autre

que

l’intégrale

de Beukers pour

~(2~.

On en déduit alors _que

D’où le :

Théorème 1.

₍₍₂₎

est irrationnel.

4. Le théorème

_d’Apéry

Nous

_esquissons

une démonstration de l’irrationalité de

«3)

due à

Nesterenko

_[Ne2],

_poursuivant

une

_approche

de Gutnik

[Gu]

et Beukers

[Be3].

Ce dernier résout le

_problème

de Padé suivant : déterminer des

polynômes

An (z),Bn (z),Cn (z),Dn (z)

de

_degré

au

_plus

n tels _que =

0,

et

Il montre _que ce

_problème

a une solution

_unique,

à une constante

multiplica-tive

_près,

donnée _par les deux séries

_convergentes

_{pour z} 1 :

On a

_également

On a donc

conclure,

il suffit maintenant de montrer _que 0

_(;1)

et _que

tend vers 0. Or ces deux

_points

ne sont absolument pas évidents ! S’il

existe bien une

_intégrale

de Beukers

il semble

_qu’il

n’existe _pas de démonstration directe de ce fait à

_partir

de

la série

qui

définit On

_peut

néanmoins faire les _{remarques suivantes.}

La série

_z-n-1Un(1/z)

est une fonction

hypergéométrique

vérifiant la même

_équation

différentielle

_{hypergéométrique}

_que la fonction

où t9 =

zd/dz.

N0rlund

(cf. [N0, p.316])

montre _que les solutions de

telles

_équations

différentielles

peuvent

toujours

être

_{représentées}

_par des

intégrales

complexes,

dites de Barnes

_{(cf. [SI,}

_chapitre

_4]).

Dans le cas

présent,

on obtient

où z est un nombre

complexe

tel _que

1

_27r,

L est une droite verticale

orientée de -ioo à +ioo incluse dans la bande 0

_Re(s)

n. Nesterenko

justifie

à l’aide de la formule de

_Stirling

que

avec c réel

_quelconque

dans

]0,1[

et

_{f (t)}

=

(1 - t) log(1 - t)

₊

2t log(t)

-(1 +t) log-(1 +t).

En

_appliquant

la méthode du col avec le choix c =

1/..;2,

il en déduit _que

ce

qui

_prouve le célèbre résultat

d’Apéry :

Théorème 2.

₍₍₃₎

est irrationnel.

5. Une série

_remarquable

Nesterenko

_[Ne2,

_p.

_629]

_{note que} sa méthode ne

_peut

_pas être considérée comme élémentaire

(à

cause de la méthode du

col)

et _pose le

_problème

de trouver une telle démonstration. Dans ce

_but,

K. Ball

[Ba]

a construit une

série où _pour tout z

_{complexe, Izi &#x3E;}

_1,

avec

plus,

par convergence,

~(1)

= 0. On _a donc _a

priori

ce

_qui

n’est _pas très intéressant. Or

_possède

une très

remarquable

propriété :

= = 0 et donc =

dn cx~ ( 1 ) ~ { 3 )

_{+ E}

~~(~~

+ z.

Il est

_clair,

comme _pour la série

,S’~ ( 1 ) ,

_que

~

0

{~ ) .

On

peut

estimer directement à l’aide de la formule de

_Stirling

_(cf.

_[BR,

seconde démonstration du lemme

_{3] ) .}

On peut aussi _{remarquer que} est une série

_{hypergéométrique,}

dite

_{"well-poised"}

dans la

_terminologie

de

[SI]:

Comme au

paragraphe

2,

on en déduit la

_{représentation intégrale}

eulérienne suivante :

dont découle _que

La suite ne tend donc malheureusement pas vers 0 et on ne

redé-montre pas l’irrationalité de

_((3).

6.

_{Indépendance}

linéaire d’une infinité de zêta

_impairs

La

_conséquence

la

_plus

intéressante de la forme

_{particulière}

de est la

_disparition

de

₍₍₂₎

et

_((4).

Dans

_[Ril],

l’auteur a introduit la

généralisation

suivante de

_convergente

_{pour z}

_{complexe, Izl}

&#x3E; 1 :

où les

_{Pl,n (z)}

sont des

_polynômes

de

_degré

au

_plus

n et les

paramètres

a

et r sont des entiers tels _{que 1} r

_a/2.

L’introduction du

_paramètre

r

_permet

d’avoir un contrôle

plus souple

de la "taille" de et des

11,n(z).

Comme

_espéré,

si n est

_pair

et a

_impair

&#x3E;

_3,

alors

_{P21,~ ( 1 )}

= 0 :

cela résulte de la formule de

_{~-réciprocité}

Donc

Une telle

_{décomposition en ( impairs}

_suggère

d’utiliser non

_plus

un

simple

critère d’irrationalité comme le lemme 1 mais un critère

d’indépendance

linéaire,

par

exemple

celui de Nesterenko

[Ne2] :

Lemme 2. Soit N réels

_{91, 82, ... ,}

_ON.

_{Supposons qu’il}

existe N suites d’entiers tels _{que :}

Alors,

dans ces

_conditions,

Un dénominateur commun aux

P~~+1,~(1)

est

_d~.

Pour estimer

on _{remarque par}

_exemple

_que

est une fonction

_{hypergéométrique}

"well-poised"

_ayant

la

_{réprésentation}

intégrale

eulérienne

_{(en z = 1)}

On en déduit en

_particulier

l’existence et la non-nullité de la limite

_suivante,

ainsi

_{qu’une majoration simple}

La détermination

_explicite

des coefficients de

_P2l+1,n(1)

_permet

leur esti-mation

... 1 L"’IL 1

L’application

du lemme 2 à la combinaison linéaire en

_lest

impairs

fournit une minoration

explicite

en fonction de a

_impair

et de r de la

dimension

_8(a)

_{du Q -}

_{espace vectoriel}

_engendré

_par

_1,

_{((3), ((5),..., ~(a).}

Le choix a = 169 et _r =

10,

ainsi

que le théorème

d’Apéry,

montre dans un

premier

temps

le

Théorème 3. Il existe un

_{entier j}

_impair,

_{5 j}

169 tel _que

_1,

_Ç(3)

et

~ ( j )

sont linéairement

_{indépendants}

sur

_Q.

Le choix r =

[a/

_permet

_{en outre} d’obtenir la minoration

asymp-totique suivante 5

Théorème 4. Pour &#x3E;

_{0, il}

existe un entier tel _{que pour tout}

entier

_impair

a &#x3E;

_~4(~)7

on a

Corollaire 1. Une

_infinité

des nombres

_((2n

+

₁₎

sont irrationnels.

7. Une

_approche

vers l’irrationalité de

₍₍₅₎

Suivant une démarche "d’extraction de facteurs communs"

développée

par Chudnovski

[Ch],

Rukhadze

[Ru],

Hata

[Ha]

(entre autres),

Zudilin

[Zul]

a raffiné le théorème 3 en

_remplaçant

169 _par 145. En se

con-tentant de chercher l’irrationalité d’un tel

_«j)

_directement,

l’auteur

_[Ri2]

a démontré le

Théorème 5. Au moins un des

neuf

nombres

est irrationnel.

Zudilin

_[Zu2]

est _parvenu à améliorer de manière

_{spectaculaire}

ce résultat

au _moyen de la méthode

_{arithmétique évoquée}

ci-dessus.

Théorème 6. Au moins un des

_quatre

nombres

est irrationnel.

Nous

_esquissons

seulement _{la preuve du} théorème

_5,

celle du théorème 6 étant très

_technique.

Considérons la série

en

_remarquant

_que la dérivation induit un

_décalage

dans la

_{décomposition}

en

_{polylogarithmes}

(comparer

et

_Yn(z)

au

_paragraphe

4).

On a donc

avec E

_{?L ~z~ .}

De _nouveau, en

_supposant

a

_pair,

_pour tout n,

qui

est une combinaison linéaire dont non seulement les

_{( pairs}

ont

_disparu

mais

_{aussi ((3).}

En utilisant une

_{généralisation}

immédiate du Lemme

_1,

on voit

_qu’il

suffit de _{montrer que}

~20(1)

~

0

(6 )

et _que

_{C,~~2 ~n,20 ~ 1 )}

tend

vers 0. On notera

_{qu’il n’y}

a _pas lieu ici d’évaluer les coefficients des

combinaisons linéaires : cela n’est utile _{que pour}

_{l’indépendance}

linéaire. 6cf. note _(2).

Comme pour g en l’absence

d’intégrale

de

Beukers,

une

intégrale

de

Barnes fait l’affaire. En effet en

_posant

on a

Sn,2o(1)

= Re _avec 0 _c 1. La formule de

Stirling

implique

que

avec

et

w(

La méthode du col

_s’applique

et

_{après quelques}

calculs un _peu

laborieux,

on arrive à la conclusion _que

lim

n

ce

qui

_prouve le théorème 5.

8. Une histoire

_{hypergéométrique}

Revenons maintenant au

paragraphe

4 et à la très

_surprenante

valeur de

la limite de

_qui

coïncide avec celle de

( V~ ( 1) j i/n .

Cette coïncidence

est d’autant

_plus

troublante _que les

_{quelques premières}

valeurs de

_an(1)

sont entières et surtout

_égales

aux nombres

d’Apéry

introduits au

paragraphe

4,

et de même semble-t-il

_{26n (1)}

=

Puisque ~ (3)

est irrationnel et que les suites et

Vn (1)

vérifient la

même relation de récurrence à coefficients rationnels

_(~),

on a bien

pour tout entier n, c’est-à-dire la très

improbable

identité

~

où

Ce raisonnement "circulaire" ne résout évidemment _pas le

_problème

de

Nesterenko.

_Cependant,

l’histoire ne s’arrête _pas là. En

effet,

en travaillant sur la mesure d’irrationalité de

Ç(3) ,

Zudilin

[Zu2]

a rencontré la formule

abracadabrantesque

suivante,

due à

_Bailey

_[SI,

_p.142,

_4.7.1.3]

avec la notation

et où L est un contour

_qui

laisse certains

_pôles

de

_{l’intégrande}

à droite et

d’autres à

_gauche,

les

_paramètres

étant choisis de _{sorte que} les membres de

gauche

et de droite aient un sens simultanément.

Zudilin choisit

_{a = 3n ~-- 2 et b = c = d = e = f = n -~- 1 :}

dans ce cas, L

est une droite verticale orientée de -ioo à ~-ioo et

_comprise

dans la bande

-n - 1

Re(s)

0. Alors

où,

après

le

_changement

de variable est une droite

_comprise

dans la bande 0

_Re(s)

n + 1. Or la dernière

_intégrale

ci-dessus vaut

exactement

_Vn(l)

et on démontre _que

2Bn(1)

= _sans utiliser cette

fois de récurrence.

Néanmoins,

si on sait donc démontrer de deux

façons

différentes _que

2An(I)(3)

+ Dn (1)

=

2an(1)~(3)

+ 2~(1),

on ne

_peut

en déduire

an (1) =

E ~ et

_2dn8~(1)

=

qu’en

utilisant l’irrationalité de

9. Des dénominateurs

_{plus petits}

que

prévu ?

Le dénominateur de la série n’est donc pas

d~

mais

d~ :

i ce

phénomène

n’est _pas isolé

_puisque

_par

_exemple

le dénominateur de la série

S‘~,2o ( 1 )

au

_paragraphe

7 semble être

_{expérimentalement}

et non

~2.

Plus

_{généralement,}

considérons la fraction rationnelle

et la série

où a,

b,

c,

d,

r sont des entiers tels _{que r &#x3E;}

1, a

&#x3E; 2br et d E

_{{O, ... ,}

_{b ~ 1 },}

ce

qui

assure la convergence de la série _{pour tout z} E

_C,

_Izl

&#x3E; 1 et

sur

Izi

]

= 1 si n est _assez

grand.

Pour

simplifier

les

notations,

la

dépendance

en les entiers

a, b,

_c, d et r est maintenant omise. Il existe des

_polynômes

Pt,n(z)

tels _que

et tels que pour tout d E

10, - - - , b - 11

et tout 1

_{E {l,.. 0}

_a~,

De

_plus,

= 0 et _en

supposant

a

pair

et c

impair,

_{pour tout} 1

_~

2

pair,

Pl,n ( 1 )

= 0. Des calculs

numériques

suggèrent

la

_conjecture

suivante8.

Conjecture

Dans les conditzons de la

_définition

de

_Sn(z),

si a est

_pair

et

c

zmpazr,

alors

et pour tout 1 G

_{{3, ... , a - 11}

_impair,

Zudilin

_[Zu2]

énonce une

_conjecture

encore

_{plus générale}

dont la

démons-tration est semble-t-il un _passage

_obligé

_pour

_espérer

améliorer le théorème

6 avec les

_techniques

de

[Zul,2].

10. En conclusion

Un certain nombre de

_questions

se

_posent

naturellement. En voici

quel-ques-unes et les

réponses

que l’on

peut

éventuellement faire.

Est-il

_possible

d’établir _par ces méthodes une sorte de théorème de

Dirichlet "Une infinité de valeurs irrationnelles

_parmi

les

_{((an + b)" ?}

Bien

qu’il s’agisse

d’un théorème hautement

plausible,

et en dehors de

quelques

cas triviaux et du corollaire

1,

c’est un

_problème

ouvert.

Étant

donné un entier

_{impair a}

&#x3E;

_3,

est-il

_possible

de déterminer un

entier a tel _que l’ensemble

~a, ... ,

a +

_a~

contienne un

entier j impair

tel

que ~ ( j )

soit irrationnel ? Oui. Zudilin

_[Zul]

montre que l’on

_peut

choisir a = 7a - 17.

Est-il maintenant

_possible

de montrer l’irrationalité de la constante de

Catalan G =

~n~o ( -1 )’~ / (2n

+

1)2 ?

Non,

c’est

_toujours

un

problème

ouvert,

en

particulier

_{parce que} les dénominateurs des

_{approximations}

sont

"trop

gros".

Néanmoins on se réfèrera à

[RZ]

_pour les

_analogues

des

théorèmes 4 et 6 _pour la fonction

_{f3 (s) =}

+

_{1 ) S,}

dont ce

sont les valeurs

_{paires qui}

_posent

_problème.

-Quid

des multizêtas

_{(MZV) ?}

C’est en effet une extension naturelle.

Cependant,

s’il est facile d’écrire des séries

_multiples

dont on sait

_qu’elles

ne

_peuvent

_pas être

décomposées

en autre chose _que des

_MZV,

décrire cette

_{décomposition}

ne semble _pas si évident. Par

_ailleurs,

les combinaisons

feront naturellement

_apparaître

des MZV

_{s’exprimant}

linéairement à l’aide des

_{~(s) :}

il semble donc

_important

d’éliminer a

_priori

ces valeurs _pour

que la minoration de la dimension de certains espaces vectoriels ne soit _pas

triviale.

Les séries

_{Bn (z),}

_(et

toutes celles _que l’on

_peut

former

sur ce

modèle)

sont-elles solutions

uniques

de

problèmes d’approximation

de

_type

Padé comme les séries

Sn (z),

_{Un (z)}

et

_{Yn (z) ?}

Un cas

_simple

est

abordé dans

_[Ri3,

_p.

_53]

mais une théorie

_générale

reste à construire. Existe-t-il une identité de

Bailey généralisée qui permettrait

de démontrer

les

_conjectures

du

_paragraphe

9 et de

_{[Zu2] ?}

Dans ce _cas, on

_pourrait

abor-der

_~(5),

via la méthode de Rhin et Viola

_~RV1,2~,

en faisant

_agir

un _groupe sur des

intégrales

d’Euler ou de Barnes.

Note

_ajoutée

sur les

épreuves.

Contrairement à l’affirmation p.

355,

il existe une démonstration

simple

du _passage direct de la série

Vn(l)

à

l’intégrale triple

de Beukers : elle est

_esquissée

dans un article en

prépara-tion de

_l’auteur,

Valeurs de la

_fonction

zêta de Riemann aux entiers. Dans

[Zu3],

Zudilin montre directement à l’aide de

_{l’algorithme}

de

_Zeilberger

que les nombres et considérés au

_paragraphe

8 sont

_égaux

pour tout entier

0,

sans _supposer l’irrationalité de

((3) :

ceci

répond

en un certain sens au

problème

de Nesterenko.

Enfin,

la

question

posée

ci-dessus sur l’existence d’un lien entre nos séries

hypergéométriques

et

l’approximation

de Padé a été résolue _par l’affirmative dans

[FR].

Bibliographie

[Ap1] R. APÉRY, Irrationalité de _03B6(2) et _03B6(3). Astérisque 61 _(1979), 11-13.

[Ap2] R. APÉRY, Interpolation de _fractions continues et irrationalité de certaines constantes. Bulletin de la section des sciences du C.T.H.S III _(1981), 37-53.

[Ba] K. BALL, communications _personnelles du 17/12/1999 et du _04/01/2000.

[BR] K. BALL, T. RIVOAL, Irrationalité d’une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers

impairs. Invent. Math. 146 _(2001), 193-207.

[Be1] F. _{BEUKERS, A} note on the _{irrationality of 03B6(2)} and _03B6(3). Bull. Lond. Math. Soc. 11

(1979), 268-272.

[Be2] F. BEUKERS, The values of Polylogarithms. Topics in classical number theory, Vol. _I, II (Budapest, 1981), 219-228, Colloq. Math. Soc. János _{Bolyai, 34, North-Holland,}

Amster-dam, 1984.

[Be3] F. BEUKERS, Padé approximations in Number _Theory. Padé approximation and its

ap-plications, Amsterdam 1980 _{(Amsterdam, 1980), pp. 90-99,} Lecture Notes in _{Math., 888,}

Springer, Berlin-New _York, 1981.

[Ch] G. V. _CHUDNOVSKI, On the method _{of Thue-Siegel.} Ann. of Math. 117 _{(1983), 325-382.}

[Coh] H. COHEN, Démonstration de l’irrationalité de _{03B6(3) (d’après Apéry).} Séminaire de Théorie des Nombres de Grenoble _(1978), VI.1-VI.9.

[Cop] E. T. COPSON, Asymptotic expansions. Cambridge University Press, 1967.

[Di] J. DIEUDONNÉ, Calcul _{infinitésimal.} Collection _{"Méthodes", Hermann,} 1980.

[Di] S. FISCHLER, T. _{RIVOAL, Approximants} de Padé et séries hypergéométriques équilibrées,

à _paraître à J. Math. Pures Appl. (2003).

[Gu] L. A. GUTNIK, The _{irrationality of} certain _{quantities involving 03B6(3).} Russ. Math. Surv. 34 _(1979), no. _3, 200. En russe dans Acta Arith. 42 _(1983), 255-264.

[Ha] M. _{HATA, Legendre type polynomials} and _{irrationality} measures. J. Reine Angew. Math. 407 _{(1990), 99-125.}

[Hu] M. HUTTNER,

Équations

différientielles fuchsiennes ; Approximations du _{dilogarithme,} de _03B6(2) et _03B6(3). Pub. IRMA. Lille, 1997.

[Li] F. LINDEMANN, Über die Zalh 03C0, Math. Ann. 20 (1882), 213-225.

[Ne1] YU. V. _NESTERENKO, On the linear _{independence of} numbers. Mosc. Univ. Math. Bull.40

(1985), 69-74, traduction de Vest. Mosk. Univ. Ser. I (1985), 46-54.

[Ne2] Yu. V. NESTERENKO, A few remarks on _03B6(3), Math. Notes 59 _(1996), no. _6, 625-636.

[Ni] E. M. NIKISHIN, On the _{irrationality of} the values _of the _{functions F(x, s).} Mat. Sbornik 37 _(1979), no. _3, 381-388.

[N~] N. E. _{Hypergeometric functions.} Acta Math. 94 _(1955), 289-349.

[Pr] M. _PRÉVOST, A new _{proof of} the _{irrationality of 03B6(3)} using Padé _{approximants.} J. Comp. Appl. Math. 67 _(1996), 219-235.

[RV1] G. _RHIN, C. _VIOLA, On a _permutation group related to _03B6(2). Acta Arith. 77 _(1996), 23-56.

[RV2]

G. RHIN, C. VIOLA, The group structure for 03B6(3). Acta Arith. 97 _(2001), 269-293.

[Ri1] T. RIVOAL, La _fonction zêta de Riemann _prend une _infinité de valeurs irrationnelles aux

entiers _impairs. C. R. Acad. Sci. Paris 331 _(2000), 267-270.

[Ri2] T. RIVOAL, Au moins un des neuf nombres _{03B6(5), 03B6(7),... ,03B6(21)} est irrationnel. Acta

Arith. 103 _(2002), 157-167.

[Ri3] T. _{RIVOAL, Propriétés diophantiennes} des valeurs de la _fonction zêta aux entiers _impairs. Thèse de doctorat, Université de Caen, 2001.

[RZ] T. _RIVOAL, W. _{ZUDILIN, Diophantine properties of} numbers related to Catalan’s constant,

à paraître à Math. Ann. _(2003).

[Ru] E. A. RUKHADZE, A lower bound _for the _{approximation of ln(2) by} rationals numbers. Vestnik Moskov. Univ. Ser I Mat. Mekh 6 _(1987), 25-29 _{(en russe).}

[So] V. N. SOROKIN, Apéry’s Theorem. Mosc. Univ. Math. Bull. 53 _(1998), no. 3, 48-52.

[VdP] A. VAN DER POORTEN, A _proof that Euler missed ... Apéry’s proof of the irrationality of

03B6(3). Math. Intellig. 1 _(1979), 195-203.

[Wa] M. WALDSCHMIDT, Valeurs zêtas _multiples. Une introduction. J. Théor. Nombres Bor-deaux 12 _(2000), 581-595.

[Zu1] W. _{ZUDILIN, Irrationality of} values _{of zeta-function,} à _paraître à Izv. Ross. Akad. Nauk.

Ser. Mat.

[Zu2] W. ZUDILIN, Arithmetic of linear forms involving odd zeta values, prépublication, Moscow

Lomonosov State University, 2001.

[Zu3] W. ZUDILIN, An _{elementary proof of Apéry’s theorem, (2002) ;}

http://front.math.ucdavis.edu/math.NT/0202159 Tanguy RIVOAL

Institut de _{Mathématiques} de Jussieu et

CNRS UMR 7586

Théorie des _nombres, case 247

175, rue du Chevaleret 75013 Paris

France

E-mail : _{rivoalomath.jussieu.fr}

Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme

CNRS UMR 6139, Université de Caen BP 5186 14032 Caen cedex France E-mail : rivoaiamath.unicaen.ir