MINESEC-SEDUC SESSION INTENSIVE D’AVRIL 2020 CLASSE : 3EMES PARTIE A : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES
PGCD-PPCM-FRACTIONS
Exercice 1
1. Calculer par deux méthodesPGC D(675; 375).
2. Rendre sous forme de fraction irréductible 375675. 3. On donne A= 375675+49; montre que A∈N.
Exercice 2
1. CalculerPGC D(540; 300) en précisant la méthode utilisée.
2. M. TIA veut recouvrir une pièce rectangulaire de sa maison ayant 5, 4m de long et 3m de large par des dalles de moquette carrées toutes identiques de telle sorte qu’il n’y ait pas de découpe.
3. Quelle doit être la longueur du côté d’une dalle sachant qu’il veut utiliser moins de dalles possibles.
4. Quel sera la dépense de M.TIA s’il veut utiliser les dalles carrées de 8000frs l’unité ? Exercice 3
1. Déterminer en détaillant les étapes de calculP PC M(24; 15).
2. M. PI possède des dalles rectangulaire de 24mm de long et 15mm qu’il souhaiterait ranger dans les cartons de forme carrée afin de les expédier à un client. Quelle doit être la plus petite dimension du côté de carton qu’il doit s’en procurer ?
Exercice 4
On donneE =150152002 +149509009.
1. Écrire Sous forme de fractions irréductibles 150152002 et 149509009. 2. DéterminerP PC M(15; 50).
3. En déduire queE =15047.
Calcul littéral Exercice 1
On donne A= 34+54 : (43−12) ,B= 21×10−0,74××500108×(102)3,C = 16×2410−5×10×−3×3104, etD =32−19×(−52).
1. Mettre A sous forme de fraction irréductible.
3
3. Montrer queC est un entier.
4. (a) ÉcrireD sous forme de fraction irréductible.
(b) Résoudre dansR, x2=B.
Exercice 2
On donneF =(4x−3)2−(x+3)(3−9x).
1. Developer et réduire (4x−3)2. 2. Montrer queF =(5x)2.
3. Trouver les valeurs du réelx pour queF =125.
Exercice 3
On donne l’expressionD =(3x+1)(6x−9)−(2x−3)2.
1. Montrer queD peut s’écrire sous forme développée et réduiteD =14x2−9x+18.
2. (a) CalculerD pourx= 32 et écrire le résultat sous forme de fraction irréductible.
(b) CalculerD pour x = p
2 et écrire le résultat sous la forme a+bp
2 où a et b sont des entiers à déterminer.
3. Factoriser 6x−9 puis factoriserD. 4. Résoudre dansR,D=0.
Exercice 4
On poseF = (4x+12)(xx2+2x−1)−+3x2−9.
1. Factoriser 4x+12,x2−9 puis le numérateur deF. 2. Montrer quex2+2x−3=(x+3)(x−1).
3. Donner la condition d’existence d’une valeur numérique deF. 4. Déduire de ce qui précède l’expression simplifiée deF.
5. Montrer que pourx=2,F =3.
6. (a) Montrer que pourx=p
2,F =3−2p 2.
(b) Sachant que 1, 41<p
2<1, 42, donner un encadrement à 10−2près de 3−2p 2.
Racines Carrées Exercice 1
On donneA=p
81−p
108+p
48−p
25,B=(1−p
3)2,C =p
A,D= p2+5p18+p2−3p18. 1. CalculerB puis montrer que A=4−2p
3.
2. En déduire l’expression simplifiée deC. 3. ÉcrireD sous la formeap
b oùa est une fraction irréductible etb un entier.
Exercice 2
K LM est un triangle tel queK L=2p
11cm,LM =p
154cm etK M=3p
22cm.
1. Montrer que le triangleK LM est rectangle.
2. Calculer l’aire du triangleK LM et écrire le résultat sous la formeap
14 oùaest un entier.
Exercice 3
ABC Dest un rectangle AB=5+p
7 etAD =2p 7.
1. Calculer la valeur simplifiée exacte de AC.
2. Calculer la valeur simplifiée exacte du périmètre de ABC D.
3. Calculer la valeur simplifiée exacte de l’aire du rectangle ABC D.
Exercice 4 On pose A=p
48+p
20,B=p
108−p 45.
1. Écris A sous le forme ap
3+bp
5, B =cp
3+dp
5 où a, b, c, d sont des entiers à déterminer.
2. Montrer que A×B est un entier naturel.
PARTIE A : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES
THALES, PYTHAGORE, TRIGONOMÉTRIE
Exercice 1
Pour procéder au chargement des rochers dans les camions, une carrière utilise le dis- positif roulant représenter par le schema simplifié ci-contre ; on donne :
– La longueur du tapis roulant C D = 11, 7m.
– La longueur du solC A=10, 8m.
– Longueur de la poutreH S=2, 5m.
– (D A)⊥(C A) et (H S)⊥(C A).
1. Calculer D A, la hauteur de la quelle tombent les matériaux.
2. Calculer les distancesC SetC H.
Exercice 2
Dans cette partie on utilisera les valeurs du tableau en trigonométrie, et l’unité de longueur est le cm
Dans la figure 1 ci-dessous,
– E F Gest un triangle rectangle enE tel queE F =6 et EG=2p
3.
– ABC est un triangle rectangle en B,L est le milieu de [AC] et mesB AC =30◦.
– Les pointsB,F,E ,C sont alignés etB F =9.
– Les points A,F,K,G sont alignés etGK =p 3.
1. Montrer queF G =4p 3.
2. (a) Montrer queEGF =60◦
(b) Vérifier que les droites (AB) et (EG) sont parallèles.
(c) En déduire que le triangleAC F est rectangle en A.
3. (a) Montrer que F BF E = F AF G. (b) En déduire queF A=6p
3 et AB= 3p
3.
4. (a) Montrer queBC =3.
(b) En déduire queAC =6
5. Montrer que les droites (AC) et (E K) sont parallèles.
6. En déduire que le quadrilatère ALK E est un parallélogramme.
Exercice 3
1. Construire un triangle RST tel que RS = 4, 5cm, T R =7, 5cm, ST =6cm ; ce tri- angle est il rectangle ? Justifier.
2. (a) Tracer le cercle (C) de centreR et de rayon 4, 5cm ; Le cercle (C) coupe le seg- ment [RT] enK ;
(b) Trace la droite (d) passant parK et parallèle à (RS). Cette droite coupe le seg- ment [T S] en un pointL. Placer ce point sur la figure.
(c) CalculerK L.
3. SoitB le point de (d) tel queK B=2, 7cm etK ∈[B L].
(a) Prouve que (B R) et (T S) sont parallèles.
(b) CalculerB R.
VECTEURS, DROITES Exercice 1
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;−→ i ;→−
j ), on donne A(2; 3), B(6, 5; 0), C(7, 5;−5), unité graphique 1cm.
1. Placer les points A,B etC.
2. (a) Calculer les coordonnées des vecteurs−→
AB et−−→
OC.
(b) En déduire que les droites (AB) et (OC) sont parallèles.
3. Calculer les coordonnées du vecteur −−→
AO puis en déduire que les vecteurs −−→
AO et OC−−→sont orthogonaux.
4. Quelle est la nature du quadrilatèreO ABC ? Justifier.
5. Soit (D) la droite d’équation 8x+5, 5y−33, 5=0 ; etL(x0;y0) un point de (D).
(a) Calculer x0 pour y0=3.
(b) Calculery0 pourx0=7, 5.
(c) Tracer.
Exercice 2
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;→− i ;→−
j ). On considère les pointsA(−3; 0), B(−1;−2),C(3; 2).
1. (a) Calculer les distances AB, AC etBC. (b) Quelle est la nature du triangle ABC ?
2. Soit E le milieu de [AC]. La droite L passant par E et parallèle à (AB) coupe la droite (BC) enF.
(a) Montrer queF est le milieu de [BC].
(b) Calculer les coordonnées des pointsE etF. (c) Déterminer une équation de la droite (L).
3. SoitD le symétrique du pointB par rapport àE.
(a) Quelle est la nature du quadrilatère ABC D? (b) Déterminer un vecteur de la figure égal à−−→
E D puis en déduire les coordonnées deE.
Exercice 3
Dans un repère orthonormé (O;→− i ;→−
j ) on donne les droites (D) : y =2x+4 et (D0) : x+2y−3=0.
0
2. Démontrer que (D) et (D0) sont perpendiculaires en un point A dont on détermi- nera les coordonnées.
3. Calculer les distances AB et AE. 4. Trace (D) et (D0) dans le repère (O;→−
i ;→− j ).
5. Démontrer que le triangle AB E est rectangle en A.
Exercice 4
L’unité de longueur est de cm ; le plan est muni d’un repère orthonormé (O;→− i ;→−
j ).
1. (a) Placer les pointsR(−7;−2),F(−5; 2) etV(−3;−4).
(b) Calculer les coordonnées de−→
RF. (c) Montrer que−→
RF=2p 5.
(d) On donneRV =p
20, etV F =2p
10. Prouver queRF V est rectangle isocèle.
2. Calculer les coordonnées deK milieu de [F V].
3. (a) Déterminer le centre et le rayon du cercle (C) circonscrit àRF V ; tracer (C).
(b) Placer le pointN symétrique deR par rapport àK ; démontrer que le quadri- latèreRF NV est un carré.
4. Sachant que le point P(−3; 2) est sur le cercle (C), tracer l’angle RPV et prouver que sa mesure est 45◦.
PYRAMIDES ET CÔNES Exercice 1
Le schema ci-contre représente le patron d’un cône de revolution de sommetSet de rayon de baser ; La gé- nératrice [S A] a pour longueur 36cm.
1. Justifie que la circonférence de sa base est de 54πcm.
2. Justifie que son rayon de base vaut 27cm.
3. Justifie que la hauteur de ce cône est de 9p 7cm.
4. Calculer l’aire de la surface totale de ce cône ainsi que son volume en prenantπ=3, 14.
Exercice 2
S ABC D est une pyramide régulière dont la base est un carré de côté 240cm.
1. On coupe cette pyramide par un plan pa- rallèle à sa base ; le tronc de pyramide ob- tenu est un recipient de 30cm de profon- deur et dont l’ouverture est un carré de 80cm de côté.
(a) Montre que la hauteur de la pyramideS ABC Dest de 45cm et celle de la pyra- mide réduite est de 15cm.
(b) Calcul le volume de ce recipient.
2. Les faces latérales de ce recipient sont des trapèzes de mêmes dimensions. Montre que la hauteur de chaque trapèze est de 10p
73cm.
3. Calculer l’aire latérale de ce récipient.
Exercice 3
Dans cet exercice les dimensions sont données en cm. La pyramideS ABC Dci-contre est telle que :
– La base ABC D est un carré de centre O telle que AC =12.
– Les faces latérales sont des triangles isocèles enS.
– La hauteur [SO] mesure 8 et la figure n’est pas faite en vraies grandeurs.
1. Dans le triangle S AO rectangle en O, montrer que SO=10.
2. Sachant que AB=6p
2, montrer que l’aire du carré ABC D est de 72cm2.
3. Montrer que le volume de la pyramide S ABC D est de 192cm3.
4. Soient A0 un point [S A],B0un point de [SB] tel que S A0 =SB0=3 ; montrer que (AB) et (A0B0) sont pa- rallèles.
5. La pyramideS A0B0C0D0 est une reduction de la py- ramideS ABC D, calculer le coefficient de réduction.
6. Calculer le volume de la pyramideS A0B0C0D0.
7. Calculer l’aire totale de la pyramideS ABC D puis en déduire celle deS A0B0C0D0.
SYSTÈMES DANS RxR Exercice 1
Un bassin est alimenté par deux fontaines dont le débit horaire est constant. Si on laisse couler la première fontaine pendant quatre heures et la seconde pendant trois heures, la quantité d’eau recueillie au total est de 55 litres. Si on laisse couler la première fontaine pendant trois heures et la seconde pendant quatre heures, la quantité d’eau recueillie au total est de 57 litres.
1. On notex, le debit pathde la première fontaine ety celui de la deuxième fontaine.
Montrer que (x;y) vérifie le système : (S)
4x+3y =55 3x+4y =57 . 2. Résoudre (S) et indique le debit par heure de chaque fontaine.
3. Sachant Sachant que ce bassin peut contenir 320 litres, combien faudra-t-il de temps pour le remplir, si les deux fontaines coulent ensemble pendant le même temps ?
Exercice 2
Des spectateurs assistent à un motocross. Ils ont garé leur véhicule, auto ou moto, sur un parking. Il y a en tout 65 véhicules et on dénombre 180 roues. Quel est le nombre de moto ?
Exercice 3
Chez un confiseur, une dame achète des chocolats au détail : " chaque chocolat blanc est vendu 2 F et pèse 20 g ; " chaque chocolat noir est vendu 3 F et pèse 35 g.
Cette dame paye 84 F pour 900 g. Déterminer le nombre de chocolats de chaque sorte.
APPLICATIONS LINÉAIRES ET AFFINES Exercice 1
Un club multisportif propose à sa clientèle de choisir entre les trois formules sui- vantes :
– Formule A : 1200 F la séance.
– Formule B : un forfait annuel de 15 000F plus une participation de 400F par séance.
– Formule 3 : Un forfait annuel de 50 000F permettant un accès illimité aux séances.
Une année compte 52 semaines ; TIA décide de suivre un séance par mois toute l’an- née, TITI décide de suivre une séance par semaine toute l’année et TITO décide de suivre deux séances par semaines toute l’année.
1. Calculer le prix à payer par chacun par an : recopier et completer le tableau ci- dessous ; entourez dans le tableau le tarif le plus avantageux pour chacun :
TIA TITI TITO Formule A
Formule B Formule C
2. On notex le nombre de séances,PAle prix en F à payer avec la Formule A etPB le prix à payer en F avec la Formule B ; ExprimerPAetPB en fonction dex.
3. A partir de combien de séances la Formule C est plus bénéfique chez le client que la Formule B ?
Exercice 2
Un opérateur téléphonique pour l’international propose à ses clients trois formules de facturation mensuelle des communications :
– Formule 1 : 120F la minute.
– Formule 2 : un abonnement fixe de 4800F et 40 F par minute.
– 10 000frs pour 3H de communication.
I/
Calculer le montant des factures des communications selon les trois formules de tarification pour des durées de 35 min, de 1 h 20 min et de 2 h 45 min. Pour présenter les réponses, compléter le tableau ci-dessous.
35min 01h20min 02h45min Formule 1
Formule 2 Formule 3 II/
Cette partie a pour but de rechercher la formule la plus avantageuse selon la durée des communications téléphoniques comprises entre 0 et 3 heures.
1. Soit x la durée, en minutes, des communications. Exprimer en fonction de x , le coût des communications selon les différents tarifs ; on appellera f1(x) le prix ob- tenu en appliquant la formule 1, f2(x) le prix obtenu en appliquant la formule 2 et f3(x) le prix obtenu en appliquant la formule 3.
2. 2. Sur une feuille de papier millimétré, on considère un repère orthogonal. L’ori- gine est placée en bas à gauche de la feuille. Sur l’axe horizontal, 1 cm représente 15 min ; sur l’axe vertical, 1 cm représente 150F
(a) Tracer les représentations graphiques de f1, f2 et f3 en se limitant au cas où 0<x<180.
(b) Résoudre l’équation 120x=40x+4800 puis l’inéquation 40x+4800<10 000.
(c) Utiliser le graphique de la question a pour répondre aux questions suivantes :
" Quelle est la formule la plus avantageuse pour une durée de 1 h 30 de com- munications ? " Pour quelle durée de communications les formules 1 et 2 ont- elles le même coût ? " Pour quelles durées de communications la formule 3 est-elle plus avantageuse ?
Exercice 3
La brochure de présentation du programme de la "Saison culturelle" d’une ville pro- pose les tarifs suivants : Tarif A : plein tarif : 80 F par spectacle. Tarif B : achat d’une carte d’abonnement à 120 F ; le prix du spectacle est alors réduit de 30% par rapport au prix plein tarif. Tarif C : achat d’une carte de 680 F et entrée libre à tous les spectacles
1. (a) Jean a choisi le tarif B et a acheté sa carte d’abonnement. Combien va-t-il payer chacun des spectacles ?
(b) Recopie et complète le tableau suivant :
Nombres de spectacles Prix pour tarif A Prix pour tarif B Prix pour le tarif C 3
7 12
2. Soit x le nombre de spectacles auxquels une personne assistera pendant la saison culturelle. Exprimer en fonction de x :
(a) Le prix payé avec le tarif A.
(b) Le prix payé avec le tarif B.
(c) Le prix payé avec le tarif C.
3. . Résoudre l’équation : 80x=120+56x. Que représente la solution de cette équation par rapport au problème ?
BONNE CHANCE A TOUS
