D.M. DE MATHEMATIQUES (3)

(1)

I-Étudier les limites aux bornes de l’ensemble de définition des fonctions définies par : 1. gx= x−1

1−2x en 1

2 ( x1

2 et x1 2 ), 2. hx= x−1

−x²3x−2 en 1 , en 2 ( x2 et x2 )

II - Soit f la fonction définie sur]−1;∞[par fx=x−2cosx

x1 .

1. Démontrer que pour tout x−1 on a : ^x−2

x1fxx2 x1 . 2. En déduire la limite de f en∞.

IIII - Soitu_nla suite définie par^u1=1et^un1=2u_n1. 1. Calculer les quatre premiers termes de cette suite.

2. Représenter graphiquement, à l'aide de la fonction f définie par f x=2x1 les quatre premiers termes de cette suite.

3. Démontrer, par récurrence que pour toutn1, u_n=2ⁿ−1 .

III- Démontrer par récurrence que, pour tout x−1 et tout n∈ℕ, on a :1xⁿ1n x

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