E0 Approche de la notion.
Citer toutes les transformations que vous avez apprises au collège.
1 La réflexion.
Une transformation est un mot utilisé indifféremment pour les symétries orthogonales, les symétries centrales, les translations et les rotations.
Si f est une transformation usuelle du plan,
Alors elle associe à tout point M un point M ' appelé image de M par f.
On note f : M M ' ou bien f ( M ) = M'.
Soit d une droite.
Soit M un point du plan.
M' est l'image de M par la réflexion d'axe d ( ou symétrie orthogonale ) si et seulement si d est la médiatrice du segment [ MM' ].
Dessin : voir feuille annexe.
Dire qu'un point M est invariant par une transformation f cela signifie que M a pour image lui-même.
Autrement dit f ( M ) = M.
Tous les points de la droite d sont invariants par la réflexion d'axe d.
Une transformation qui conserve les distances est appelée une isométrie. ( du grec isos, égal et metron mesure ).
La réflexion d'axe d conserve les distances, les angles géométriques, l'alignement et les aires.
Soit f la réflexion d'axe d. Soient A, B et C trois points du plan.
Soient A', B' et C' les images respectives de A, B et C par f. Alors on a : A'B' = AB
A'B'C' = Æ ABCÆ
si A, B et C sont alignés, alors A', B' et C' sont aussi alignés
aire de ( A'B'C' ) = aire de ( ABC ).
L'image d'une droite par une réflexion d'axe d est une droite.
Par une réflexion d'axe d, les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.
Par une réflexion d'axe d, les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
Par une réflexion d'axe d, l'image d'un segment est un segment de même longueur.
Par une réflexion d'axe d, l'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image.
Par une réflexion d'axe d, l'image d'un triangle est un triangle dont les côtés ont deux à deux la même longueur.
Autrement dit : un triangle et son image par une réflexion d'axe d sont isométriques.
Par une réflexion d'axe d, l'image d'un cercle de centre O et de rayon R est le cercle de centre l'image de O et de même rayon R.
E1 Savoir travailler avec une réflexion.
P 229 n ° 18 ; n ° 36 ; n ° 39 ; n ° 43 ; n ° 46.
2 La symétrie centrale.
Soit O un point.
Soit M un point du plan.
M' est l'image de M par la symétrie de centre O si et seulement si O est le milieu de [ MM' ].
Dessin : voir feuille annexe.
Seul le point O est invariant par la symétrie de centre O.
La symétrie centrale conserve les distances, les angles géométriques, l'alignement et les aires.
Soit f une symétrie centrale. Soient A, B et C trois points du plan.
Soient A', B' et C' les images respectives de A, B et C par f. Alors on a : A'B' = AB
A'B'C' = Æ ABCÆ
si A, B et C sont alignés, alors A', B' et C' sont aussi alignés aire de ( A'B'C' ) = aire de ( ABC ).
Par une symétrie centrale, les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.
Par une symétrie centrale, les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
Par une symétrie centrale, l'image d'une droite d est une droite d' parallèle à la droite d.
Par une symétrie centrale, l'image d'un segment est un segment de même longueur.
Par une symétrie centrale, l'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image.
Par une symétrie centrale, l'image d'un triangle est un triangle dont les côtés ont deux à deux la même longueur.
Autrement dit : un triangle et son image par une symétrie centrale sont isométriques.
Par une symétrie centrale, l'image d'un cercle de centre O et de rayon R est le cercle de centre l'image de O et de même rayon R.
E2 Savoir travailler avec une symétrie centrale.
P 229 n ° 5 ; n ° 10 ; n ° 38 ; n ° 45.
3 Translation.
Soit Åu un vecteur.
Soit M un point du plan.
M' est l'image de M par la translation de vecteur Åu si et seulement si MM' = ÅÄ u.
Dessin : voir feuille annexe.
Aucun point du plan n'est invariant par la translation de vecteur Åu avec Åu ≠ Å0.
La translation conserve les distances, les angles géométriques, l'alignement et les aires.
Soit f une translation. Soient A, B et C trois points du plan.
Soient A', B' et C' les images respectives de A, B et C par f. Alors on a : A'B' = AB
A'B'C' = Æ ABCÆ
si A, B et C sont alignés, alors A', B' et C' sont aussi alignés aire de ( A'B'C' ) = aire de ( ABC ).
L'image d'une droite par une translation est une droite.
Par une translation, les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.
Par une translation, les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
Par une translation, l'image d'une droite d est une droite d' parallèle à la droite d.
Par une translation, l'image d'un segment est un segment de même longueur.
Par une translation, l'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image.
Par une translation, l'image d'un triangle est un triangle dont les côtés ont deux à deux la même longueur.
Autrement dit : un triangle et son image par une transformation usuelle du plan sont isométriques.
Par une translation, l'image d'un cercle de centre O et de rayon R est le cercle de centre l'image de O et de même rayon R.
E3 Savoir travailler avec une translation.
P 229 n ° 6 ; n ° 7 ; n ° 9 ; n ° 29 ; n ° 31 ; n ° 32 ; n ° 33 ; n ° 35.
4 Rotation.
Soit I un point.
Soit α un angle.
Soit M un point du plan.
M' est l'image de M par la rotation de centre I et d'angle α si et seulement si IM' = IM et MIM' = α.Æ
Dessin : voir feuille annexe.
Remarque : on appelle quart de tour une rotation d'angle 90 °.
Le sens direct est le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Seul le point I est invariant par la rotation de centre I et d'angle α avec α ≠ 0°.
Une rotation conserve les distances, les angles géométriques, l'alignement et les aires.
Soit f une rotation. Soient A, B et C trois points du plan.
Soient A', B' et C' les images respectives de A, B et C par f. Alors on a : A'B' = AB
Æ A'B'C' = ABCÆ
si A, B et C sont alignés, alors A', B' et C' sont aussi alignés aire de ( A'B'C' ) = aire de ( ABC ).
L'image d'une droite par une rotation est une droite.
Par une rotation, les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.
Par une rotation, les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
Par une rotation, l'image d'un segment est un segment de même longueur.
Par une rotation, l'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image.
Par une rotation, l'image d'un triangle est un triangle dont les côtés ont deux à deux la même longueur.
Autrement dit : un triangle et son image par une rotation du plan sont isométriques.
Par une rotation, l'image d'un cercle de centre O et de rayon R est le cercle de centre l'image de O et de même rayon R.
E4 Savoir travailler avec des rotations.
P 229 n ° 8 ; 19 ; 58 ; 59 ; 67.
Test de compréhension du chapitre 18.
1. Qu'appelle-t-on une transformation ? 2. Ecrire la définition d'une réflexion.
3. Que signifie l'expression " point invariant " ? 4. Qu'appelle-t-on une isométrie ?
5. Que peut-on dire de l'image d'une droite par une réflexion ? 6. Ecrire la définition d'une symétrie centrale.
7. Que peut-on dire de l'image d'une droite par une symétrie centrale ? 8. Ecrire la définition d'une translation.
9. Que peut-on dire de l'image d'une droite par une translation ? 10 Ecrire la définition d'une rotation.
11. Que peut-on dire de l'image d'une droite par une rotation ?
