1 Lˆ achons une boule pour faire bouger un bloc...

KINE11-EDPH11

Juin 2016 Introduction `a la m´ecanique IEPR 1011 -Rose- Vous pouvez conserver cet ´enonc´e !

1 Lˆ achons une boule pour faire bouger un bloc...

Une boule de massem= 200 gr est retenue par une corde de longueurR= 10 cm. Cette boule est ´ecart´ee de sa position d’´equilibre d’un angleθ et est lˆach´ee avec une vitesse initiale nulle. Lors de son passage parA, la boule va percuter un bloc de mˆeme masse. Apr`es le choc, la boule s’immobilise imm´ediatement.

Suite au choc, le bloc parcourt une distance d = 1 m sur un plan ho- rizontal rugueux AB avec un coefficient de frottement µc = 0.1. Au point B, on observe que la vitesse du bloc est nulle. Ensuite, le bloc va glisser sur une distance L= 1 m le long d’un plan inclin´e lisse BC pour atteindre un ressort `a sa position d’´equilibre. Finalement, le bloc va continuer `a descendre en comprimant ce ressort qui a une constante de raideur k= 140 N/m.

Dans les calculs, on utilisera g= 10 m/s². θ

m

R

α= 30^o L

d

x y

m

A B

C

1. Dessiner l’ensemble des forces sur le bloc pendant le d´eplacementAB.

Y indiquer clairement le nom et la notation habituelle pour chacune des forces.

En d´eduire l’acc´el´eration du bloc pendant ce d´eplacement horizontal.

Attention, il n’y a pas de force horizontale qui pousse le bloc. Une vitesse initiale est donn´ee au bloc par l’impulsion dˆu au choc, mais ensuite ce n’est que le frottement qui le ralentit.

Inclure une force qui pousse est donc une erreur assez impardonnable, mais qui est faite par beaucoup d’´etudiants. Toutes les forces sont constantes et donc il s’agit d’un simple MRUA : si, si !

Il faut donc citer :

• Force de gravit´e : m~g=

0

−mg

• Force normale du sol : N~ = 0

mg

• Force de frottement :~f =

−µcmg 0

~f

N~ m~g

En utilisant les axes d´efinis sur la figure, on obtient imm´ediatement l’acc´el´eration demand´ee en

´

ecrivant la loi de Newtona=−µcg et on conclut donc.

a = −1 m/s²

Lors de la correction, les deux r´eponsesa= 1m/s²eta=−1m/s²ont ´et´e admises. En effet,apeut repr´esenter soit la norme du vecteur (qui est toujours positive), soit la composante horizontale (qui est n´egative :-) En toute rigueur, il faudrait utiliser la notation ax pour la composante horizontale afin de la distinguer de la norme du vecteur, mais il est souvent coutume d’omettre cet indice lorsque le mouvement est unidimensionnel comme c’est le cas ici.

2. Quelle est la vitesse de la boule juste avant d’entrer en contact avec le bloc au pointA? Quelle la vitesse du bloc juste apr`es la collision ?

Il suffit de faire le bilan d’´energie :

mgR(1−cos(θ)) = ¹₂mv²_A

? vA = p

2gR(1−cos(θ))

C’est l’´energie potentielle perdue par la bille qui est transform´ee en ´energie cin´etique.

Attention, la composante verticale de la position de la bille estmgRcos(θ) lorsqu’elle est lach´ee ! Et cette composante devientmgR lorsqu’elle entre en contact avec le bloc.

La diminution d’´energie potentielle est donc bien mgR(1−cos(θ))

Beaucoup d’´etudiants ´ecrivent des trucs incoh´erents...avec mˆeme des sinus !

Finalement, comme la bille s’immobilise imm´ediatement apr`es le choc, que le bloc ´etait immobile avant le choc et que leurs masses sont ´egales, la vitesse du bloc juste apr`es le choc est strictement

´

egal `a la vitesse de la bille juste avant le bloc. On applique la conservation de la quantit´e de mouvement.

3. Donner l’expression symbolique de la vitesse du bloc enB en fonction deg,R,d,θ etµc.

Il s’agit `a nouveau de faire un bilan d’´energie :

1

2mv_B² −¹2mv²_A = −µcmgd

? vB = q

v²_A−2µcgd vB = p

2gR(1−cos(θ))−2µcgd

L’´energie cin´etique perdue dans le d´eplacementABcorrespond au travail de l’unique force horizon- tale qui est le frottement cin´etique. Attention, c’est une diminution d’´energie et donc, il faut mettre un signe moins sur le terme de droite !

Certains ´etudiants un peu taquins mentionnent directement que cette vitesse vaut z´ero puisque l’angleθ a ´et´e choisi justement pour obtenir cela. Si ils trouvent une autre mani`ere pour obtenir θ dans la question suivante, cette r´eponse a ´et´e admise par le correcteur.

4. De quel angleθ doit-on ´ecarter la boule pour que le bloc arrive enB avec une vitesse nulle ?

En imposant vB = 0dans l’expression pr´ec´edente :

2gR(1−cos(θ)) = 2µcgd 1−cos(θ) = µcd

|{z}R

= 1

? cos(θ) = 0

θ = π/2

Quelques ´etudiants fut´es obtiennent directement ce r´esultat en observant imm´ediatement que l’angle doit ˆetre tel que l’´energie potentielle perdue dans la bille doit exactement correspondre `a l’´energie dissip´ee par le frottement. Ils en d´eduisent ensuite la valeur num´erique devA. Pour ces ´etudiants (et uniquement ceux-l`a), le correcteur ne tenait pas rigueur si ils n’obtenaient pas l’expression symbolique de vB `a la question pr´ec´edente :-)

5. Quelle sera la diminution maximale de la longueur du ressort ?

Il faut juste ´egalerl’´energie potentielle de gravit´e perdue par le bloc sur le plan inclin´eavecl’´energie accumul´ee par la compression du ressort. En effet, la vitesse du bloc est nulle en haut de la pente.

Et elle sera ´egalement nulle lorsque le ressort sera comprim´e de mani`ere maximale. En notant x la diminution maximale du ressort, on obtient ainsi une ´equation du second degr´e :

mg R(L+x) sin(30) = ¹₂k x² (1 +x) = 70x²

?

0 = 70x²−x−1

En prenant l’unique solution positive de l’´equation, on obtient : x = 1 +√ 1 + 280

140 = 0,1269 m

6. Dessiner l’´evolution de l’´energie cin´etique et potentielle du bloc en fonction de la distance parcourue entre l’impulsion initiale suite au choc et le moment o`u le ressort est comprim´e au maximum.

L’´evolution de l’´energie cin´etique et potentielledu bloc en fonction de la distance parcouruedoit ˆetre trait´ee de mani`ere distincte entre les pointsA,B,C etD. On d´efinitDcomme la position atteinte par le bloc lorsque le ressort est comprim´e de mani`ere maximale. On a aussi indiqu´e sur le graphe l’´evolution de l’´energie potentielle du ressort, bien que cela ne soit pas strictement demand´e mais

´

etait utile pour construire la derni`ere portion de l’´energie cin´etique. Arbitrairement, on a choisi une ´energie potentielle qui ´etait nulle pour le point le plus bas : tout autre option est ´evidemment correcte.

Il est utile d’observer que la totalit´e de l’exercice est r´esum´e dans le graphe : on peut y voir toutes les relations que nous avons utilis´ees pour r´esoudre notre probl`eme.

t E

K

Ug

Ur

A B C D

Tracer des paraboles sur les deux premi`eres sections est incorrect !

Montrer une modification de l’´energie potentielle sur le d´eplacement horizontal est incorrect ! Toute translation verticale de l’´energie potentielle est ´evidemment possible !

Seule l’´energie potentielle du ressort se pr´esente sous la forme d’une parabole...

Finalement, la partie centrale du graphe est particuli`erement simple et correspond au graphe clas- sique des ´energies en fonction de la distance parcourue pour un corps qui chute : alors qu’en g´en´eral, plein d’´etudiants me donnent les deux droites qui se croisent alors que je demande une autre graphe.... Ici, ils m’ont donn´e deux paraboles alors que je demandais deux droites.

Moralit´e : c’est bien de r´eviser les examens des ann´ees pr´ec´edentes, mais pas de recopier sans

comprendre les r´eponses d’une ann´ee pour la question d’une autre ann´ee.... Au jeu du plus idiot et d´ebile, c’est toujours l’enseignant qui gagne :-)

R´epondez `a chaque sous-question et uniquement `a ce qui est demand´e.

Soyez pr´ecis dans les graphes.

D´etaillez vos calculs afin de clairement montrer votre d´emarche.

Pensez `a encadrer les r´esultats principaux pour les mettre en ´evidence.

Le rayon de la boule et la taille du bloc sont ´evidemment n´egligeables par rapport `aR,detL.

2 Questions ` a choix multiples

Attention !

Il y a toujours une et une seule bonne r´eponse !

Une r´eponse correcte rapporte 4 points, une r´eponse erron´ee en fait perdre 1 point.

Ne rien cocher ne fait rien gagner et ne fait rien perdre.

Les donn´ees des questions sans valeurs num´eriques sont suppos´ees ˆetre dans des unit´es coh´erentes :-) Remplir la feuille pour lecture optique avec un crayon noir bien taill´e !

Gommer pour les corrections !

N’utiliser en aucun cas un correcteur liquide (Typex) pour corriger !

Q1

Une corde AB et le frottement en C maintiennent immobile une barre CB contre un mur. La barre a une longueurdet une massem.

La norme de l’acc´el´eration de la gravit´e estg= 10m/s². Le coefficient de frottement statique estµs= 0.6.

d A

B

C θ

La force de frottement exerc´ee par le mur sur la barre est :

A f =µsmg A

B f = (1 + sinθ)mg B

C f =mg/2 C

D f = sinθ mg D

E f =µssinθ mg E

Q2

Les normes de la vitesse et de l’acc´el´eration d’un corps en mouvement ne sont pas nulles mais sont constantes dans le temps.

Quelle est la nature du mouvement ?

A Mouvement circulaire uniforme. A

B Mouvement circulaire uniform´ement acc´el´er´e. B

C Mouvement rectiligne uniforme. C

D Mouvement rectiligne uniform´ement acc´el´er´e. D

E Chute libre du corps. E

Q3

Une voiture emboutit l’arri`ere d’une autre voiture arrˆet´ee `a un feu rouge. Les deux voitures ont une masse identique m. Apr`es le choc, les deux voitures restent accroch´ees et s’arrˆetent apr`es une distance d. Si le coefficient de frot- tement cin´etique est not´eµc et la gravit´e est not´eeg, la vitesse de la voiture du chauffard juste avant la collision est donn´ee par :

A v=p

2µcgd A

B v=p

µcgd B

C v= 1 2m

pµcgd C

D v= µcgd²

D E v=p

8µcgd E

Q4

Repr´esentons toutes les forces et les acc´el´erations sur une roue de v´elo de rayon R entrain´ee par le mouvement de la chaine avec un pignon de rayonr.

Par convention, une valeur positive d’un symbole correspond `a la donn´ee telle qu’elle est repr´esent´ee sur le dessin.

mg

N

F F

Rω Rα

f ω

α

Avec la convention choisie, l’´equilibre de rotation s’´ecrit :

A Iα= 2rF+Rf A

B Iα= 2rF−Rf B

C Iα=rF−Rf C

D Iα=rF+ 2Rf D

E Iα= 2RF−rf E

Q5

On d´ecrit le mouvement d’un mobile sous l’action d’une forme en utilisant un syst`eme d’axes de r´ef´erences. Quelle est la grandeur qui ne ne d´epend pas du r´ef´erentiel dans lequel on ´etudie le mouvement ?

A Le vecteur position. A

B La masse. B

C Le vecteur acc´el´eration. C

D L’´energie cin´etique. D

E La quantit´e de mouvement. E

Q6

Quelles sont les unit´es d’un travail ?

A N / m A

B kg m² / s³ B

C J s C

D kg m² / s² D

E J m s² E

Q7

Une corde a une masse met est reli´ee `a un bloc de masseM. On tire vers le haut sur la corde afin que le bloc se soul`eve avec une acc´el´erationa.

La norme de l’acc´el´eration de la gravit´e estg= 10m/s². Attention, on ne n´eglige pas la masse de la corde !

m

~F

M

La tension au milieu de la corde est :

A T = (m+M/2) (g+a) A

B T = (m/2 +M)

M mg+(m+M/2)

M ma B

C T = (m/2 +M) (g+a) C

D T =mg+M a D

E T =M (g+a) E

Q8

On consid`ere un mouvement circulaire uniforme.

Quelle est l’unique affirmation correcte ?

A Le vecteur vitesse est constant. A

B Le vecteur acc´el´eration est tangentiel. B

C Le vecteur acc´el´eration est constant. C

D Le vecteur acc´el´eration est centrifuge. D

E Le vecteur acc´el´eration est centrip`ete. E

Q9

Deux billes de masse m et M > m assimilables `a des points mat´eriels sont lˆach´ees sans vitesse initiale `a une hauteurhdu sol.

La norme de l’acc´el´eration de la gravit´e estg= 10m/s². On n´eglige la r´esistance de l’air.

Quelle est l’unique affirmation correcte ?

A Les deux billes atteignent le sol simultan´ement. A

B La billeM touche le sol en premier. B

C L’ordre d’arriv´ee au sol d´epend de la latitude du lieu de l’exp´erience. C

D La billem touche le sol en premier. D

E N´egliger la r´esistance de l’air n’est jamais une hypoth`ese r´ealiste. E

Q10

Consid´erons le produit scalaireA~ ·B~ de deux vecteurs : A~ =

4 2

et B~ = 2

4

Quelle est l’unique affirmation correcte ?

A Le produitA~ ·B~ = 16 A

B Le produitA~ ·B~ = 0 car les vecteurs sont perpendiculaires. B C Le produitA~ ·B~ =ABsin(θ) o`u θest l’angle entre les deux vecteurs. C

D Le produitA~ ·B~ = 9 D

E Le produitA~ ·B~ est un vecteur perpendiculaire aux vecteursA~ et B.~ E

N’oubliez pas de reporter vos r´eponses sur la feuille pour lecture optique.

Formulaire

d dt

�m �v�

= ��Fi

d dt

�1

2m v²+¹₂I ω²�

= ��Fi·�vi

d dt

� I ω�

= � Mi

Lorsque les forces sontconstantes,

∆� m �v�

= �F∆t�

∆�

1 2m v²�

= �F�·∆�x

Mouvement d’un projectile

�x(t) =

� u0t+x0

−gt²/2 +v0t+y0

�

� v(t) =

� u0

−gt+v0

�

� a(t) =

� 0

−g

�

Mouvement horizontal = MRU (vitesse constante) Mouvement vertical = MRUA (accélération constante)

Mouvement circulaire uniformément accéléré : θ(t) =θ0+ω0t+α t² 2

�v(t) =

� vr

vθ

�

=

� 0 rω

�

� a(t) =

� ar

aθ

�

=

� −rω² rα

�

Vitesse :v=rω Accélération :a=

�

(rω²)²+ (rα)²

Vitesse angulaireω et accélération angulaireα

Bilan d’énergie

∆

� �� �K

�1 2m v²�

= � W

� �� �

�F·∆�x

= �F�_nc·∆�x

� �� � Wnc

− ∆�

� �� �mg h Ug

+¹₂ k x²

� �� � Ur

�

Moment d’une force dans le plan

�r×F�

� �� � M�

=



 rx

ry

0



×



 Fx

Fy

0



 =



 0

0 rxFy−ryFx





M = rxFy−ryFx = F r_⊥ = F_⊥ r = F rsin(θ)

Ensemble de particules : un corps !

m = �

mi

m �x(t) = � �

mi�xi(t)� m �v(t) = � �

mi�vi(t)�

Moment d’inertie

I = �

mir²_i

Rayon de giration m k² = �

mir²_i

Théorème des axes parallèles Ih = m h²+I

Moments d’inertie de corps rigides homogènes

Cylindre creux tournant autour de l’axe de révolution I = m R² Cylindre plein tournant autour de l’axe de révolution I = m R² 2 Barre tournant autour d’un axe perpendiculaire central I = m L²

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