MPSI B Année 2019-2020 Énoncé DM 3 pour le 30/09 6 octobre 2019
Problème
Soita et b deux complexes non réels, de parties réelles distinctes (Re(a)6= Re(b)). On suppose de plus queIm(b)>0. On considère la fonctionF deRdansRdénie par
t7→ |t−a|
|t−b|
Il est facile de se convaincre que cette fonction ne prend que des valeurs strictement positives et qu'elle est bornée. On se propose de déterminer explicitement sa plus grande et sa plus petite valeur. On admet l'existence de ces valeurs, on les note respectivementva,b et Va,b.
Partie 1. Outils.
Dans cette partie, les remarques géométriques sont bienvenues mais les preuves doivent s'appuyer sur des calculs complexes. Soituetv distincts dansC.
1. Vérier queaet bsont distincts et non conjugués.
2. Montrer que|u|2=|v|2 si et seulement si u+vu−v imaginaire pur.
3. Soitz∈C, quel est l'ensemble desz tels que|z−u|=|z−v|?
4. Soitz ∈C, montrer que z−uz−v imaginaire pur si et seulement si le point d'axez est sur le cercle de diamètre les points d'axesuet v.
Partie 2. Étude d'équations.
Dans cette partie, on considère deux équations d'inconnuez
(E+) : Im(b)z2+|b−a|z−Im(a) = 0 (E−) : Im(b)z2− |b−a|z−Im(a) = 0
1. Ces deux équations ont le même discriminant. L'exprimer à l'aide du carré d'un module.
En déduire que ces équations admettent deux solutions réelles.
On note k+(1), k+(2) aveck+(1)< k+(2) les solutions de(E+) et k−(1), k−(2)avec k−(1)< k−(2)celles de(E−).
2. Étude de(E+).
a. Exprimerk+(1)etk+(2)avec des modules etIm(b). b. Montrer queIm(a)>0 entrainek+(1)<0< k+(2)<1.
c. Montrer queIm(a)<0 entrainek+(1)< k+(2)<0.
3. Étude de(E−).
a. Exprimerk−(1)etk−(2)avec des modules etIm(b). b. Montrer queIm(a)>0entrainek−(1)<0et 1< k−(2). c. Montrer que Im(a)<0entraine0< k−(1)<1< k−(2).
Partie 3. Lignes de niveau.
A B
Γ
k1Γ
k2Γ
k3Γ
k4Fig. 1: Des lignes de niveau.
Dans cette partie, pour toutk≥0, on noteΓk l'ensemble des complexesztels que
|z−a|
|z−b| =k.
On dira queΓk est une ligne de niveau k. Pour k6= 1, on pose g−(k) = 1
1−k(a−kb), g+(k) = 1
1 +k(a+kb).
1. PréciserΓ0 etΓ1. Préciser géométriquement l'ensemble destréels tels que F(t)<1.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M1903E
MPSI B Année 2019-2020 Énoncé DM 3 pour le 30/09 6 octobre 2019
2. Pourk strictement positif diérent de0 et 1, montrer que les éléments deΓk sont les axes des points d'un cercle. Préciser l'axe de son centre notéeck et son rayon noté rk.
3. La gure1présente les points Aet B d'axesaet b, la droite réelle et des lignes de niveau associées à 4 valeursk1,k2, k3,k4. En utilisant seulement la gure, classer ces nombres entre eux et par rapport à1.
4. Pour chaquek6= 1, on considère l'équation d'inconnuetréelle
|t−a|
|t−b| =k.
Montrer qu'elle est équivalente à une équation du second degré dont le discriminant est noté∆k. Pour leski de la gure1, que peut-on dire des∆ki?
5. Dans la conguration de la gure1, à quelles lignes de niveau correspondent la plus petite et la plus grande valeur que peut prendreF? Comment une telle situation se traduit-elle avecck etrk?
6. Pourquoi l'hypothèse Im(b) >0 ne nuit pas à la généralité de la recherche des plus grande et petite valeurs deF? En distinguant deux cas, exprimer ces valeurs avec des modules, puis former des expressions valables dans tous les cas.
7. Vérier l'identité
|b−a|+|b−a|
|b−b| ×
|a−b| − |a−b|
|a−a|
= 1
et l'interpréter dans le contexte de ce problème.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
2 Rémy Nicolai M1903E
