Fonction Zêta de Hurwitz p-adique et irrationalité

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Preprint submitted on 10 May 2007

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Fonction Zêta de Hurwitz p-adique et irrationalité

Pierre Bel

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Pierre Bel. Fonction Zêta de Hurwitz p-adique et irrationalité. 2007. �hal-00145418�

hal-00145418, version 1 - 10 May 2007

Fonction Zˆeta de Hurwitz p-adique et irrationalit´e

Pierre Bel 10 mai 2007

The knowledge on irrationality of p-adic zeta values has recently pro- gressed. The irrationality ofζ2(2),ζ2(3) and of a few otherp-adic series of Dirichlet was obtained by F. Calegari(cf. [Ca]). F. Beukers gave a more elementary proof of this result(cf. [Be]). In parallel, T. Rivoal has just obtained, in the complex case, some Pad´e approximants of Lerch functions (cf. [Ri2]). It is this work which, transposed toC_p, enables us to obtain results of irrationality and linear independence.

1 Introduction

1.1 Pr´ eliminaires

Soitpun nombre premier. On notevp la valuationp- adique surQet |.|p=p^−vpla valeur absoluep-adique. On poseqp =psi p6= 2 etq2= 4. Pourx∈Z^∗_p, on d´esigne parω(x) l’unique racine de l’unit´e, d’ordrep−1 sip6= 2, et d’ordre 2 sip= 2, telle que|x−ω(x)|p ≤q_p⁻¹. On ´etend la d´efinition de ω`a Q^∗_p en posantω(x) =p^vp(x)ω(p^−vp(x)x), et on pose< x >=_ω(x)^x (donc< px >=< x >pour toutx∈Q^∗_p).

On note log_pla fonction d´efinie par

log_p(1 +x) =

+∞

X

k=1

(−1)^k+1x^k k pourx∈C_p tel que|x|p<1.

0n noteζ(s, x) la fonction zˆeta de Hurwitz d´efinie par ζ(s, x) =

+∞

X

k=0

1 (n+x)^s

pour (s, x) ∈ C×R, avec ℜ(s) > 1 et x > 0. Pour xfix´e, cette fonction admet un prolongement en une fonction holomorphe surC\{1}, dont 1 est un pˆole d’ordre 1 et de r´esidu 1.

La formule d’Euler-MacLaurin conduit ais´ement au d´eveloppement asymptotique suivant, pour x→+∞ : ζ(s, x) = x^1−s

s−1 −

k

X

j=1

−s j−1

Bj

j x^1−s−j+O(x^−s−k) (1)

o`u lesBj sont les nombres de Bernoulli, et pour toutk≥1 le symboleO est uniforme enspoursborn´e. Par passage

`a la limite surs, on en d´eduit que la valeur en 1 de la fonction holomorphes7−→ζ(s, x)−_s−1¹ v´erifie :

ζ(s, x)− 1 s−1

s=1

=−lnx+

k

X

j=1

(−1)^jBj

j x^−j+O(x^−k−1). (2)

La fonction zˆetap-adique de Hurwitz peut ˆetre exprim´ee par son d´eveloppement en s´erie de Laurent :

ζp(s, x) = < x >^1−s

s−1 −< x >^1−s

+∞

X

j=1

−s j−1

Bj

j x^−j. (3)

Ce d´eveloppement estp-adiquement convergent pour|x|p >1 car le nombre −s

j−1

= (−1)^j−1

s+j−2 j−1

est entier. On a aussi :

s→1lim(ζp(s, x)− 1

s−1) =−log_p< x >+

+∞

X

j=1

(−1)^jBj

j x^−j. (4)

On pourra se r´ef´erer au livre de H. Cohen ([Coh]) pour une vision exhaustive de ces diff´erents r´esultats.

La connaissance sur l’irrationalit´e de valeurs des fonctions z ˆeta p-adiques a progress´e r´ecemment. L’irrationalit´e deζ2(2),ζ2(3) et de quelques autres s´eries de Dirichletp-adiques a ´et´e obtenue par F. Calegari(cf. [Ca]). F. Beukers en a donn´e une interpr´etation plus ´el´ementaire(cf. [Be]). Parall`element, T. Rivoal vient d’obtenir, dans le cas complexe, certains approximants de Pad´e de fonctions de Lerch (cf. [Ri2]) et d’´etudier leur propri´et´es diophantiennes. C’est ce travail qui, transpos´e `a C_p, nous permet d’obtenir des r´esultats d’irrationalit´e et d’ind´ependance lin´eaire, grˆace `a un crit`ere comparable `a celui de Nesterenko, mais dans lequel nous utilisons des formes lin´eaires suppos´ees a priori ind´ependantes. Un point crucial de notre travail sera d’ailleurs de v´erifier que cette condition est bien satisfaite dans l’application que nous en ferons (N.D.L.R. lemme du d´eterminant).

1.2 R´ esultats

Soient un entiere≥2,v= ppcm(e, p−1),ξune racine primitivee-`eme de l’unit´e etχune racine primitivev-`eme de l’unit´e.

Pour un nombrep-adiquex, tel que|x|p≥petsun entier strictement positif, on pose

T˜p(s, x) =

e−1

X

j=0

ξ^−jζp

s,x+j

e

sis >1 et |x| ≥qp (5)

=

e−1

X

j=0

((−1)^s−1ξ)^−jζ2

s,x+j

e

sis >1, p= 2 et |x|₂= 2 (6) et

T˜p(1, x) = lim

s→1

T˜p(s, x) = lim

s→1 e−1

X

j=0

ξ^−jζp(s,x+j

e ). (7)

Th´eor`eme 1 Soit x= <sup>a</sup><sub>b</sub> un rationnel, tel que|x|p≥p, et soit A un entier sup´erieur ou ´egal `a 2.

Alors la dimensionτ de l’ espace vectoriel engendr´e surQ(χ)par la famille

1,

T˜p(s, x)

s∈[1,A]

v´erifie

τ≥ [Q_p(ξ) :Q_p] ϕ(v)

Aln|x|_p lnb+X

q|b

lnq

q−1+A+ (A−1) ln 2 .

Th´eor`eme 2 Pour tout entierAsup´erieur ou ´egal `a2, il existe une borneMA explicite tel que si le nombre premier pest plus grand queMA alors

l’ensemble n ζp

s,¹_p

−ζp

s,^p+2_2p o

s∈[1,A] contient au moins A−1 nombres irrationnels.

Le point crucial de la d´emonstration des r´esultats est le calcul du d´eterminant de la partie 5 qui permet d’appliquer le crit`ere d’ind´ependance lin´eaire suivant.

2 Crit` ere d’ind´ ependance lin´ eaire

On rappelle la formule du produit pour un corps de nombres K. Pourv une place de K, on note Kv et Qv les compl´et´es deKet Qpour cette place et ηv = [Kv:Q_v].

Siα∈K^∗, alors on a

0 = X

vplace deK

ηvln|α|_v. De plus

X

vplace deKinfinie

ηv = [K:Q]

Siαest un ´el´ement non nul deO(K), comme|α|v ≤1 pour toute place finiev deK, sip est une place finie, on a : ηpln|α|p+ X

vinfinie

ηvln|α|v ≥0.

Soitmun nombre entier positif. PourL= (ℓ1, ...ℓm)∈K^m, etθ= (θ1, ..., θm)∈C^m_p, on note (L, θ) =ℓ1θ1+...+ℓmθm. Siv est une place deK, on notekLkv= max1≤j≤m|ℓj|v.

Lemme 1 Soitpun nombre premier. SoitKun corps de nombres surQ. On consid`ereKcomme plong´e dansC<sub>p</sub>, dans lequel on note K<sub>p</sub> =Q<sub>p</sub>(K)son adh´erence. Soit θ= (θ1,· · · , θm)un ´el´ement non nul de K<sub>p</sub>. On suppose qu’il existe m suites(L<sup>(i)</sup>n ), o`u n∈Net 1 ≤i≤m, d’´el´ements de (O(K))^m telles que pour chaquen les L⁽ⁱ⁾n , pour 1≤i≤m, soient lin´eairement ind´ependants surK, et des nombres r´eels strictement positifs cetρsatisfaisant pour chaquei les conditions :

lim sup

n

1

nlnkL⁽ⁱ⁾_n kv≤c pour les places infiniesv, et

lim sup

n

1 nln

(L⁽ⁱ⁾_n , θ)

p≤ −ρ.

Alors la dimensionτ duK-sous-espace vectoriel deK_p engendr´e par les θj pour1≤j≤m v´erifie τ≥ρ[Kp:Q_p]

c[K:Q] . D´emonstration

Effectuons tout d’abord quelques r´eductions. En renum´erotant les variables (θi)i∈[1,m], on peut supposerθ16= 0. De plus, en rempla¸cant les variables (θj)j∈[1,m], par _θ

j

θ1

j∈[1,m], les hypoth`eses ´etant encore v´erifi´ees, on peut supposer θ1= 1.

Si τ est la dimension du K-espace vectoriel engendr´e par les θj, alors il existe m−τ ´el´ements (A⁽ⁱ⁾)i∈[τ+1,m] de (O(K))^m, lin´eairement ind´ependants surK, tels que (A⁽ⁱ⁾, θ) = 0 pour touti∈[τ+ 1, m].

On peut en faisant des permutations entre les L⁽ⁱ⁾n `a chaque rang n se ramener au cas, o`u pour tout n ∈ N, la famille (L⁽¹⁾n ,· · · , L^(τ)n , A^(τ+1),· · ·, A^(m)) est libre.

Soit Mn la matrice dont les lignes sont form´ees des vecteurs (L⁽¹⁾n ,· · ·, L^(τ)n , A^(τ+1),· · ·, A^(m)), i.e., en posant L⁽ⁱ⁾n = (ℓ⁽ⁱ⁾_n,1, ...ℓ⁽ⁱ⁾_m,1,) etA⁽ⁱ⁾= (a⁽ⁱ⁾₁ ,· · ·, a⁽ⁱ⁾m),

Mn =



















ℓ⁽¹⁾_n,1 ℓ⁽¹⁾_n,2 · · · ℓ⁽¹⁾n,m

· · · · ℓ^(τ)_n,1 ℓ^(τ)_n,2 · · · ℓ^(τ)n,m

a^(τ+1)₁ a^(τ+1)₂ · · · a^(τ+1)m

· · · · a^(m)₁ a^(m)₂ · · · a^(m)m



















Comme la matrice est non singuli`ere, on a

Λn= det(Mn)6= 0 Comme Λn appartient `aO(K), on en d´eduit que

0≤ηpln|Λn|p+ X

vinfinie

ηvln|Λn|v. (8)

Le d´eveloppement du d´eterminant, nous permet d’obtenir pour les places infinies :

lim sup

n

ln|Λn|_v

n ≤τ c. (9)

Pour le calcul du d´eterminant, on peut aussi ajouter `a une colonne, une combinaison lin´eaire des autres colonnes. En ajoutant `a la premi`ere, les colonnes suivantes respectivement multipli´ees par θj, on obtient :

Λn=

(L⁽¹⁾n , θ) ℓ⁽¹⁾_n,2 · · · ℓ⁽¹⁾n,m

· · · · (L^(τ)n , θ) ℓ^(τ)_n,2 · · · ℓ^(τ)n,m

0 a^(τ+1)₂ · · · a^(τ+1)m

· · · · 0 a^(m)₂ · · · a^(m)m

Le d´eveloppement du d´eterminant sous cette forme nous permet d’obtenir :

lim sup

n

ln|Λn|_p

n ≤ −ρ (10)

En divisant l’in´equation (8) parnet utilisant (9) et (10), on en d´eduit : 0≤ −ρ ηp+τ c X

vinfinie

ηv

Comme X

vinfinie

ηv= [K:Q], le r´esultat est donc d´emontr´e.

3 Approximants de Pad´ e simultan´ es de fonctions Zˆ eta de Hurwitz

Dans cette partie, comme dans la suite,ξ est une racine primitivee-`eme de l’unit´e aveceentier,e≥2.

On d´efinit, pour xun nombre complexe diff´erent d’un entier n´egatif,s un entier strictement positif etz un nombre complexe tel que|z| ≤1 etz6= 1,φla fonction de Lerch :

φs(x, z) =

+∞

X

k=0

z^k (k+x)^s On remarque pourℜ(x)>0 et pourm >0 entier, l’expression

φm(x, z) =

+∞

X

k=0

z^k (k+x)^m =

+∞

X

k=0

(−1)^m−1 (m−1)!z^k

Z 1 0

t^x−1+k(lnt)^m−1dt=(−1)^m−1 (m−1)!

Z 1 0

t^x−1(lnt)^m−1 1−zt dt qui montre la convergence de la s´erieP+∞

k=0 z^k

(k+x)^m pour|z| ≤1 etz6= 1, et permet de prolonger la fonction φm(x, z) en une fonction holomorphe enz surC\[1,+∞[. Par translation enti`ere, il en est finalement ainsi pour tout nombre complexextel que−x6∈N.

On suppose que A est un entier sup´erieur ou ´egal `a 2, consid´er´e comme fix´e. Le nombre n est un entier positif v´erifiantA n≥n+ 3.

On rappelle que le symbole de Pochamer est not´e (t)m= Y

0≤j<m

(t+j) pourt∈Cetm∈Z.

Posons pourq∈[0, A] et un nombrextel que x /∈Z⁻

R^(q)_n (k) =n!^A−1 (k)n+1

(k+x)^A_n(x+k+n)^q et

S_n^(q)(x, z) =

∞

X

k=0

R^(q)_n (k)z^−k.

La fraction rationnelleR^(q)n (k) est de degr´en+ 1−A n−qpar rapport `akdonc de degr´e inf´erieur ou ´egal `a−2, vu les hypoth`eses. La fonctionSn<sup>(q)</sup>(x, z) est donc d´efinie pour tout complexez de module sup´erieur ou ´egal `a 1. La s´erie Sn^(q)(x, z) converge normalement sur l’ensemble des complexesxde partie r´eelle plus grande que 1 et des complexesz de module plus grand que 1.

Proposition 1 Il existeA+ 1 polynˆomes (Ps^(q)(x, z))s∈[0,A] `a coefficients rationnels de degr´e enxau plusn+ 1, de degr´e en z au plusn, et le degr´e enz de Ps^(q)(x, z)est mˆeme au plus n−1 sis > q, tels que pour tout z avec |z| ≥1 etz6= 1et toutx6∈ −N, on ait :

S_n^(q)(x, z) =P₀^(q)(x, z) +

A

X

s=1

P_s^(q)(x, z)φs

x,1

z

. (11)

De plus, on a, quandℜ(x)→+∞

S_n^(q)(x, z) =o(x^{−A n+n+3−q}).

D´emonstration

La d´ecomposition en ´el´ements simples deR^(q)n (k) nous donne R^(q)_n (k) =

A

X

s=1 n

X

j=0

r_j,s^(q)(x) (k+x+j)^s o`u

r^(q)_j,s(x) =















1 (A−s)!

d dk

A−sh

R^(q)n (k)(x+k+j)^Ai

|k=−j−x sij∈[0, n−1] ets∈[1, A]

1 (q−s)!

d dk

q−sh

R^(q)n (k)(x+k+n)^qi

|k=−n−x sij=nets∈[1, q]

0 sij=nets∈[q+ 1, A]

.

Remarquons tout de suite que, pourq >0,

r^(q)_n,q(x) =h

R^(q)_n (k)(x+k+n)^qi

k=−n−x=n!^A−1(−n−x)n+1

(−n)^A_n 6= 0. (12)

Par le changement de variablel=−k−x, on obtient

r_j,s^(q)(x) =















(−1)^A−s (A−s)!

d dl

A−sh

Rn^(q)(−l−x)(j−l)^Ai

|l=j sij ∈[0, n−1] ets∈[1, A]

(−1)^q−s (q−s)!

d dl

^q−sh

R^(q)n (−l−x)(j−l)^qi

|l=n sij =net s∈[1, q]

0 sij =net s∈[q+ 1, A]

.

On en d´eduit

r_j,s^(q)(x) =















(−1)^A−s (A−s)!

d dl

A−sh

n!^{A−1 (}_(−l)^−l−x)A ⁿ⁺¹

n(n−l)^q(j−l)^Ai

|l=j sij∈[0, n−1] ets∈[1, A]

(−1)^q−s (q−s)!

d dl

^q−sh

n!^{A−1 (−l−x)}_(−l)Aⁿ⁺¹ n

i

|l=n sij=nets∈[1, q]

0 sij=nets∈[q+ 1, A]

. (13)

Les fonctionsr^(q)_j,s(x) sont donc des polynˆomes enxde degr´e au plus n+ 1.

S_n^(q)(x, z) =

∞

X

k=0 A

X

s=1 n

X

j=0

r^(q)_j,s(x) (k+x+j)^sz^−k. Il en r´esulte que

Sn^(q)(x, z) =

A

X

s=1 n

X

j=0 +∞

X

k=0

r^(q)_j,s(x) (k+x+j)^sz^−k

=

A

X

s=1 n

X

j=0

r^(q)_j,s(x)z^j

+∞

X

k=0

z^−k−j (k+x+j)^s

=

A

X

s=1 n

X

j=0

r^(q)_j,s(x)z^j

"

φs

x,1

z

−

j−1

X

k=0

z^−k (k+x)^s

#

=

A

X

s=1

φs

x,1

z ⁿ

X

j=0

r_j,s^(q)(x)z^j−

A

X

s=1 n

X

j=0

r^(q)_j,s(x)z^j

j−1

X

k=0

z^−k (k+x)^s.

.

On a donc

Sn^(q)(x, z) =P₀^(q)(x, z) +

A

X

s=1

P_s^(q)(x, z)φs

x,1

z

,

o`u l’on a pos´e

P₀^(q)(x, z) =−

A

X

s=1 n

X

j=0

r^(q)_j,s(x)z^j

j−1

X

k=0

z^−k (k+x)^s, et, pour touts∈[1, A]

P_s^(q)(x, z) =

n

X

j=0

r_j,s^(q)(x)z^j. (14)

Les ´egalit´es (13) montrent imm´ediatement que pours≥1,Ps^(q)(x, z) est un polynˆome `a coefficients rationnels de degr´e enxau plus n+ 1 et de degr´e enz au plusn. On voit directement que le degr´e enz dePs^(q) est au plusn−1, sis > q.

PourP₀^(q)(x, z), on voit directement que c’est un polynˆome en zde degr´e au plusn. De plus, on remarque que

j−1

X

k=0

z^j−k

(k+x)^s =(−1)^s−1 (s−1)!

d dl

s−1" _j X

k=1

z^k (l−k+x)

#

|l=j

Il en r´esulte que pourj∈[1, n−1]

A

X

s=1

r^(q)_j,s(x)

j−1

X

k=0

z^j−k (k+x)^s =

A

X

s=1

(−1)^s−1 (s−1)!

d dl

s−1" _j X

k=1

z^k l−k+x

#

|l=j

(−1)^A−s (A−s)!

d dl

A−s

hR^(q)_n (−l−x)(j−l)^Ai

|l=j

= ⁽⁻¹⁾_(A−1)!^A−1

A

X

s=1

A−1 s−1

d dl

s−1" _j X

k=1

z^k l−k+x

#

|l=j

d dl

A−s

hR^(q)_n (−l−x)(j−l)^Ai

|l=j

= ⁽⁻¹⁾_(A−1)!^A−1 _dl^dA−1

"

Rn^(q)(−l−x)(j−l)^A

j

X

k=1

z^k l−k+x

#

|l=j

(15) On a

R^(q)_n (−l−x)(j−l)^A

j

X

k=1

z^k

l−k+x=n!^A−1 (−l−x)n+1

(−l)^A_n(−l+n)^q(j−l)^A

j

X

k=1

z^k

l−k+x (16)

Comme les pˆoles simples enxde

j

X

k=1

z^k

l−k+x sont des z´eros de (−l−x)n+1,R^(q)n (−l−x)(j−l)^A

j

X

k=1

z^k

l−k+x est un polynˆome enxde degr´e au plus n. On justifie de mani`ere similaire le casj =net il en r´esulte que P<sub>0</sub><sup>(q)</sup>(x, z) est un polynˆome de degr´e au plusnpar rapport `a x. La premi`ere partie de la proposition est donc d´emontr´ee.

Pour le dernier point, on a la majoration pourℜ(x)>0 :

x^An−n−3+qSn^(q)(x, z)

≤n!^A−1

+∞

X

k=0

(k)n+1|x|^An−n−3+q

|k+x|^An+q

≤n!^A−1

+∞

X

k=0

(k)n+1|x|^An−n−3+q

|x+k|^An−n−3+q|k+x|ⁿ⁺³ ≤n!^A−1

+∞

X

k=0

(k)n+1

|k+x|ⁿ⁺³

La convergence normale de la derni`ere s´erie sur l’ensemble des complexes xtels queℜ(x)>1 permet de passer `a la limite sous le signe somme et on conclut que

ℜ(x)→+∞lim

x^An−n−3+qS_n^(q)(x, z) = 0.

La proposition est donc d´emontr´ee.

Corollaire 1 On a

Sn^(q)(x, ξ) =P₀^(q)(x, ξ) +

A

X

s=1

P_s^(q)(x, ξ)φs(x, ξ⁻¹) et, lorsque ℜ(x)→+∞,

Sn^(q)(x, ξ) =o(x^−An+n+3) Lemme 2 On a :

φs(x,1) =ζ(s, x)

φs(x, ξ⁻¹) = 1 e^s

e−1

X

j=0

ξ^−jζ

s,x+j e

La preuve est ´evidente.

4 Propri´ et´ es arithm´ etiques des polynˆ omes P

( x, z )

On posedn= ppcm(1,· · · , n). On sait par le th´eor`eme des nombres premiers que lndn∼n.

On pose pour tout entierb non nul et pour entier positifn µn(b) =bⁿY

q|b

q⌊q−ⁿ1⌋.

(o`uq d´esigne un nombre premier).

Lemme 3 Si xest un nombre rationnel ^a_b (b >0) et kun entier appartenant `a l’intervalle [0, n], alors les nombres (x)n

n! µn(b)et (x)n+1

n!(x+k)µn(b)dn sont des entiers et on a

n→+∞lim 1

nln (µn(b)) = lnb+X

q|b

lnq

q−1. (17)

D´emonstration On a

(x)n

n! µn(b) =

n−1

Y

i=0

(bi+a) n!

Y

q|b

q⌊q−ⁿ1⌋.

Montrons que la valuationq-adique de ce nombre rationnel est positive ou nulle pour tout nombre premierq.

– Si q diviseb, alors la valuationq-adique de n! ´etant au plus j

n q−1

k, on en d´eduit que la valuationq-adique est positive ou nulle.

– Si q ne divise pasb, alors la valuation q-adique de

n−1

Y

i=0

(bi+a) est ´egale `a celle de

n−1

Y

i=0

(i+a

b). Dans l’intervalle [0, n−1], pour un entier positifj, il y a au moinsj

n q^j

kentiers congrus `a−^a_b moduloq^jZ_q. La valuationq-adique de

n−1

Y

i=0

(i+a

b) est donc au moins

∞

X

j=1

n q^j

qui est exactement la valuationq-adique den!. La valuationq-adique est donc positive ou nulle.

Le nombre (x)n

n! µn(b) est donc bien un entier.

On a

(x)n+1

n!(x+k)µn(b)dn= Y

0≤i≤n,i6=k

(bi+a) n!



 Y

q|b

q⌊q−ⁿ1⌋



dn.

Pour cela, montrons que pour tout nombre premierq, la valuation q-adique de ce nombre rationnel est positive ou nulle.

Siqdiviseb, ceci est ´evident puisquevq(n!)<_q−1ⁿ .

On suppose donc que q ne divise pas b. Pour tout entier j compris entre 1 et J =j

lnn lnq

k, on d´esigne par νj le nombre d’entiersiv´erifiant 0≤i≤n,i6=k eti≡ −^a_b modq^j. Le nombre

Y =

n

Y

0≤i≤n,i6=k

(bi+a) est de valuationq-adique

vq(Y)≥

J−1

X

j=1

j(νj−νj+1) +JνJ =

J

X

j=1

νj.

Pour chaque j compris entre 1 et J, et pour chaque entier tel que 0 ≤ K ≤ _qⁿj −1, il y a un entier i appartenant

`

a l’intervalle [Kq^j,(K+ 1)q^j[ tel que i ≡ −^a_b mod q^j. Le nombre de ces intervalles disjoints est j

n q^j

k, par suite νj ≥j

n q^j

k−1. On a donc

vq(Y)≥

J

X

j=1

n q^j

−J.

Orvq(n!) =PJ j=1

jn q^j

ket vq(dn) =J, on en d´eduit

vq(Y)−vq(n!) +vq(dn)≥0.

On conclut que le nombre _n!(x+k)^(x)n+1µn(b)dn est de valuationq-adique positive ou nulle. Le nombre _n!(x+k)^(x)n+1µn(b)dn est donc bien un entier.

Pour la limite (17), le calcul est direct.

Proposition 2 Pour tout nombre premierp, et touts∈[1, A], on a p⌊pⁿ−1⌋d^A−s_n P_s^(q)(x, ξ)∈Z_p[ξ][x]

et

p⌊p−1ⁿ ⌋d^A−1_n P₀^(q)(x, ξ)∈Z_p[ξ][x].

De plus, pour un nombre rationnel ^a_b, avec (a, b) = 1, pour touts∈[1, A], on a b d^A−s_n µn(b)P_s^(q)(a

b, ξ)∈Z[ξ]

et

d^A_nµn(b)P₀^(q)(a

b, ξ)∈Z[ξ].

D´emonstration

D´emontrons d’abord le premier et le troisi`eme point. Supposons j ∈ [0, n−1] (le cas j = n se traite de mani`ere similaire, en se limitant `as≤q)

D’apr`es (13)

r^(q)_j,s(x) = (−1)^A−s (A−s)!

d dl

A−s

n!^A−1 (−l−x)n+1

(−l)^A_n(n−l)^q(j−l)^A

|l=j

. Ecrivons´

n!^A−1 (−l−x)n+1

(−l)^A_n(n−l)^q(j−l)^A=F(l)G(l)^A−1H(l), o`uF(l) = (−l−x)n

(−l)n+1

(j−l), G(l) = n!

(−l)n+1

(j−l) et H(l) = (−l+n)^A−q(n−l−x). D´ecomposons maintenantF(l) et G(l) en ´el´ements simples

F(l) = 1 + X

m6=j 0≤m≤n

(j−m)fm

m−l , G(l) = X

m6=j 0≤m≤n

(j−m)gm

m−l ,

o`u

fm= (−m−x)n

Y

h6=m 0≤h≤n

(h−m)

= (−1)^m(−m−x)n

n!

n m

et

gm= n!

Y

h6=m 0≤h≤n

(h−m)

= (−1)^m n

m

.

Il est imm´ediat que gm est un entier. D’autre part n!fm ∈ Z[x], donc p⌊p−1ⁿ ⌋fm ∈ Z_p[x]. De plus le lemme 3 implique que pourx=^a_b, µn(b)fmest un entier. On note Dλ=_λ!¹ _dl^dλ

, on a alors pour tout entierλ≥0 : (DλF(l))|l=j=δ0,λ− X

m6=j 0≤m≤n

fm

(m−j)^λ et

(DλG(l))|l=j=− X

m6=j 0≤m≤n

gm

(m−j)^λ. On a donc montr´e que, pour toutλentier positif,

d^λ_n(DλG(l))_|l=j∈Z et p⌊p−1ⁿ ⌋d^λ_n(DλF(l))_|l=j∈Z_p[x]. (18) De plus, pourx= ^a_b, d^λ_nµn(b) (DλF(l))_|l=j est entier. Enfin les d´eriv´eesDλ(H(l))|l=j sont des polynˆomes deZ[x] de degr´e au plus 1, et pourx= ^a_b,b Dλ(H(l))|l=j est entier.

Grˆace `a la formule de Leibniz, on a

DA−s

n!^A−1 (−l−x)n+1

(−l)^A_n(n−l)^q(j−l)^A

|l=j

=X

ν

(Dν0(F))_|l=j(Dν1(G))_|l=j· · · . DνA−1(G)

|l=j(DνA(H))_|l=j (o`u la somme est sur les multi-indicesν∈N<sup>A+1</sup>tels queν0+· · ·+νA=A−s), on d´eduit alors quep⌊p−<sup>n</sup>1⌋d<sup>A−s</sup><sub>n</sub> r<sup>(q)</sup><sub>j,s</sub>(x) appartient `aZ_p[x] et queb d^A−s_n µn(b)r^(q)_j,s(x) est un ´el´ement deZ. Le premier et le troisi`eme point sont alors d´emontr´es.

Pour le deuxi`eme et le quatri`eme point, en utilisant les ´equations (15) et (16), il suffit de montrer que p⌊p−1ⁿ ⌋d^A−1_n

(A−1)!

d dl

A−1

n!^A−1 (−l−x)n+1

(−l)^A_n(−l+n)^q(j−l)^A 1 l−k+x

|l=j

∈Z_p[x]

et, pourx= ^a_b,

d^A_nµn(b) (A−1)!

d dl

A−1

n!^A−1 (−l−x)n+1

(−l)^A_n(−l+n)^q(j−l)^A 1 l−k+x

|l=j

∈Z.

Ecrivons´

n!^A−1 (−l−x)n+1

(−l)^A_n(n−l)^q(j−l)^A 1

l−k+x = F˜(l)G(l)^A−1H(l)˜ (19) avec

F(l) =˜ (−l−x)n+1

(−l)n+1

(j−l) 1

l−k+x, G(l) = n!

(−l)n+1

(j−l), et H˜(l) = (−l+n)^A−q

Grˆace au r´esultat (18) sur G et comme Dλ( ˜H(l))|l=j est un entier, il suffit de montrer que p⌊p−1ⁿ ⌋d^λ_nDλ( ˜F(l))|l=j

appartient `aZ_p[x] et que pourx=^a_b,d^λ+1_n µn(b)Dλ( ˜F(l))|l=j est entier ; or F˜(l) =−1 + X

m6=j 0≤m≤n

(j−m) ˜fm

m−l

avec

f˜m= (−m−x)n+1

(m−k+x) Y

h6=m 0≤h≤n

(h−m)

= (−1)^m(−m−x)n+1

n!(m−k+x) n

m

.

On voit donc quep⌊p−1ⁿ ⌋f˜mest dans Z_p[x], et que, d’apr`es le lemme 3, pourx= ^a_b,dnµn(b) ˜fmest entier. La formule (DλF˜(l))|l=j=−δ0,λ− X

m6=j 0≤m≤n

f˜m

(m−j)^λ

permet alors de conclure comme ci-dessus, et les deuxi`eme et quatri`eme points sont ´etablis.

Corollaire 2 Si x est un nombre rationnel ^a_b, alors b d^A_nµn(b)Sn^(q)(x, ξ) est une combinaison lin´eaire `a coefficients dansZ[ξ] de φs(x, ξ⁻¹)

s∈[1,A] et de 1.

D´emonstrationOn utilise le corollaire 1 et la proposition 2.

5 Propri´ et´ es asymptotiques des polynˆ omes P

( x, z )

Proposition 3 Sixest un nombre complexe fix´e, alors lim sup

n→+∞

|P_s^(q)(x, ξ)|¹ⁿ ≤2^A−1. D´emonstrationPuisque

|P_s^(q)(x, ξ)| ≤

n

X

j=0

r^(q)_j,s(x)

il nous suffit de majorerr_j,s^(q)(x). Or on a

r^(q)_j,s(x) = 1 2πi

Z

|z+j+x|=¹₂

R^(q)_n (z)(z+j+x)^s−1dz (20)

= 1

2πi Z

|z+j+x|=¹₂

n!^A−1 (z)n+1

(z+x)^A_n(x+z+n)^q(z+j+x)^s−1dz (21) On en d´eduit que

|r^(q)_j,s(x)| ≤ 2^−s sup

|z+j+x|=¹₂

n!^A−1 |(z)n+1|

|(z+x)^A_n(x+z+n)^q|

. (22)

Soitm un entier positif tel que|x|+¹₂ ≤m, on a, pourztel que |z+j+x|=¹₂,

|(z)n+1| =

n

Y

k=0

|z+k|

=

n

Y

k=0

|z+j+x−j−x+k|

≤

n

Y

k=0

1

2+|x|+|k−j|

≤

n

Y

k=0

(m+|k−j|)

|(z)n+1| ≤ m(m+ 1)...(m+j)(m+ 1)...(m+n−j)≤(m+j)!(m+n−j)!. (23) Maintenant minorons

|(z+x)n| =

n−1

Y

k=0

|z+k+x|

=

n−1

Y

k=0

|z+j+x−j+k|

≥

n−1

Y

k=0

−1

2+|k−j|

En minorant par

|k−j| −¹₂

≥ |k−j| −1 si|k−j|>1, et par

|k−j| −¹₂

≥¹₂ sinon, on obtient, dans tous les cas

|(z+x)n| ≥ 1

8n³j!(n−j)!. (24)

En utilisant (23) et (24), on en d´eduit que

|(z)n+1|

|(z+x)n| ≤8n³

m

Y

k=1

(j+k)(n−j+k)≤8n³(n+m)^2m. Enfin

|(z+n+x)^q|=|(z+x+j−j+n)|^q ≥ 1

2^q. (25)

On d´eduit en utilisant (23), (24) et (25) dans (22) que

r_j,s^(q)(x)

≤2^−s+q+3A(n+m)^2mn^3A n

j A−1

Comme ⁿ_j

≤2ⁿ, il en r´esulte que

|P_s^(q)(x, ξ)| ≤2^−s+q+3A(n+m)^2m+3A+12^n(A−1). On conclut donc

lim sup

n→+∞

P_s^(q)(x, ξ)

1

n ≤2^A−1. Corollaire 3 Pour touts∈[0, A], on a

lim sup

n

1 nln

bµn(b)d^A_nP_s^(q)(x, ξ)

≤lnb+X

q|b

lnq

q−1 +A+ (A−1) ln 2. (26)

6 Ind´ ependance lin´ eaire des formes lin´ eaires

On consid`ere la matrice

Mn(x, z) =

P_s^(q)(x, z)

q∈[0, A]

s∈[0, A]

(27)

et on note

Ωn(x, z) = detMn. Proposition 4 On a

Ωn(x, z) =γzⁿ⁺¹(z−1)^(A−1)n−2x^A (28)

o`u γ∈Q^∗.

La preuve de cette proposition r´esultera des lemmes suivants.

Lemme 4 Le polynˆomeΩn(x, z)est divisible par x^A. D´emonstrationEn d´erivant (13), on a

d

dxr^(q)_j,1(x) =























(−1)^A−1 (A−1)!

d dl

^A−1

"

n!^{A−1 (}_(−l)^−l−x)A ⁿ⁺¹

n(n−l)^q(j−l)^A

n

X

k=0

−1 k−l−x

#

|l=j

sij∈[0, n−1]

(−1)^q−1 (q−1)!

d dl

^q−1

"

n!^{A−1 (−l−x)}_(−l)Aⁿ⁺¹ n

n

X

k=0

−1 k−l−x

#

|l=n

sij=netq >0

0 sij=netq= 0

En utilisant la formule de Leibniz, on obtient, pourj∈[0, n−1], d

dxr^(q)_j,1(x)

= (−1)^A

(A−1)!

A−1

X

u=0

A−1 u

d dl

A−1−u

n!^A−1 (−l−x)n+1

(−l)^A_n(n−l)^q(j−l)^A

|l=j

d dl

u" _n X

k=0

1 k−l−x

#

|l=j

=

A−1

X

u=0

(−1)^u+1r^(q)_j,u+1(x)

n

X

k=0

1 (k−j−x)^u+1. De mˆeme, pourj =n, on a

d

dxr^(q)_n,1(x) =







A−1

X

u=0

(−1)^u+1r^(q)_n,u+1(x)

n

X

k=0

1

(k−n−x)^u+1 siq >0

0 siq= 0.

On en d´eduit que

d

dxr^(q)_j,1(x) =

n

X

k=0

1 (k−j−x)^A

A−1

X

u=0

(−1)^u+1r_j,u+1^(q) (x)(k−j−x)^A−u−1

=

n

X

k=0

1 (k−j−x)^A

A−1

X

u=0

(−1)^A−ur^(q)_j,A−u(x)(k−j−x)^u.

Les quantit´es que l’on d´erive ´etant des polynˆomes, les d´eriv´ees sont aussi des polynˆomes. On en d´eduit que, pour tout j ∈ [0, n], pour tout k ∈ [0, n], le polynˆome

A−1

X

u=0

(−1)^A−ur^(q)_j,A−u(x)(k−j−x)^u est divisible par (k−j−x)^A. Cela implique que pour toutv∈[0, A−1],

v

X

u=0

(−1)^A−ur^(q)_j,A−u(x)(k−j−x)^u est divisible par (k−j−x)^v+1 et donc que

1 (k−j−x)^v

v

X

u=0

(−1)^A−ur_j,A−u^(q) (x)(k−j−x)^u est un polynˆome qui s’annule enx=k−j.

Il en r´esulte en prenantk=j que pour toutj∈[0, n] etv∈[0, A−1]

v

X

u=0

1

x^v−ur_j,A−u^(q) (x) est un polynˆome qui s’annule enx= 0.

Par lin´earit´e, on obtient que, pour toutv∈[0, A−1]

v

X

u=0

1

x^v−uP_A−u^(q) (x, z) =

v

X

u=0

1

x^uP_A−v+u^(q) (x, z) est un polynˆome enxs’annulant enx= 0.

Or, par multilin´earit´e sur les colonnes du d´eterminant (27), on obtient :

Ωn(x, z) =

P₀⁽⁰⁾(x, z)

A−1

X

u=0

1

x^uP_u+1⁽⁰⁾ (x, z)

A−2

X

u=0

1

x^uP_u+2⁽⁰⁾ (x, z) · · · P_A⁽⁰⁾(x, z)

· · · ·

P₀^(A)(x, z)

A−1

X

u=0

1

x^uP_u+1^(A)(x, z)

A−2

X

u=0

1

x^uP_u+2^(A)(x, z) · · · P_A^(A)(x, z)

(29)

Chaque colonne (except´e la premi`ere) est un polynˆome enxadmettantx= 0 comme z´ero, on obtient donc quex= 0 est z´ero d’ordre au moinsAde Ωn(x, z). On conclut quex^A divise Ωn(x, z).

Lemme 5 Le polynˆomeΩn(x, z)est de degr´eAn−1en z.

D´emonstration En ajoutant `a la premi`ere colonne du d´eterminant (27) les colonnes suivantes multipli´ees par φs x,¹_z

, on obtient :

Ωn(x, z) =

Sn⁽⁰⁾(x, z) P₁⁽⁰⁾(x, z) · · · P_A⁽⁰⁾(x, z)

· · · · Sn^(A)(x, z) P₁^(A)(x, z) · · · P_A^(A)(x, z)

. (30)

Les ´el´ements de la premi`ere colonne sont exactement de degr´e−1 enz, car le premier terme de la s´erie Sn^(q)(x, z)

´etant nul, on peut faire la somme `a partir de k = 1, et on obtient ainsi une s´erie formelle en <sup>1</sup><sub>z</sub>, de degr´e −1. Les autres colonnes sont de degr´e au plusn enz, grˆace `a la proposition 1. On en d´eduit que le d´eterminant est de degr´e au plus An−1 en z. La proposition 1 nous montre que les ´el´ements surdiagonaux sont de degr´e inf´erieur ou ´egal

`

a n−1 en z. On en d´eduit que dans le d´eveloppement du d´eterminant, tous les termes, autres que le produit des

´el´ements diagonaux, sont de degr´e en z strictement inf´erieur `a An−1. Mais les ´equations (12) et (14) impliquent quePq^(q)(x, z) est exactement de degr´enen z. Le produit des ´el´ements diagonaux donne donc un ´el´ement de degr´e exactementAn−1. Le degr´e enz de Ωn(x, z) est donc exactementAn−1.

Lemme 6 Le polynˆomeΩn(x, z)est de degr´e au plusA enx.

D´emonstrationD´eveloppons l’expression (30) du d´eterminant Ωn(x, z) par rapport `a la premi`ere colonne, on obtient Ωn(x, z) =

A

X

q=0

(−1)^qS_n^(q)(x, z)∆q,0(x, z) o`u les ∆q,0(x, z) sont les d´eterminants extraits.

On a

x^−AS_n^(q)(x, z)∆q,0(x, z) =

+∞

X

k=0

x^−A∆q,0(x, z)R^(q)_n (k)z^−k. (31) Cela implique, pourℜ(x)>0

x^−A∆q,0(x, z)R^(q)_n (k) =

x^−A∆q,0(x, z)n!^A−1 (k)n+1

(x+k)^A_n(x+k+n)^q

≤n!^A−1

(k)n+1

(x+n)^q

∆q,0(x, z) x^A(n+1)

. (32) La proposition 1 permet de majorer le degr´e enxde ∆q,0(x, z) parA(n+ 1). Cela implique que pourzfix´e quelconque, avec|z|>1, ^∆_x^q,0A(n+1)^(x,z) est born´ee pourℜ(x)>1. On a donc pourℜ(x)>1

x^−A∆q,0(x, z)R^(q)_n (k)z^−k ≤ K

|x|^q(k)n+1

z^−k

(33)

o`u K=K(z) est une constante ind´ependantex.

Le terme de droite de l’in´egalit´e pr´ec´edente ´etant le terme g´en´eral d’une s´erie convergente pour|z|>1, on en d´eduit que les termes de l’´equation (31) tendent vers 0 quandℜ(x) tend vers +∞siq >0 et restent born´es pourq= 0. On en conclut que le degr´e enxde Ωn(x, z) est au plusA.

Corollaire 4 Le polynˆomeΩn(x, z)est de la forme

x^AQ(z), o`u Q(z)un polynˆome de degr´eAn−1.

D´emonstrationCela r´esulte des lemme 4, 5 et 6.

Lemme 7 Le polynˆomeΩn(x, z)est divisible par zⁿ⁺¹. D´emonstration

Du corollaire 4, on d´eduit

Q(z) =x^−AΩn(x, z) = lim

ℜ(x)→+∞x^−AΩn(x, z), d’o`u

Q(z) =

A

X

q=0

(−1)^q lim

ℜ(x)→+∞x^−AS_n^(q)(x, z)∆q,0(x, z).

Le r´esultat (33) nous permet de conclure que pour|z|>1, on a Q(z) = lim

ℜ(x)→+∞x^−AS_n⁽⁰⁾(x, z)∆0,0(x, z).

On a de plus

ℜ(x)→+∞lim x^AnS_n⁽⁰⁾(x, z) = lim

ℜ(x)→+∞n!^A−1

+∞

X

k=0

(k)n+1x^An

(k+x)^A_n z^−k=n!^A−1

+∞

X

k=0

(k)n+1z^−k. (34)

Or pour|Z|<1, on a

+∞

X

k=0

(k)n+1Z^k=Z dⁿ⁺¹ dZⁿ⁺¹

+∞

X

k=0

Z^k+n=Z dⁿ⁺¹ dZⁿ⁺¹

Zⁿ

1−Z =Z dⁿ⁺¹ dZⁿ⁺¹

1

1−Z = (n+ 1)! Z (1−Z)ⁿ⁺²· Donc pour|z|>1,

ℜ(x)→+∞lim x^AnS_n⁽⁰⁾(x, z) = n!^A(n+ 1)zⁿ⁺¹ (z−1)ⁿ⁺² ·

Le fait que ∆0,0 soit un polynˆome en xetz de degr´e au plusA(n+ 1) enxpermet d’obtenir que

ℜ(x)→+∞lim x^−A(n+1)∆0,0(x, z) (35) est un polynˆomeM(z).

On a doncQ(z) =M(z)^n!A_(z−1)⁽ⁿ⁺¹⁾n+2^zn+1 et il en r´esulte quezⁿ⁺¹ diviseQ(z).

Lemme 8 Le polynˆomeΩn(x, z)est divisible par (z−1)^(A−1)n−2

D´emonstration Pourz ∈ C\]− ∞,0], on posez^−t=e^−tlogz o`u logz est la d´etermination du logarithme de z de partie imaginaire comprise entre−πetπ. Consid´erons l’int´egrale

J_n^(q)(z) = 1 2πi

Z

|t+x|=n+1

R^(q)_n (t)z^−tdt qui d´efinit une fonction holomorphe pourz∈C\]− ∞,0].

La nullit´e en 1

Par d´erivation sous le signe somme, on obtient d^kJn^(q)

dz^k (z) = (−1)^k 2πi

Z

|t+x|=n+1

R_n^(q)(t) (t)kz^−t−kdt.

On remarque que

deg_tR^(q)_n (t) (t)k =n+ 1 +k−An−q.

Or l’int´egrale d’une fonction rationnelle de degr´e inf´erieur ou ´egal `a −2 est nulle sur un contour ferm´e contenant l’ensemble de ses pˆoles. Cela implique que, si

k≤(A−1)n+q−3, on a

d^kJn^(q)

dz^k (1) = 0. (36)

Lien avec Ωn(x, z)

La formule des r´esidus nous donne

J_n^(q)(z) =

n

X

j=0

Res[t=−j−x]

R^(q)_n (t)z^−t . On a

e^−tlogz=e^{(x+j) logz}

∞

X

k=0

(−1)^k(t+x+j)^k(logz)^k

k! .

En utilisant les mˆemes notations que pour la proposition 1, on obtient

Res[t=−j−x]

R^(q)_n (t)z^−t

=

A

X

s=1

r^(q)_j,s(x)(−1)^s−1e^{(x+j) logz}(logz)^s−1

(s−1)! .

On en d´eduit

J_n^(q)(z) =

n

X

j=0 A

X

s=1

r_j,s^(q)(x)(−1)^s−1e^{(x+j) logz}(logz)^s−1

(s−1)! (37)

J_n^(q)(z) = e^xlogz

A

X

s=1

P_s^(q)(x, z)(−1)^s−1(logz)^s−1

(s−1)! . (38)

Dans (30), en ajoutant `a la deuxi`eme colonne les suivantes multipli´ees respectivement par ^(−1)s−1_(s−1)!^(logz)s−1, on obtient

Ωn(x, z) =

Sn⁽⁰⁾(x, z) e^−xlogzJn⁽⁰⁾(z) P₂⁽⁰⁾(x, z) · · · P_A⁽⁰⁾(x, z)

· · · · S^(q)n (x, z) e^−xlogzJn^(A)(z) P₂^(A)(x, z) · · · P_A^(A)(x, z)

Grˆace `a (36), les fonctionsJn^(q)(z) ont un z´ero enz= 1 d’ordre au moins (A−1)n−2, cela nous permet de conclure que (z−1)^(A−1)n−2 divise Ωn(x, z).

D´emonstration de la proposition 4

Les lemmes 7 et 8 et le corollaire 4 permettent de conclure.

7 Passage du cas complexe au cas p-adique et d´ emonstration du th´ eor` eme

Pourscomplexe tel queℜ(s)>1, etxr´eel positif, on pose T(s, x) = 1

e^s

e−1

X

l=0

ξ^−lζ(s,x+l e ).

Comme la fonctions7−→ζ(s,^x+l_e ) peut ˆetre prolong´ee en une fonction holomorphe surC\ {1} admettant le point 1 pˆole simple d’ordre 1 et de r´esidu 1, la fonction s7−→T(s, x) peut ˆetre consid´er´ee comme une fonction holomorphe surC.

Pour un nombrep-adiquex, tel que|x|p≥pet sun entier strictement positif, on pose

Tp(s, x) =

e−1

X

j=0 x+j

e

1−s

e^sx+j e

^1−sξ^−jζp(s,x+j

e ) sis >1 (39)

et

Tp(1, x) = 1 e lim

s→1 e−1

X

j=0

ξ^−jζp(t,x+j

e ). (40)

On remarque que

Tp(s, x) = 1 e^sωx

e 1−s

T˜p(s, x). (41)

Proposition 5 Soit x= ^a_b un rationnel, tel que|x|p≥p, et soit A un entier sup´erieur ou ´egal `a 2.

Alors la dimensionτ de l’ espace vectoriel engendr´e surQ(ξ)par la famillen

1,(Tp(s, x))_s∈[1,A]o v´erifie

τ≥ [Q_p(ξ) :Q_p] ϕ(e)

Aln|x|_p lnb+X

q|b

lnq

q−1+A+ (A−1) ln 2 .