LECTURE DE L’ARTICLE ET SON ANALYSE PAR RAPPORT A LA RESSOURCE N˚13

♣ LECTURE DE L’ARTICLE ET SON ANALYSE PAR RAPPORT A

LA RESSOURCE N˚13 ^♣

L’article soumis à notre étude est de 12 pages et tiré du livre du français François BOSHER de l’université de PARIS VII. Le but de cet article est de présenter quelques éléments d’étude à propos de la convergence des suites numériques sujet autour du quel se centre notre ressource n˚13. Son choix a été motivé par plusieurs raisons à savoir la place fondamentale qu’elle occupe dans l’histoire et dans l’enseignement des débuts de l’

analyse et le fait que les notions qui se rattachent à la notion de convergence interviennent parfois sous formes générales tout au long des études universitaires. C’est cette dernière motivation de BOSHER qui accompagne notre choix dans le fait que nous avons changé les cours sur les limites des suites numériques de la classe de terminale C dans le but de faire un cours leurs permettant de suivre n’importe quelle cours du supérieure faisant appel à cette notion.

Les premières études de la notion de convergence ont été effectuées par A.Robert (1982-

1983) et ont montré que l’acquisition de cette notion ne se fait pas sans aucun problème

et reste souvent incomplète tout au long de l’enseignement supérieure c’est pour celà que

BOSHER s’est penché sur certains aspects de son enseignement. Il a dont étudié le contenu

global des cours et des exercices du vocabulaire ou des modèles exprimés. Pour arriver à ses

fins, BOSHER à étudier 11 cours édités entre 1959 et 1976, 04 manuels d’exercices corrigés

édités entre 1961 et 1971, trois polycopiés de 1ère année universitaire, trois notes de cours

munies de feuilles d’exercices de classes préparatoires. Pour effectuer une comparaison

avec l’enseignement secondaire, il a aussi étudié cinq manuels de terminale et cinq notes

pris par les étudiants de classes préparatoires entre 1963 et 1966 enfin un cours magistral

oral enregistré dans une première année universitaire. Nous allons beaucoup nous attarder

à ses études bénéfiques pour l’enseignement secondaire.

0.1. Cours et exercices sur les suites numériques

0.1 Cours et exercices sur les suites numériques

Partant du fait de la dissociation entre la théorie mathématique enseignée (cours écrits) et la pratique propre de l’élève (série d’exercices fait par ce dernier), BOSHER a effectué une analyse de contenus pour les cours et une analyse de fréquence pour les exercices.

Pour l’analyse des contenus, il a remarqué que la structure générale des cours était la même pour les donnés étudiées mais il a pu dégager trois aspect de differentiation des cours en étude.

D’une part, les suites numériques sont utilisées comme «outils» nécessaires pour pour d’autres théories et d’autres part, elles sont étudiées comme «objets» d’étude elles mêmes.

Par exemple notre cours sur les limites des suites numériques ainsi que certains cours des classes préparatoires agronomiques semblent prendre cette deuxième forme alors que dans la plupart d’autres classes préparatoires les suites interviennent d’abord comme «outils» à la construction des nombres réels, comme limite de suites de cauchy de nombres rationnels.

L’étude des suites comme cas particulier des fonctions n’ a été abordée que par deux cours.

L’étude des suites numériques ou leur utilisation se fait de plusieurs manières : cer- tains cours des classes préparatoires (agronomiques) se limitent aux suites numériques, de l’autre côté on envisage les notions de suite et de convergence de suites dans un cadre plus général c’est à dire soit dans un groupe totalement ordonné, soit dans un espace mé- trique, soit dans un espace topologique quelconque ou plus encore on introduit la notion de limites selon une base de filtre.

Une autre façon de différencier les cours étudiés sur les limites des suites est de voir s’ils associent ou dissocient les notions de limite de suites à celle des fonctions. Notre cours associe bel et bien ces deux notions lorsque nous donnons deux tableaux récapitulatifs des opérations sur les suites numériques tels que calqué de celui des foncions numériques et lorsque nous étudions les suites explicites et les suites récurrentes à partir de leurs fonctions associées.

Pour l’analyse de fréquence des exercices, l’objectif est centré autour de deux points : – Déterminer une typologie des exercices proposés sur les suites.

– Etudier les connaissances mobilisés lors d’une tâche de résolution BOSHER a donc dégager dans son analyse trois grand types d’exercices :

1. Des exercices portant sur les suites données explicitement à questions ayant gé-

néralement une formulation apparemment ouvertes. C’est le cas par exemple des

exercices d’application 1.7.1, 1.7.3, 1.7.4 et des exercices 1.7.1, 1.8.7, 1.8.25, 1.8.26

0.1. Cours et exercices sur les suites numériques

de la ressource n˚13.

2. Des exercices portant sur les suites dont le terme général vérifie une relation de ré- currence a questions ouvertes tels que les exercices 1.8.8, 1.8.9, 1.8.13 de la ressource n˚13.

3. Des exercices sur les suites générales

Dans notre ressource, il existe aussi des exercices faisant appel à l’utilisation d’une suite auxiliaire tels que les exercices 1.8.12, 1.8.16, 1.8.19,1.8.20 car leur résolution directe par les élèves n’est pas évidente. BOSHER a remarqué dans son étude que les trois types d’exercices sur les suites figurent dans presque tous les manuels analysés mais à des pro- portions différentes et couvrent la plupart des exercices proposés.

BOSHER classe les connaissances intervenant dans les exercices suivant 24 rubriques.

Il en ressort donc que :

Pour les suites explicites, 10/24 rubriques sont représentées de manière palpable et on insiste plus sur les propriétés algébriques sur les suites convergentes, la théorie sur les suites monotones qui est ici la plus représentée, les techniques de calcul sur R ou C , les propriétés de majoration, minoration et d’encadrement et l’organisation ou reconnaissance des résultats déjà démontrés.

Pour les suites récurrentes 10/24 rubriques sont représentées valablement parmi les quelles les plus représentées sont : le théorème sur les suites monotones qui est la notion la plus représentée, la relation entre la convergence d’une suite et la continuité de sa fonction associée, les techniques de calcul sur R ou C , les propriétés de majoration, de minoration et d’encadrement, les fonctions continues et dérivables, les équivalences des fonctions classiques.

Pour les suites générales, 19/24 rubriques sont valablement représentées parmi les quelles les plus représentées sont : la définition de la convergence, l’utilisation des suites extraites, les propriétés algébriques des suites convergentes, les techniques de calcul sur R ou C , les propriétés de majoration, minoration et d’encadrement.

On constate ici que les rubriques présentes valablement dans ces trois types de suites sont les propriétés algébriques des suites convergentes, les techniques de calcul dans R ou C et les propriétés de majoration, minoration et d’encadrement. Ces trois notions sont aussi ceux qui abondent notre ressource n˚13 sur les limites des suites numériques lorsque nous la lisons.

L’ études des suites d’exercices avec la comparaison avec le contenu des cours nous

montre que la transposition didactique intervient en faisant comprendre clairement que :

0.2. Lexique de la convergence

– La notion de suite convergente utilisée comme «objet» est d’une variété plus res- treintes dans les exercices que dans le cours.

– La notion de suite récurrente utilisée comme «outil» dans les théorèmes importants d’analyse apparaît dans la plupart des documents comme un objet artificiel créé spécialement pour l’application de certains théorèmes.

0.2 Lexique de la convergence

Ici, l’étude porte sur le recensement dans la base de données du lexique attachée à la notion de converge. Ainsi, dans les cours écrits, les auteurs emploient fréquemment des expressions dérivées du verbe «converger» tel que «converge vers» et on note un grand abus de langage non signalé comme la variable n des suites numériques qui est de temps en temps oubliée dans l’écriture d’une suite donné. C’est le cas de notre ressource n˚13 où nous étions obligés de donné en notation le fait qu’une suite (u

)

sera tout simplement notée (u

) ceci pour éviter les surcharges dans les notations.

Par contre, dans les textes et corrigés d’exercices, les expressions les plus fréquentes sont les expressions fonctionnelles contenant le mot «limite» ou tout simplement le sym- bole «lim». L’expression «tendre vers» est réservée dans tout les manuels pour les suites divergentes sauf deux d’entre eux. C ’est ce que nous constatons aussi en lisant notre ressource.

Par ailleurs, dans le cours oral enregistré, le professeur utilise «tendre vers» à la place de «converger vers» qu’il abrège dans le polycopié par «→».

En résumé, dans l’ensemble des données recueillies on a trois registres de vocabulaire : – Un «noble» dans un texte de cours écrits dominé par l’expression «converge vers».

– Un «fonctionnel» employé dans un contexte d’exercices dominé par le mot limite et le symbole «lim».

– Un «familier oral» avec l’expression «tendre vers» et le symbole «→»

Lorsque nous enseignons notre cours sur les limites des suites numériques, nous avons l’habitudes de confondre le «noble» et le «familier oral».

Le tableau 3 de BOSHER présente la fréquence d’utilisation du vocabulaire lié à la

notion de convergence et il en ressort que les suites récurrentes utilisent le vocabulaire

le plus pauvre lié à cette notion alors que les suites générales possèdent le vocabulaire le

plus riche.

0.3. modèle de convergence

0.3 modèle de convergence

BOSHER a dénicher deux modèles de convergence à savoir le modèle statique qui est représenté dans la plupart des manuels par une définition en (n,) phrase du type «tout voisinage de la limite contient tout les termes de la suite sauf un nombre fini d’entre eux»

soit sa formulation équivalente. Nous avons dans notre ressource utilisé une formulation équivalente cette définition car elle rapprocherait les élèves de terminale C des réalités du supérieure ceci a été matérialisé dans notre ressource par la section approche numérique de la convergence. Le modèle dynamique passe par la représentation graphique des termes de la suite et montre leurs concentration autour de la limite. Nous avons utilisé la section approche graphique d notre ressource pour matérialiser cette approche.

0.4 A propos du cours oral

Ici les deux modèles précédant sont clairement exprimés, certains théorèmes ne sont pas démontrés et d’autres ou certaines opérations se réduisent aux commentaires faits par l’enseignant. Les expressions dérivées de «converger» sont très utilisées à l’oral pour don- ner les définitions c’est ce que nous remarquons d’ailleurs en enseignant notre ressource.

En situation d’opérations algébriques, on utilise beaucoup les expressions telles que «li- mite», «tendre vers», «converge vers», et «convergence» pour faire des commentaires.

La comparaison entre le cour oral et le cour écrit nous montre que dans le cours oral, le professeur utilise plus les pronoms «je», «vous» pour marquer le fait qu’il est le seul acteur et les étudiants les récepteurs de la leçon tandis que dans le cours écrit, on voit la redondance majeures des pronoms «on», «nous» qui marquent le fait que chacun (élèves et enseignant) joue un rôle primordiale dans l’enseignement.

Nous pouvons donc constater que les travaux de BOSHER restent d’une utilité remar-

quable pour l’enseignement de la limite des suites numériques car ils nous permettent de

bien juger la quintessence d’un cours, article, fascicule, ou tout autre document écrit sur

cette notion.