Droites et systèmes – feuille d’exercices

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Droites et systèmes – feuille d’exercices

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1. Déterminer graphiquement l’équation de la droite 𝑑_". 2. Déterminer graphiquement

l’équation de la droite 𝑑_#.

3. Tracer la droite 𝑑_$ d’équation 𝑦 = −⁽₎𝑥 + 4.

4. Déterminer par le calcul l’équation de

la droite 𝑑₎ passant par 𝐴(−1; −3) et 𝐵(1; ,1).

Exercice 1 : on cherche à déterminer une équation cartésienne de la droite 𝑑 passant par 𝑀(1; −1) et dirigée par 𝑣⃗ 835:.

Compléter :

« Soit 𝑃(𝑥 ; 𝑦) appartenant à 𝑑. Alors 𝑀𝑃 ======⃗> … …

… …@ et 𝑣⃗> …

…@ sont colinéaires ⟺ det( 𝑀𝑃 ======⃗ ; 𝑣⃗) = ⋯

⟺……….. ⟺………..

⟺……….. ⟺……….. »

1) Soit (𝑑) la droite passant par 𝐴(1; −1) et de vecteur directeur 𝑢=⃗(−4; −3).

Déterminer une équation cartésienne de (𝑑) par la méthode de votre choix.

2) Soit (𝑑^G) la droite d’équation réduite 𝑦 = −2𝑥 + 1.

a) Déterminer un vecteur directeur 𝑣⃗ de (𝑑^G). b) Était-ce prévisible ?

Exercice B : équations cartésiennes

1) Soit (𝑑) la droite passant par 𝐴(4; 2) et de vecteur directeur 𝑢=⃗(1; −3).

Déterminer une équation cartésienne de (𝑑).

2) Soit (𝑑^G) la droite d’équation cartésienne 3𝑥 − 1,5𝑦 + 1 = 0.

Le vecteur 𝑣⃗(−4,5; −9) est-il un vecteur directeur de (𝑑^G) ?

Exercice 3 : dans chaque cas, déterminer l’intersection des droites avec les axes du repère : a) (𝑑): 𝑦 = 2𝑥 − 1 b) (𝑑^G): 𝑦 =^L

$+ 2 c) (∆): 𝑥 = 5

Exercice 4 : déterminer les coordonnées de l’éventuel point d’intersection 𝑀 de 𝑑: 𝑦 = 5𝑥 − 8 et 𝑑^G: 𝑦 = −4𝑥 − 1

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Exercice 5 : résoudre les systèmes suivants en précisant la méthode utilisée : a) O−𝑥 + 3𝑦 = 7

2𝑥 + 𝑦 = 4 b) O3𝑥 − 5𝑦 = 12

4𝑥 + 5𝑦 = −1

Exercice C : les systèmes 2x2, c'est de l'eau

Résoudre dans ℝ les deux systèmes suivants en précisant la méthode utilisée : a) O2𝑥 + 3𝑦 = 6

𝑥 − 2𝑦 = 10 b) O5𝑥 − 2𝑦 = 4 4𝑥 + 2𝑦 = 15 Exercice 6 : résoudre le système : O2𝑥 + 𝑦 = 4

2𝑥 − 4𝑦 = 4 a) Graphiquement (conjecture)

b) Par le calcul (trois « méthodes ») Exercice D : un système sur les rails

Un train est constitué, à l’aller, de deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes du même modèle et ce train mesure alors 152 m de long.

Après avoir vidé le contenu de tous les wagons-citernes, on décroche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernes vides.

Après ces changements, le train ainsi constitué mesure 160 m de long.

Quelle est la longueur en mètre d’une locomotive et celle d’un wagon-citerne ? On justifiera en rédigeant soigneusement.

Exercice E : « méli-mélo de droite »

1) a) Montrer que les points 𝐴(2; 4), 𝐵(−2; 2) et 𝐶(0; 3) sont alignés.

b) Dans le repère ci-dessous, tracer cette droite qu’on appellera 𝑑.

2) On s’intéresse à la droite 𝑑′ d’équation : 𝑦 =^"_$𝑥 + 4

a) Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection de la droite 𝑑′ avec les deux axes du repère.

b) Avec des arguments graphiques, tracer la droite 𝑑′ dans le repère précédent.

3) a) Les droites 𝑑 et 𝑑′ sont-elles parallèles ? Justifier.

b) En déduire le nombre de solutions du système U𝑦 =^"_#𝑥 + 3 𝑦 =^"_$𝑥 + 4 c) Résoudre ce système par la méthode de votre choix.

On veillera à rédiger soigneusement et on vérifiera le résultat trouvé sur le repère.